Если спросить у человека как он представляет себе слово «бесконечность», то большинство людей, скажут что в их воображении это слово ассоциируется с понятием космос. Беспредельные темные просторы, миллионов галактик входящий одна в одну подобно матрешкам, расстояния такие, которые трудно представить человеческому разуму. Если верить гипотезам ученных, несмотря на столь колоссальные размеры, космос по прежнему расширяется, при этом скорость расширения вселенной растет, а не спадает. И увеличивается вселенная вот уже как тринадцать миллиардов лет (если верить ученым).

Давайте хоть приблизительно вычислим примерно-верный размер космоса на сегодня? Для всех критиков сразу делаем оговорку: расчет будет очень приблизительный, никто за абсолютной точностью не гонится. Возьмём, что скорость расширения вселенной равняется скорости света (на самом деле она немного иная, но пусть будет так), то есть космическое пространство покоряет новые площади со скорость 300 000 км/с. Умножаем данную величину на 3600 секунд, чтобы узнать расстояние на которое увеличивается космос за один час (1 080 000 000 км), затем множим на 24 (сутки) (25 920 000 000) затем на 365 (год) (9 460 800 000 000), а теперь на ориентировочный возраст вселенной (соответственно на 13 000 000 000) и получаем: (мой калькулятор не справился, поэтому считал вручную, возможно где-то ошибся) 122 990 400 000 000 000 000 000 км. Чем тебе не бесконечность?

Но я знаю (и вы тоже знаете, просто возможно не задумывались над этим) одно понятие, которое гораздо более бесконечное чем даже космос. И если б вы спросили у меня какие ассоциации возникают в моей голове, когда я слышу слово «бесконечность», я бы ответил что это «счет» или «исчисление» или просто «цифры». Вы когда-нибудь задумывались над тем, что считать можно бесконечно? Что в природе не существует самого большого числа? Что цифры это сама бесконечность ведь счёт не имеет конца…

И чтобы доказать что счет бесконечный (хотя это равносильно доказыванию что вода мокрая) я решил посчитать д! о какой цифры человек может досчитать в своей жизни. Расчет будет слегка утрированный и фантастичный. И так начнём…

Допустим, родился на свете супер вундеркинд который возрасте 0 лет 0 месяцев 0 дней 0 часов 0 минут и всего 1 секунда начал свой безумный счёт цифр. И решил посвятить этому занятию всю свою длинную жизнь. ведь прожил он ровно до своего столетия. Считал данный персонаж со скорость 1 минута = 100 последующих цифр, а в первую минуту жизни со скорость 59 секунд 100 цифр. И так в первый час данный субъект досчитал до 6000; в первые сутки до 144 000 (поразительно, но он имел уникальную способность считать во сне); за месяц до 4 320 000; за год до 51 840 000; за десять лет до 518 400 000; а остановился он на цифре 5 184 000 000 (молодец какой!).

Конечно, пять миллиардов с небольшим, намного меньше приблизительного размера космоса, поэтому, вы можете сказать, что космос более синонимичное слово к понятию бесконечность. Но я с вами не соглашусь, п отому что я легко (ну как легко…) могу перемножить данные величины и получить абсолютно новую величину, размерам которой позавидует даже вселенная. И вот это число-величина: 637 582 200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - вот она истинная бесконечность.

«То, что мы знаем, – ограниченно, а то, чего мы не знаем, – бесконечно»

Пьер-Симон Лаплас (1749-1827), французский ученый

Безграничная любовь, безмерное счастье, необъятный космос, вечная мерзлота, безбрежный океан и даже нескончаемый урок. В повседневной жизни мы часто называем вещи и явления бесконечными, но часто даже не задумываемся об истинном значении этого понятия. Между тем, с самых древних времён теологи, философы и другие величайшие умы человечества пытались понять её смысл. И только математики дальше всего продвинулись в знаниях о том, что называют бесконечностью.

Что такое бесконечность?

Многое из того, что мы видим вокруг себя, воспринимается нами как бесконечность, но на поверку оказываются вполне конечными вещами. Вот как иногда объясняют детям, насколько велика бесконечность: «Если на огромном пляже собирать по одной песчинке каждые сто лет, то чтобы собрать весь песок на пляже, понадобится вечность». Но на самом деле, количество песчинок не бесконечно. Физически их пересчитать невозможно, зато с уверенностью можно сказать, что их количество не превышает величины, равной отношению массы Земли к массе одной песчинки.

Или другой пример. Многие думают, если встать между двух зеркал, то отражение будет повторяться в обоих зеркалах, уходя вдаль, становясь все меньше и меньше, так что определить, где оно заканчивается, невозможно. Увы, это не бесконечность. Что происходит на самом деле? Ни одно зеркало не отражает 100% падающего на него света. Очень качественное зеркало способно отразить 99% света, но после 70 отражений из них останется только 50%, после 140 отражений – только 25% света и т. д., пока света не станет слишком мало. Вдобавок, большинство зеркал имеет искривления, поэтому многочисленные отражения, которые вы видите, в конце концов «скрываются за поворотом».

Давайте посмотрим, как математика трактует бесконечность. Это очень не похоже на те представления о бесконечности, с которыми вы сталкивались раньше и требует немного воображения.

Бесконечность в математике

В математике различают потенциальную и актуальную бесконечность.

Когда говорят о том, что некоторая величина бесконечнапотенциально, то имеют в виду, что она может быть неограниченно увеличена, то есть всегда имеется потенциальная возможность её наращивания.

Понятие актуальнойбесконечности означает бесконечную величину, которая уже реально существует «здесь и сейчас». Поясним это на примере обычной ПРЯМОЙ.

Пример 1.

Потенциальная бесконечность означает, что есть прямая и её можно непрерывно продолжать (например, прикладывая к ней отрезки). Обратите внимание, здесь делается акцент не на то, что прямая бесконечна, а на то, что её можно бесконечно продолжать.

