Изучение древних систем счисления и решение задачи с их применением.

Исследовательская работа:

«Системы счисления древнего мира»

«Математика – царица наук» - гласит известная поговорка. Главной её частью естественно являются цифры. Сейчас в мире используется более или менее общая, хорошо сформированная система. Но что было 3, 4, 5 тыс. лет назад?

И поэтому нашей главной целью является дать ответы на следующие вопросы:

Какие государства имели более развитые системы счисления?
Какие системы они использовали?
Как развивались системы счисления?

Задачи: изучение материалов про системы счисления древности, решение современной задачи с использованием всех исследуемых систем.

Предмет исследования системы счисления древности.

Перед началом поиска информации мы определили следующие государства для изучения:

ØДревний Египет

ØВавилон

ØДревняя Греция

1.Древний Египет

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. Число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. Число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) И московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи. Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. Дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии

2.Вавилон

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшие, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

3.Древняя Греция

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символГ , первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символD , первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символH означал 100 (гекатон),X – 1000 (хилиои), символM – 10000 (мириои или мириада).

Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов цифр.

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов Римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символыI ,V ,X ,Q (илиЕ , илиД ) иf . Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел.

Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять. Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90.

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона. Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами.

Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счислениявытесни

Цель моего исследования: Поиск математической и исторической литературы для рассмотрения всевозможных систем счисления. Задачи: 1) Изучение учебной, справочной, методической, научно-популярной и занимательной литературы. 2) Сравнение древних систем счисления. 3) Ознакомление с применением древних систем счисления в современности.

Как человек научился считать. У первобытного человека не было потребности в счёте больших количеств. Поэтому счет доходил до 2 или до 3 - всё превышающее этот рубеж, первобытному человеку представлялось как много. Числительное два имело качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр. Затем процессе развития обмена - появились естественные эталоны счёта: пять,- в пальцев руки, камешки, ракушки и пр.

Как человек научился считать. Так, обозначения чисел у жителей одного из Малазийских островов выглядят следующим образом: 1 - маленький палец правой руки, 2 - безымянный палец, 3 - средний палец, 4 - указательный палец, 5 - большой палец, 6 - кисть, 7 - локоть, 8 - плечо, 9 - ухо, 10 - правый глаз, 11 - левый глаз, 12 - нос, 13 - рот, 14 - левое ухо и т. д.

Как человек научился считать. Уже при более высокой стадии развития люди при счете стали применять различные предметы. Так, одни пользовались для запоминания числа камешками, зернами, веревкой с узелками, другие палочками с зарубками (бирками), связкой прутьев, кучей раковин, камней и пр… Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, привели к образованию различных систем счисления и к созданию современных быстродействующих электронных счетных машин.

Двадцатеричная система древних майя. Сначала майя использовали для обозначения чисел иероглифические символы:

Двадцатеричная система древних майя. Затем они стали записывать свои цифровые знаки в виде точек и тире, причем, точка всегда означала единицы данного порядка, а тире пятерки

Древнеегипетская десятичная система. Древнеегипетская десятичная система. В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз. Число 345 в Египте записывали так:

Вавилонская шестидесятеричная система. Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации вавилонской люди записывали цифры по-другому. Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так:. Знаки и служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Вавилонская шестидесятеричная система Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево. 2-й разряд 1-й разряд

Так как система была шестидесятеричной, то число 92, например, раскладывали на и записывали так: Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа. Вавилонская шестидесятеричная система

Римская система счисления. Римская система счисления. Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем "римской нумерации", в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (Например, VI = 6, т.е; LX = 60, т.е), если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей: IV = 4, т.е. 5 1; XL = 40, т е). Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Римская система счисления. Римская система счисления. 1 - I 2 - II 3 - III 4 - IV 5 - V 6 - VI 7 - VII 8 - VIII 9 - IX 10 – X 11 - XI 13 - XIII 18 - XVIII 19 - XIX 22 - XXII 34 - XXXIV 39 - XXXIX 40 - XL 60 - LX 99- XCIX CC CDXXXVIII DCXLIX CMXCIX MCCVII MMXLV MMMDLV MMMDCLXXVIII MMMCM MMMCMXCIX По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления встречается очень редко.

Алфавитные системы счисления. Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C 200, Л 30, А 1). Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак -- "титло" (отсюда - число).