Актуальная бесконечность означает, что в настоящем времени уже существует вся бесконечная прямая. Но беда в том, что ни один живой человек не видел бесконечной прямой и физически не в состоянии это сделать! Одно дело – иметь возможность бесконечно продлевать прямую, и совсем другое – в реальности создать бесконечную прямую. Это очень тонкое различие и отличает потенциальную бесконечность от актуальной. Уф! Чтобы разобраться с этими бесконечностями, требуется большое воображение! Давайте рассмотрим ещё один пример.

Пример 2.

Предположим, вы решили построить ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

В какой-то момент вы дошли до очень большого числа n и считаете, что это самое большое число. В этот момент ваш друг говорит, что ему ничего не стоит к вашему числу n добавить 1 (единицу) и получить еще бóльшее число k = n + 1. Тогда вы, слегка уязвлённый, понимаете, что и вам ничего не может помешать добавить к числу k единицу и получить число k+1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у вас с другом может не хватить сил, времени на каком-то шаге m для того, чтобы сделать следующий шаг m + 1, но потенциально вы или кто-то другой может дальше строить этот ряд. В этом случае мы получаем понятие потенциальной бесконечности.

Если же вам с другом удастся построить бесконечный ряд натуральных чисел, элементы которого присутствуют все сразу, одновременно, это будет актуальной бесконечностью. Но дело в том, что никто не может записать все числа, – это неоспоримый факт!

Согласитесь, что потенциальная бесконечность для нас более понятна, потому что её легче вообразить. Поэтому античные философы и математики признавали только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуальной бесконечностью.

Парадокс Галилея

В 1638 году великий Галилей задался вопросом: «Бесконечно много – это всегда одинаково бесконечно много? Или могут быть бóльшие и мéньшие бесконечности?»

Он сформулировал постулат, который впоследствии получил название «Парадокс Галилея»: Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

Суть парадокса заключается в следующем.

Некоторые числа являются точными квадратами(то есть квадратами других чисел), например: 1, 4, 9… Другие же числа не являются точными квадратами, например 2, 3, 5... Значит, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. Верно? Верно.

Но с другой стороны: для каждого числа найдётся его точный квадрат, и наоборот – для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. Верно? Верно.

Рассуждения Галилея вступили в противоречие с неоспоримой аксиомой, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей. Он не смог ответить, какая бесконечность больше – первая или вторая. Галилей полагал, что, либо он в чём-то ошибался, либо такие сравнения не применимы для бесконечностей. В последнем он был прав, поскольку три столетия спустя, Георг Кантор доказал, что «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».

Счётные бесконечности: часть равна целому

Георг Кантор (1845-1918), основоположник теории множеств, стал использовать в математике актуальную бесконечность. Он допускал, что бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции и даже сравнивать. Поскольку слова «число» и «количество» в случае с бесконечностями неуместны, он ввел термин «мощность». За эталон Кантор взял бесконечные натуральные числа, которых хватит для пересчёта чего угодно, назвал это множество счётным, а его мощность – мощностью счётного множества и стал сравнивать её с мощностями других множеств.

Он доказал, что множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество чётных чисел! Действительно, запишем друг под другом:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

На первый взгляд кажется очевидным, что в первом множестве чисел в два раза больше, чем во втором. Но, с другой стороны, ясно, что вторая последовательность тоже счётна, так как любому её числу ВСЕГДА соответствует строго одно число первой последовательности. И наоборот! Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. Следовательно, эти множества равномощны! Аналогично доказывается, что множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – счётно и равномощно множеству натуральных чисел. Отсюда следует, что все счётные бесконечности равномощны.

Получается очень интересно: Множество чётных чисел и множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – являются частью множества натуральных чисел. Но при этом они равномощны. Следовательно, ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ!

Несчётные бесконечности

Но не всякую бесконечность можно пересчитать так, как это сделали мы с чётными числами и квадратами натуральных чисел. Оказывается, нельзя пересчитать точки на отрезке, действительные числа (выражающиеся всеми конечными и бесконечными десятичными дробями), даже все действительные числа от 0 до 1. В математике говорят, что их количество несчётно.

Рассмотрим это на примере последовательности дробных чисел. Дробные числа обладают свойством, которое отсутствует у целых чисел. Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 8 и 9 «не поместится» никакое другое целое число. Но если мы добавим к множеству целых чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число

будет находиться между 8 и 9. Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми двумя числами А и В:

Поскольку это действие можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми действительными числами всегда будет располагаться бесконечно много других действительных чисел.

Таким образом, бесконечность действительных чисел является несчётной, а бесконечность натуральных чисел – счётной. Эти бесконечности неэквивалентны, но из несчётного множества действительных чисел всегда можно выделить счётную часть, например, натуральные или чётные числа. Поэтому несчётная бесконечность мощнее счётной бесконечности.

САМОЕ НАЧАЛО (Происхождение Вселенной и существование Бога) Крейг Уильям Лейн

Актуальная бесконечность

Актуальная бесконечность

Вот первый довод:

1. Актуальная бесконечность существовать не может.

2. Безначальный ряд временных событий представляет собой актуальную бесконечность.

3. Следовательно, безначальный ряд временных событий не может существовать.

Рассмотрим вначале первую посылку: Актуальная бесконечность не может существовать.

Что я имею в виду под актуальной бесконечностью? Множество объектов считается актуально бесконечным, если часть этого множества равна его целому. Так например, какой рад длиннее:

2,3,4,5,6,… или 0,1,2,3,4,5,6,…?

По общепринятым математическим представлениям, эти ряды эквивалентны, потому что они оба актуально бесконечны. Это кажется странным: ведь в правом ряду есть два числа, отсутствующие в левом. Но это лишь показывает, что в актуально бесконечном множестве часть (левый ряд) равна целому (правый ряд).

По той же причине математики утверждают, что ряд чётных чисел равен ряду натуральных чисел - несмотря на то, что ряд всех натуральных чисел содержит все чётные плюс бесконечное число нечётных чисел.

1,2,3,4,5,6,7,8,…

При этом не надо смешивать понятия актуальной бесконечности - и потенциальной бесконечности.

По мнению великого немецкого математика Давида Гилберта, главное различие между актуальной и потенциальной бесконечностью заключается вот в чём. Потенциально бесконечное есть всегда нечто возрастающее и имеющее пределом бесконечность, тогда как актуальная бесконечность - это завершённое целое, в действительности содержащее бесконечное число предметов.

Интересным примером этих двух типов бесконечности могут послужить два ряда событий: произошедших до и после какой-либо точки в прошлом.

Возьмём, например, момент в 1845 г., когда родился Георг Кантор, отец теории множеств.

В обоих случаях мы имеем в виду события, действительно случившиеся.

Точка, называемая «настоящее время», разумеется, не стоит на месте, а скользит вперёд. (По сути дела, это граница между событиями уже реализованными и ещё не реализованными.) Поэтому количество событий «после» (т. е. между 1845 г. и настоящим временем), хотя и в каждый конкретный момент конечное, постоянно возрастает. Оно никогда не реализовано до конца, и потому потенциально бесконечно.

Но ряд событий «до» полностью реализован, завершён и не возрастает. И если атеисты правы, и у Вселенной не было начала, то такой ряд бесконечен. Бесконечен актуально, реально.

В ходе наших рассуждений очень важно эти два понятия (актуальной и потенциальной бесконечности) не путать.

Второе пояснение касается слова «существовать». Когда я говорю, что актуальная бесконечность не может существовать, я имею в виду - существовать в реальном мире, или существовать не только в уме. Я вовсе не отрицаю законность использования понятия актуальной бесконечности в математике (оперирующей лишь мысленной реальностью). Я лишь утверждаю, что актуальная бесконечность не может существовать в физическом мире звёзд, планет, камней и людей.

Несколько примеров покажут абсурдность такого допущения.

Допустим, что существует библиотека, содержащая реально бесконечное число книг. Представим себе, что книги в ней только двух цветов, чёрного и красного, и что они стоят на полках, чередуясь: чёрная, красная, чёрная, красная, и т.д. Если кто-то скажет нам, что число чёрных книг равно числу красных, мы, вероятно, не удивимся. Но поверим ли мы, если нам скажут, что число чёрных книг равно числу чёрных и красных книг вместе? Ведь в таком собрании мы обнаружим все чёрные книги плюс бесконечное число красных книг!

Или же представим себе, что у нас есть книги трёх цветов, четырёх, пяти или даже ста. Поверим ли мы, что книг одного цвета столько же, сколько всего книг в библиотеке?

Или вообразите, что в библиотеке бесконечное число цветов книг. Можно предположить, что в бесконечно большой библиотеке будет приходиться по одной книге на каждый из бесконечного числа цветов. Но это не обязательно так. Как утверждают математики, если число книг действительно бесконечно, то на каждый из бесконечного числа цветов может прийтись и бесконечное количество книг. Таким образом мы получаем бесконечность бесконечностей! И тем не менее, если мы возьмём все книги всех цветов, их окажется не больше, чем книг только одного цвета.

Продолжим наши рассуждения. Предположим, что у каждой книги на корешке отпечатан номер. Поскольку библиотека реально бесконечна, каждое возможное число отпечатано на какой-либо из книг. Поэтому мы не можем добавить к библиотеке ещё одну книгу, ибо какой номер ей дать? Всё номера уже заняты. Таким образом, новой книге нельзя дать номера! Но это абсурд, так как в действительности предметы всегда можно нумеровать.

Если бы бесконечная библиотека существовала, то к ней невозможно было бы добавить ещё одну книгу. (Не потому ли, что она уже включала бы все существующие книги, и новую просто неоткуда было бы взять? Нет, ведь достаточно вырвать по листку из каждой книги первой сотни, склеить их вместе, поставить эту новую книгу на полку, и всё - библиотека пополнена!) Поэтому напрашивается единственно возможный вывод: библиотека, актуально бесконечная, - существовать не может.

Но предположим, что мы можем пополнить эту библиотеку, и я ставлю книгу на полку. По утверждению математиков, число книг в библиотеке осталось прежним. Как это может быть? Ведь мои опыт говорит: если я поставил книгу на полку, то там стало книгой больше, а если снял, то одной меньше.

Мне легко вообразить себя, ставящего и снимающего эту книгу. Должен ли я впрямь всерьёз поверить, что когда я добавляю книги, их число не увеличивается, а когда убираю - не уменьшается? А если я добавлю к этой библиотеке бесконечное число или даже бесконечность бесконечностей книг? Неужели и теперь в библиотеке ни на одну книгу не больше, чем прежде? Мне в это трудно поверить. А вам?

А теперь давайте, наоборот, выдавать книги из библиотеки. Предположим, в понедельник мы выдали книгу номер восемь. Разве число книг не уменьшилось на одну?

Во вторник - выдадим все книги с нечётными номерами. Ушло бесконечное число книг, но математики скажут, что в библиотеке книг меньше не стало.

Допустим, что в среду мы выдали книги за номерами 4, 5, 6,.. и до бесконечности. Единым махом библиотека практически вся опустела, бесконечное число книг сведено к конечному: к трём. Но позвольте, ведь мы на этот раз выдали столько же книг, что и во вторник! Почему же такая разница? И кто поверит, что такая библиотека может на самом деле существовать?

Все эти примеры иллюстрируют тот факт, что актуальная бесконечность не может иметь места в физическом мире. Я вновь хочу подчеркнуть: это ничем не грозит теоретической системе, введённой в современную математику Г. Кантором. Больше того: даже такие энтузиасты математических теорий бесконечного, как Д. Гилберт, охотно соглашаются с тем, что понятие актуальной бесконечности - это только идея, не имеющая никакого отношения к реальному миру. Поэтому - мы вправе заключить: актуальная бесконечность существовать не может.