Десятичная система счисления. Десятичная система счисления. Самая известной и используемой в настоящее время системой счисления – является десятичная система. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Десятичная система счисления. В древности цифры этой системы изображались с углами. Это было не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. В дальнейшем написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма цифр, которой мы пользуемся сейчас, установилась только в XVI веке.

Двоичная система счисления. Двоичная система счисления. Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, это число два. Соответствующая этому основанию система, называемая двоичной, одна из очень старых. Удобство этой системы в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. 2 Весьма просто выглядят и правила действия над числами, записанными в двоичной системе. Основные правила сложения даются равенствами: 0+0=0,0+1=1,1+1=(10)2.

Древние системы счета. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, и мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуты на 60 секунд, а окружность делим на 360 частей (градусов), а 1 градус на 60 минут. Существует и шестидесятилетний цикл в названиях года по календарю ариев. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна. Римская система счисления, также по причине неудобства и большой сложности в настоящее время используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Древние системы счета. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся с ней и в быту: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков 12 штук. Время считается тоже в этой системе 12 месяцев, 24 часа в сутках,12-летний цикл в названиях года по китайскому календарю. Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах. Всем этим системам свойственны два Всем этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций. выполнения арифметических операций.

Древние системы счета. Сейчас наиболее распространена десятичная система счисления. В соответствии с этой системой ради справедливости ее следовало бы называть индийской мы расставляем цифровые знаки горизонтально-строчечным способом, применяя «позиционный принцип» одно из замечательных достижений человеческого разума. Это значит, что цифры стоят друг за другом в строгом порядке, справа налево от первой позиции или первого порядка к последующим, а именно: единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.

Древние системы счета. Самой старой системой счисления по праву можно считать двоичную систему счисления. Но эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной и необходимой в использовании в телеграфах, а также в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Введение

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине

подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. Они с нами везде.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

1.История систем счисления

Единичная система счисления

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Рисунок 1 Запись числа древнеегипетской системой счисления

Обозначение цифр в непозиционной древнеегипетской системе счисления:

Рисунок 2 Единица

Рисунок 3 Десятки

Рисунок 4 Сотни

Рисунок 5 Тысячи

Рисунок 6 Десятки тысяч

Рисунок 7 Сотни тысяч

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская(шестидесятеричная) система счисления

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин (рисунок 8) служил для обозначения единиц, лежачий клин (рисунок 9) - для обозначения десятков.

Рисунок 8 Прямой клин

Рисунок 9 Лежачий клин

Таким образом, число 32 записывали так:

Рисунок 10 Запись числа 32 на вавилонской шестидесятеричной системе счисления

Число 60 снова обозначалось тем же знаком(рисунок 8) , что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Для определения значения числа нужно было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков ("цифр") соответствовало чередованию разрядов:

Рисунок 11 Разбивание на разряды числа

Значение числа определяли по значениям составляющих его "цифр", но с учетом того, что "цифры" в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же "цифр" в предыдущем разряде.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60.

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало "цифры" для обозначения нуля. Запись числа 92, могла обозначать не только 92 = 60 + 32, но и 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 и т.д. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ (рисунок 12) для обозначения, пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует в привычной нам десятичной системе появлению цифры 0 в записи числа. Но в конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании.

Рисунок 12 Символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

Таким образом, число 3632 теперь нужно было записывать так:

Рисунок 13 Запись числа 3632

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

Римская система счисления

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить системы счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:

Рисунок 14 Трансформация числа 100

Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum сто, Demimille половина тысячи, Mille тысяча).

Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.

Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.

Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Десятичное число 99 имеет такое представление:

Рисунок 15 Число 99

То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее.

Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.

В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблицы, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:

Единицы	Десятки	Сотни	Тысячи
	10 X	100 C	1000 M
2 II	20 XX	200 CC	2000 MM
3 III	30 XXX	300 CCC	3000 MMM
4 IV	40 XL	400 CD
	50 L	500 D
6 VI	60 LX	600 DC
7 VII	70 LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9 IX	90 XC	900 CM

Таблица 1 Таблица римских цифр

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

В настоящее время римская система счисления не применяется, за некоторыми исключениями:

Обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975).
Обозначение порядковых числительных.
Обозначение производных небольших порядков, больших трёх: yIV, yV и т.д.
Обозначение валентности химических элементов.
- Славянская система счисления

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.