Вторая посылка: Ряд событий во времени, не имеющий начала, представляет собой актуальную бесконечность.

Под «событием» я подразумеваю любую перемену, происходящую в физическом мире. То есть: если ряд прошлых событий (или перемен) всё время уходит в прошлое и никогда не имеет начала, то в этом случае, взятые все вместе, эти события составляют актуально бесконечное множество.

Допустим, мы спрашиваем, откуда появилась такая-то звезда. Нам отвечают, что она появилась в результате взрыва звезды, существовавшей до этого. Тогда мы спрашиваем, откуда появилась та звезда? Она тоже возникла из звезды, существовавшей до неё. А эта звезда откуда? Из другой, предыдущей звезды - и так далее. Этот ряд звёзд будет примером безначального во времени ряда событий.

Тогда, если Вселенная существовала всегда, ряд всех событий прошлого в их совокупности составит актуальную бесконечность: потому что каждому событию в прошлом предшествовало другое событие. Таким образом, ряд прошлых событий будет бесконечным.

Но не будет ли он потенциально бесконечным? Нет, ибо мы видели, что прошлое завершено и актуально, - лишь будущее может быть охарактеризовано как потенциально бесконечное. Поэтому представляется очевидным, что безначальный ряд событий во времени является актуальной бесконечностью.

Это приводит нас к нужному заключению. безначальный ряд событий во времени существовать не может. (Мы установили ранее, что актуально бесконечное не может существовать в действительности. И если безначальный ряд временных событий есть актуальная бесконечность, то такой ряд не может существовать.)

Значит, ряд всех событий прошлого обязан иметь начало. Но ведь история Вселенной и есть ряд всех свершившихся событий! Поэтому у Вселенной должно быть начало.

Несколько примеров пояснят этот аргумент.

Мы знаем, что если бы актуальная бесконечность могла существовать в действительности, к ней невозможно было бы ничего прибавить. Но к ряду событий во времени происходят добавления каждый день - или, по крайней мере, нам так кажется. Если же этот ряд актуально бесконечен, то число событий, случившихся до настоящего момента, - не больше, чем, скажем, число событий до 1789 года или до любой другой точки в прошлом, сколь угодно далёкой.

Ещё пример. Вообразим, что вокруг Солнца уже целую вечность вращаются две планеты. Допустим, что одна проходит свою орбиту за три года, другая - за год. Таким образом, на каждый оборот одной приходятся три оборота другой. Вопрос: если они движутся вечно, которая из этих планет сделала больше орбитных оборотов? Ответ: обе сделали одинаковое число оборотов. Но это явный абсурд, ведь здравый смысл подсказывает: чем дольше они вращаются, тем сильнее увеличивается разрыв. Как же может число оборотов быть равным?

Или, наконец, допустим, что нам повстречался инопланетянин. Он утверждает, что целую вечность вёл счёт, и теперь кончает:…5, 4, 3, 2, 1, 0. Но мы можем спросить: почему он не кончил считать вчера? Или даже год назад? Неужели ему не хватило времени? Как же так? Ведь и до прошлого года прошло бесконечное число лет - значит, времени у него было достаточно. Что же получается? Как бы далеко в прошлое мы ни углубились, мы никогда не застигнем его за счетом. Следовательно, не может быть истинным утверждение, что он занят этим всю вечность.

Эти примеры подчёркивают абсурдность идеи безначального ряда событий во времени. Поскольку такой ряд является актуально бесконечным, а актуальная бесконечность существовать не может, то и этот ряд невозможен. Это значит, что Вселенная когда-то начала своё существование, что и требовалось доказать.

Из книги Учебное пособие по социальной философии автора Бенин В. Л.

5.2 Актуальная культура и культурная память Почему с легкой руки Гесиода и Овидия идею золотого века люди связывали с прошлым? За счет чего так силен и живуч консерватизм? Чем объяснить, что в поворотные моменты истории многократно возрастали ряды его сторонников? Великий

автора Кузнецов Б. Г.

Из книги Современная наука и философия: Пути фундаментальных исследований и перспективы философии автора Кузнецов Б. Г.

Бесконечность Попробуем выяснить, как влияют тенденции науки второй половины нашего столетия на разработку таких философских проблем, как актуальная и потенциальная бесконечность, соотношение бесконечно большого и бесконечно малого, бесконечного или конечного

Из книги Прозрачность зла автора Бодрийар Жан

КСЕРОКС И БЕСКОНЕЧНОСТЬ Если люди придумывают или создают «умные» машины, то делают это потому, что в тайне разочаровались в своем уме или изнемогают под тяжестью чудовищного и беспомощного интеллекта; тогда они загоняют его в машины, чтобы иметь возможность играть с ним

Из книги Феноменология духа автора

3. Бесконечность Итак, из представления о перевертывании, составляющем сущность одной стороны сверхчувственного мира, надо удалить чувственное представление об укреплении различий в некоей разнообразной стихии устойчивого существования и только воспроизвести и

Из книги Мысли автора Паскаль Блез

3. Бесконечность - небытие 451. Бесконечность - небытие. - Наша душа брошенная в оболочку тела, находит там число, пространство, три измерения. Она рассуждает о них, объ­единив общим названием “природа”, “необходимость”, и ни во что другое поверить не

Из книги Мадэализм - концепция мировоззрения III тысячелетия (заметки по поводу модернизации физической теории) автора Шулицкий Борис Георгиевич

3.8. Актуальная реальность в новом представлении Как следует из представлений, изложенных в разд. 3.6-3.7 материализм и идеализм можно считать двумя равноправными подходами к описанию актуальной реальности, которые по сути своей являются фрагментарными. Цельное, полное

Из книги Космическая философия автора Циолковский Константин Эдуардович

3.9. Диалектика Гегеля и актуальная действительность Гегелевская диалектика - выдающееся достижение философской мысли. В рамках философии мадэализма появляется возможность по-новому оценить ее место в актуальной действительности. Диалектика Гегеля явилась

Из книги Учение о бытии автора Гегель Георг Вильгельм Фридрих

Бесконечность Материя выражается соединением времени, пространства, силы и чувства (факт: где есть чувство, там есть и материя, и наоборот - где есть материя, там есть и чувство, хотя бы и близкое к нулю). Эти 4 свойства материи неотделимы друг от друга, то есть в отдельности

Из книги Тотальность и бесконечное автора Левинас Эммануэль

С. Бесконечность Бесконечное в своем простом понятии может прежде всего считаться новым определением абсолютного; оно положено, как неопределенное отношение к себе, как бытию и становлению. Формы существования выпадают из ряда определений, которые могут считаться

Из книги Аристотель для всех. Сложные философские идеи простыми словами автора Адлер Мортимер

с. Утвердительная бесконечность В вышеуказанном переходящем туда и сюда взаимном определении конечного и бесконечного истина их в себе уже дана, и требуется лишь признание того, что дано. Это колебание туда и сюда образует собою внешнюю реализацию понятия; в нем - но

Из книги автора

С. Количественная бесконечность а. Ее понятие Определенное количество изменяется и становится другим определенным количеством; дальнейшее определение этого изменения, а именно, что оно продолжается в бесконечность, заключается в том, что определенное количество

Из книги автора

с. Бесконечность определенного количества 1. Бесконечное определенное количество, как бесконечно большое или бесконечно малое, есть само по себе бесконечный прогресс; оно есть определенное количество, как большое или малое, и вместе небытие определенного количества.

Из книги автора

Ж. Бесконечность времени Пребывать в бесконечности означает существовать без ограничений и. следовательно, в виде истока, начала, то есть это означает также быть сущим. Абсолютная недетерминированность И у а - существования без существующих - является непрерывным

Из книги автора

Глава 20 Бесконечность Сложные философские вопросы – это вопросы, на которые невозможно ответить, исходя из общего опыта или на основе здравого смысла. Ответ на них требует постоянных размышлений и рассуждений.Как возникают такие вопросы? Для Аристотеля они появлялись

Из книги автора

Глава 20. Действительная и потенциальная бесконечность (Бесконечность) Критика теории атомистов.Физика, книга I, глава 2.О небе, книга III, глава 4; книга IV, глава 2.Учение Аристотеля о бесконечной делимости непрерывных величин и материи.Физика, книга III, главы 1, 6, 7; книга V, глава

Мы с вами поговорили о том, как расти, какие сроки для этого понадобятся, и теперь самое время поговорить об очень непростом слове — БЕЗКОНЕЧНОСТЬ .

Начнем с того, что это слово обозначает . Как мы видим из названия — это то, что не имеет конца, ни с одной стороны, со стороны начала, ни с другой стороны, со стороны конца. И как это всё правильно понимать, спросите вы.

Я, со своей стороны, предлагаю следующий вариант. Значение этого слова и понятия безусловно существует. Что-то надо узнать и понять, для осознания всей глубины этого процесса.

Можно, конечно, потратить на этот поиск много сил и времени, так или иначе приблизиться к пониманию, но,есть ли в этом смысл? Надо просто, один раз ответить себе на вопрос — это вам надо? Если надо — вперед на поиски. Если не надо — то рекомендую универсальный способ правильного отношения к подобным понятиям.

ЕСЛИ, ПО ТЕМ ИЛИ ИНЫМ ПРИЧИНАМ, ВЫ СЕГОДНЯ НЕ МОЖЕТЕ ЧТО-ТО ПОНЯТЬ, НЕ НАДО НАПРЯГАТЬСЯ И СУДОРОЖНО ИСКАТЬ ОТВЕТА, ОТПУСТИТЕ СИТУАЦИЮ И ПРОСТО ПРИМИТЕ ЕЁ ТАКОЙ, КАКАЯ ОНА ЕСТЬ.

Это универсальный ключик, который можно применять где угодно. В любых ситуациях, любых определениях и так далее. Нужно просто научиться принимать . Много времени и сил освобождается для полезных дел.

Так вот к вопросу о беЗконечности. Для себя я его решил следующим образом. Ну нет у меня инструмента, чтобы измерить когда все началось, и когда закончится. Не сформировался пока. Кто знает, может завтра сформируется, может лет через сто.

А пока эту самую беЗконечность измерить нечем. Значит, что надо делать? Правильно — принять её такую, какая она есть . И, что из этого следует?

А вывод следующий. Нам не дано увидеть и осознать то, как всё в этом мире началось. Теорий много, толку — сами знаете. Значит, пока принимаем то, что всё началось очень давно, и по, пока неизвестным причинам. Есть определённый процесс, частью которого мы являемся. И, самое важное, качественно сделать этот свой незначительный, с точки зрения беЗконечности, участок работы, а там и видно будет.

И вот тут я и предлагаю сделать акцент именно на своём участке, т. е. на СВОЕЙ ЖИЗНИ . Если этот процесс запущен, и мы в нем непосредственные участники, значит надо приложить максимум усилий, чтобы привнести в это дело максимум гармонии и правильности, а все дальнейшие действия будут зависеть именно от этого нашего качественного изменения самого себя. Если оно происходит, то есть шанс перейти куда-то выше, если нет, то придется повторять ещё раз и ещё раз. И так до тех пор, пока изменения не произойдут.

То есть, это своего рода неизбежность, которую надо осознать, и спокойненько заниматься этой самой трансформацией самого себя.

P.S. Вы можете получать информацию о новых статьях на электронную почту:

Обнаружили опечатку или ошибку в тексте? Пожалуйста, выделите это слово и нажмите Ctrl+Enter

Если вы хотите выразить свою БЛАГОДАРНОСТЬ Автору в материальной форме, укажите сумму, выберите способ оплаты и нажмите на кнопочку ПЕРЕВЕСТИ :

Наша молодая пара отсутствовала более двух месяцев. Вернувшись на остров, они сразу отправились к Волшебнику.

— С возвращением! — сказал Волшебник.

— Так вы хотите узнать что-нибудь о бесконечности?

— У вас хорошая память, — ответила Аннабел.

— Ну и хорошо, — не стал возражать Волшебник. — Первое, что нам нужно сделать, — это тщательно определить наши термины. Что именно вы понимаете под словом «бесконечное»?

— Для меня оно означает отсутствие конца, — сказал Александр.

— Я бы сказала то же самое, — подтвердила Аннабел.

— Это не вполне удовлетворительно, — сказал Волшебник. — У круга нет ни начала, ни конца, и все же вы не сказали бы, что он бесконечен: он имеет лишь конечную длину, хотя и содержит бесконечное множество точек. Я хочу говорить о бесконечности в точном смысле, используемом математиками. Конечно, этому слову есть и другие применения. Например, теологи часто ссылаются на бесконечность Бога, хотя некоторые из них достаточно честны, чтобы признать, что по отношению к Богу это слово применяется не в таком смысле, как к чему-то другому. Я не хочу третировать теологическое или любое другое нематематическое применение этого слова, но я хочу ясно дать понять, что предмет нашего обсуждения — бесконечность в чисто математическом смысле этого термина. И для него нам необходимо точное определение.

Очевидно, что слово «бесконечное» является прилагательным, и прежде всего мы должны договориться о том, к какому сорту объектов оно применимо. Какого рода объекты можно считать конечными или бесконечными? При математическом применении термина такими объектами являются множества, или совокупности объектов, которые могут быть конечными или бесконечными. Мы говорим, что множество объектов имеет конечное или бесконечное число членов, и теперь нужно сделать эти понятия точными.

Ключевую роль здесь играет понятие однооднозначного соответствия между двумя множествами. Например, два множества — стадо из семи овец и роща из семи деревьев — связаны между собой так, как ни одно из них не связано с грудой из пяти камней, потому что множество из семи овец и множество из семи деревьев можно соединить по парам (например, привязав к каждому дереву по овце) так, что каждая овца и каждое дерево будут принадлежать в точности одной паре. В математической терминологии это значит, что множество из семи овец можно поставить в 1-1-значное соответствие с множеством из семи деревьев. Другой пример. Допустим, что, попав в театральный зал, вы видите, что все места заняты, никто не стоит и никто не сидит ни у кого на коленях, на каждом месте сидит один и только один человек. Тогда, не считая число людей или число мест, вы знаете, что эти числа равны, так как множество людей находится в 1-1-значном соответствии с множеством мест: каждый человек соответствует месту, которое он занимает.

Я знаю, что вы знакомы с множеством натуральных чисел, хотя можете и не знать, что оно так называется. Натуральные числа — это числа 0, 1, 2, 3, 4... То есть натуральное число — это ноль или любое целое положительное число.

— А ненатуральное число существует? — спросила Аннабел.

— Нет, о таком я никогда не слышал, — усмехнулся Волшебник, — и, должен признаться, нахожу твой вопрос очень забавным. Как бы то ни было, с этого момента я буду использовать слово число в смысле натуральное число, если не оговаривается что-то обратное. Если дано натуральное число n, то что значит утверждение, что определенное множество имеет в точности n элементов? Например, что значит утверждение о том, что на моей
правой руке в точности пять пальцев? Это значит, что я могу установить 1-1-значное соответствие между множеством пальцев моей правой руки с множеством целых положительных чисел от 1 до 5, считая, что большой палец соответствует 1, указательный — 2, средний — 3, безымянный — 4 и мизинец — 5. В общем случае для любого целого положительного числа n множество содержит (в точности) n элементов, если можно установить 1-1-значное соответствие между этим множеством и множеством целых положительных чисел от 1 до n.

Множество, содержащее n элементов, называ-ют также п-элементным множеством. Процесс установления 1-1-значного соответствия между n-элементным множеством и множеством целых положительных чисел имеет общераспространенное название — счет. Да, именно в этом и заключается сущность счета. Итак, я объяснил вам, что означает для множества иметь n элементов, где n — целое положительное число. А что, если n = 0? Что
означает для множества иметь 0 элементов? Очевидно, что это значит, что множество вообще не имеет элементов.

— Такие множества существуют? — спросил Александр.

— Есть только одно такое множество, — ответил Волшебник. — Оно называется пустым множеством и является в высшей степени полезным для математиков. Без него постоянно пришлось бы делать исключения, и все стало бы очень громоздким. Например, мы хотим говорить о множестве людей в театре в данный момент. Может случиться, что в этот момент времени в театре вообще нет людей, и в таком случае мы говорим, что множество находящихся в театре людей пусто — точно так же, как говорим о пустом театре. Его нельзя путать с театром вообще! Театр продолжает существовать как театр; просто в нем может не быть ни одного человека. Точно так же, пустое множество существует как множество, но у него нет элементов.

Я вспоминаю чудесный случай. Много лет назад я рассказал о пустом множестве милой леди-музыканту. Она удивилась и спросила: «Математики действительно применяют это понятие?» Я ответил: «Конечно применяют».
Она спросила: «Где?» «Везде», — ответил я. Она задумалась ненадолго и сказала: «О, да. Я полагаю, это похоже на музыкальные паузы». Я думаю, это была очень хорошая аналогия! Один забавный случай связан со Смаллианом. Когда он был студентом Принстонского университета, один из известных математиков во время лекции сказал, что ненавидит пустое множество. В следующей своей лекции он использовал пустое множество. Смаллиан поднял руку и сказал: «Я думал, вы сказали, что не любите пустое множество». «Я сказал, что не люблю пустое множество, — ответил профессор. — Я никогда не говорил, что не использую пустое множество!»

— Вы еще не сказали нам, что вы понимаете под «конечным» и «бесконечным», — сказала Аннабел. — Вы собираетесь объяснять?

— Именно к этому я и подхожу, — ответил Волшебник. — Все, что я сказал вам прежде, ведет к определению этих терминов. Множество конечно, если существует такое натуральное число n, что данное множество содержит в точности n элементов, а это, как мы помним, значит, что данное множество можно поставить в 1-1-значное соответствие с целыми положительными числами от 1 до n. Если такого натурального числа n не существует, то множество называется бесконечным. Это очень просто. Таким образом, 0-элементное множество конечно, 1-элементное множество конечно, 2-элементное множество конечно... и n-элементное
множество конечно, где n — любое натуральное число. Но если для любого натурального числа n ложно, что множество содержит в точности n элементов, то это множество бесконечно. Значит, если множество бесконечно, то для любого натурального числа n, если удалить из данного множества n элементов, в нем еще останутся элементы — фактически еще останется бесконечное число элементов.

— Вы понимаете, почему сказанное верно? Давайте сначала рассмотрим простую задачу. Допустим, я удалил один элемент из бесконечного множества. То, что осталось, обязательно будет бесконечным?

— Кажется, что так! — сказала Аннабел.

— Именно так! — подтвердил Александр.

— Хорошо, вы правы, но можете ли вы это доказать?

Молодые люди задумались, но доказательство вышло трудным для них. Все казалось слишком очевидным, чтобы требовать доказательства. Однако это легко доказать из самих определений терминов «конечное» и «бесконечное». Данные определения необходимо применить для этого. Как же это доказать?

Волшебнику пришлось немного подтолкнуть молодых людей к нужному решению, но, в конце концов, они нашли доказательство, которое его устроило.

— Бесконечные множества, — сказал Волшебник, — обладают некоторыми странными свойствами, которые иногда называют парадоксальными. На самом деле они не парадоксальны, просто слегка поражают при первом
знакомстве с ними. Это хорошо иллюстрирует известный рассказ об отеле Гильберта. Возьмем обычный отель, в котором конечное число номеров, скажем, сто. Допустим, что все номера заняты и в каждом из них один жилец. Приезжает новый человек и хочет снять номер на ночь, но ни он, ни один из жильцов отеля не желает делить свой номер с другим человеком. Тогда невозможно разместить в отеле нового приезжего, так как невозможно установить 1-1-значное соответствие между 101 человеком и 100 комнатами. Однако с бесконечным отелем (если вы можете представить себе такой) ситуация другая. В отеле Гильберта бесконечное число комнат: по одной на каждое целое положительное число. Комнаты пронумерованы последовательно: номер 1, номер 2, номер 3... номер n... и так далее. Можно представить себе, что номера отеля расположены в линейном порядке: они начинаются в определенной точке и продолжаются вправо до бесконечности. Есть первый номер, но нет последнего! Важно помнить, что нет именно последнего номера, точно так же, как нет последнего натурального числа. Далее опять предполагается, что все номера заняты: в каждом номере по одному человеку. Появляется новый приезжий и хочет снять номер. Интересно, что теперь его можно разместить в отеле. Ни он, ни один из жильцов отеля не желает делить свой номер с другим человеком, но каждый жилец отеля согласен поменять свой номер на другой, если его об этом попросят.

— Теперь перейдем к другой задаче, — продолжил Волшебник после обсуждения решения предыдущей задачи. — Рассмотрим тот же отель. Однако теперь вместо одного человека приезжает бесконечное число новых гостей: по одному на каждое целое положительное число n. Назовем старых жильцов отеля P1, Р2... Рn... а новых приезжих Q1 , Q2... Qn... Все Q-персоны желают, чтобы их разместили в отеле. Необычно то, что это возможно!

Как это сделать?

А теперь рассмотрим еще более интересную задачу. Возьмем бесконечное число отелей: по одному на каждое целое положительное число. Отели расположены на прямоугольной площади:

Вся цепь отелей управляется одной администрацией. Все номера во всех отелях заняты. Однажды в целях экономии энергии администрация решает закрыть все отели, кроме одного. Однако для этого нужно разместить всех жильцов всех отелей в единственном отеле — по одному жильцу в одном номере.

Возможно ли это?

— Вы видите, что открывают нам эти за-дачи, — продолжал Волшебник. — Они показывают, что бесконечное множество имеет странное свойство: его можно поставить в 1-1-значное соответствие с его собственной частью. Давайте определим это более точно.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент А является элементом В. Например, если А — множество чисел от 1 до 100, В — множество чисел от 1 до 200, то А есть подмножество В. Если Е — множество четных чисел, а N — множество всех чисел, то Е есть подмножество N. Подмножество А множества В называется собственным подмножеством В, если А есть подмножество В, но не содержит все элементы В. Другими словами, А есть собственное подмножество В, если А есть подмножество В, но В не является подмножеством А. Пусть Р — это множество всех целых положительных чисел {1, 2, 3... n...}, Р- — это множество всех целых положительных чисел без единицы {2, 3... n...}. В первой задаче про отель Гильберта мы видели, что между Р и Р- можно установить 1-1-значное соответствие, и все же Р- является собственным подмножеством Р! Да, бесконечное множество может иметь странное свойство: его можно поставить в 1-1-значное соответствие со своим собственным подмножеством! Это было известно давно. В 1638 г. Галилей показал, что квадраты целых положительных чисел можно поставить в 1-1-значное соответствие с самими этими числами.

Казалось, это противоречит древней аксиоме о том, что целое больше любой из его частей.

— А разве нет? — спросил Александр.

— На самом деле противоречия нет, — ответил Волшебник. — Допустим, что А есть собственное подмножество В. Тогда в одном из смыслов слова «больше»— В больше А, а именно в том смысле, что В содержит все элементы А и еще те элементы, которых нет в А. Однако это не значит, что В численно превосходит А.

— Кажется, я не поняла, — сказала Аннабел. — Что вы имеете в виду под термином «численно превосходит»?

— Хороший вопрос! — сказал Волшебник. — Прежде всего, что, по вашему мнению, я имею в виду говоря, что А имеет ту же самую величину, что и В?

— Я полагаю, это значит, что между А и В можно установить 1-1-значное соответствие, — ответила Аннабел.

— Правильно! А что, по вашему мнению, я имею в виду, говоря, что А по величине меньше В, или что число элементов А меньше числа элементов В?

— Я полагаю, это значит, что можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В.

— Неплохая попытка, — одобрил Волшебник, — но эта версия не подходит. Такое определение прекрасно подошло бы для конечных множеств. Беда в том, что в некоторых случаях можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В, а также можно установить 1-1-значное соответствие между В и собственным подмножеством А. В таком случае вы сможете сказать, что каждое из этих множеств меньше другого? Например, пусть О — множество нечетных чисел, а Е — множество четных чисел. Очевидно, что между О и Е можно установить 1-1-значное соответствие.

Однако можно также установить 1-1-значное соответствие между О и собственным подмножеством Е.

Можно также установить 1-1-значное соответствие между Е и собственным подмножеством О.

Теперь вы, конечно, не скажете, что О и Е имеют одну и ту же величину, и все же О меньше, чем Е, а Е меньше, чем О! Нет, такое определение не работает.

— Тогда какое же определение отношения «...меньше, чем...» подходит для множеств? — спросила Аннабел.

Корректное определение формулируется так. А меньше, чем В, или В больше, чем А, если выполняются следующие условия: (1) можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В; (2) невозможно установить 1-1-значное соответствие между А и всем множеством В.

Чтобы правильно сказать, что А меньше В, необходимо, чтобы выполнялись оба эти условия. Утверждение о том, что А меньше В, означает прежде всего что можно установить 1-1-значное соответствие между А и подмножеством В, а также, что любое 1-1-значное соответствие между А и подмножеством В не исчерпывает всех элементов В.

А сейчас возникает фундаментальный вопрос. Любые два бесконечных множества имеют одну и ту же величину, или есть бесконечные множества разной величины? Это первый вопрос, на который нужно ответить при построении теории бесконечности, и, к счастью, на него ответил Георг Кантор в конце позапрошлого века. Ответ вызвал бурю и породил целое новое направление в математике, ветви которого просто фантастичны!

Я сообщу вам ответ Кантора при следующей встрече. Пока что подумайте сами, в чем состоял этот ответ. Одинаковы ли по величине все бесконечные множества, или среди них есть разные?

Решения

1. Сначала покажем, что при добавлении одного элемента к конечному множеству получается конечное множество. Допустим, что множество А конечно. По определению это значит, что для некоторого натурального числа n множество А имеет n элементов. Если добавить к А еще один элемент, получится множество, имеющее n+1 элементов, которое по определению конечно.

Из этого немедленно следует, что в результате удаления элемента из бесконечного множества В, должно получиться бесконечное множество, ибо, если бы оно было конечным, то, вернув удаленный элемент, мы получили бы исходное множество В, которое было бы конечным, а по условию оно бесконечно.

2. Администрации отеля нужно всего лишь попросить каждого из постояльцев переместиться на один номер вправо. Другими словами, обитатель номера 1 переходит в номер 2, обитатель номера 2 переходит в номер 3...
обитатель номера n переходит в номер n+1. Поскольку в этом отеле нет последней комнаты (в отличие от более нормальных конечных отелей), ни один из постояльцев не окажется на улице. (В конечном отеле обитатель последнего номера оказался бы без места.) После такого перемещения номер 1 освобождается, и вновь прибывший может занять его.

Математически в данном случае нужно установить 1-1-значное соответствие между множеством всех целых положительных чисел с множеством целых положительных чисел, начинающимся с 2. Конечно, менеджер отеля мог бы поступить так же с сотней миллионов новых гостей, если бы они прибыли одновременно. Он просто попросил бы каждого постояльца переместиться на сто миллионов и одну комнату вправо (жилец номера 1 перешел бы в номер 100000001, жилец номера 2 — в номер 100000002 и так далее). Для любого натурального числа n отель мог принять n новых постояльцев, переместив обитателя каждого номера на n номеров вправо и тем самым освободив n первых номеров для новых гостей.

3. Если приезжает бесконечное множество новых гостей Q1 , Q2... Qn... нужно действовать немного иначе. Одно из ложных решений состоит в следующем. Менеджер просит каждого из старых постояльцев переместиться на один номер вправо и вселяет одного из приезжих в пустой номер 1. Затем он опять просит каждого переместиться на один номер вправо и вселяет второго гостя в свободный номер 2. Затем эта процедура повторяется снова и снова бесконечное число раз, и раньше или позже все новые гости вселяются в отель.

Ох, какое же хлопотное это решение!

Ни один человек не занимает номер постоянно, и всех гостей невозможно разместить ни за какой конечный отрезок времени: требуется бесконечное число перемещений. Нет, все можно уладить с помощью единственного перемещения. Можете сказать какого?

Это перемещение состоит в том, что каждый из старых постояльцев удваивает номер своей комнаты, то есть обитатель номера 1 переходит в номер 2, обитатель номера 2 переходит в номер 4, обитатель номера 3 переходит
в номер 6... обитатель номера n переходит в номер 2n. Разумеется, все это делается одновременно, и после такого перемещения все четные номера заняты, а бесконечное число нечетных номеров свободно. Итак, первый новый гость Q1 идет в номер 1, Q2 идет в номер 3, Q3 — в номер 5 и так далее (Qn идет в номер 2n-1).

4. Сначала «пронумеруем» всех постояльцев всех номеров во всех отелях в соответствии со следующим планом:

Итак, каждый постоялец «помечен» целым положительным числом. Затем всех просят выйти из номеров и немного подождать на улице. После этого администрация закрывает все отели, кроме одного, и просит каждого из гостей занять тот номер отеля, который был ему предназначен: постоялец с номером n идет в номер n.

← Вернуться