Единицы	Десятки	Сотни

Таблица 2 Славянская система счисления

Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.

Система счисления майя

Эта система использовалась для календарных расчетов. В быту майя использовали непозиционную систему сходную с древнеегипетской. Об этой системе дают представление сами цифры майя, которые можно трактовать как запись первых 19 натуральных чисел в пятеричной непозиционной системе счисления. Аналогичный принцип составных цифр использован в вавилонской шестидесятеричной системе счисления.

Цифры майя состояли из нуля (знак ракушки) и 19 составных цифр. Эти цифры конструировались из знака единицы (точка) и знака пятёрки (горизонтальная черта). Например, цифра, обозначающая число 19, писалась как четыре точки в горизонтальном ряду над тремя горизонтальными линиями.

Рисунок 16 Система счисления майя

Числа свыше 19 писались согласно позиционному принципу снизу вверх по степеням 20. Например:

32 писалось как (1)(12) = 1×20 + 12

429 как (1)(1)(9) = 1×400 + 1×20 + 9

4805 как (12)(0)(5) = 12×400 + 0×20 + 5

Для записи цифр от 1 до 19 иногда также использовались изображения божеств. Такие цифры использовались крайне редко, сохранившись лишь на нескольких монументальных стелах.

Позиционная система счисления требует использования нуля для обозначения пустых разрядов. Первая дошедшая до нас дата с нулём (на стеле 2 в Чиапа-де Корсо, Чиапас) датирована 36 годом до н. э. Первая позиционная система счисления в Евразии, созданная в древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э., первоначально нуля не имела, а впоследствии знак нуля использовался только в промежуточных разрядах числа, что приводило к неоднозначной записи чисел. Непозиционные системы счисления древних народов нуля, как правило, не имели.

В «долгом счёте» календаря майя была использована разновидность 20-ричной системы счисления, в которой второй разряд мог содержать только цифры от 0 до 17, после чего к третьему разряду добавлялась единица. Таким образом, единица третьего разряда означала не 400, а 18×20 = 360, что близко к числу дней в солнечном году.

История арабских чисел

Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия.

В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

История нуля

Нуль бывает разный. Во-первых, нуль это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?

Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.

На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью".

Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении "Liber abaci" (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum это арабское слово as-sifr, которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.

Нуль - это уникальный знак. Нуль это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все!

Недостатки непозиционной системы счисления

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3.Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак что-то наподобие наших счетов.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

2.Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

История двоичной системы счисления

В основу поисков инженеры и математики положили двоичную двухпозиционную - природу элементов вычислительной техники.

Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор - диод. Он может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический ток - «открыт», или не проводит его - «заперт». А триггер? Он тоже имеет два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие элементы.

Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в ней только две цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.

Не думайте, что двоичная система - современница электронных машин. Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно. Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.

Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

По просьбе ученого в честь «диадической системы» - так тогда называли двоичную систему - была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Формула 1 Количество информации в битах

Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры. Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110 2 = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование, называется дешифратором (декодером, англ. decoder).

Дешифратор это схема преобразующая двоичный код, подаваемый на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Шестнад-

теричное

число

Двоичная

тетрада

Таблица 3 Таблица шестнадцатеричных цифр и двоичных тетрад

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления

Перевести двоичное число в восьмеричную систему достаточно просто, для этого нужно:

Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр), начиная с младших разрядов. Если в последней триаде (старшие разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями слева.
1. Под каждой триадой двоичного числа записать соответствующую ей цифру восьмеричного числа из следующей таблицы.

Восьмеричное

число

Двоичная триада

Таблица 4 Таблица восьмеричных чисел и двоичных триад

3.Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления это позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе используется 8 цифр от нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).

Применение: восьмеричная система наряду с двоичной и шестнадцатеричной используется в цифровой электронике и компьютерной технике, однако в настоящее время применяется редко (ранее использовалась в низкоуровневом программировании, вытеснена шестнадцатеричной).

Широкое применение восьмеричной системы в электронной вычислительной технике объясняется тем, что для нее характерен легкий перевод в двоичную и обратно с помощью простой таблицы, в которой все цифры восьмеричной системы от 0 до 7 представлены в виде двоичных триплетов (Таблица 4).

История восьмеричной системы счисления

История: возникновение восьмеричной системы связывают с такой техникой счета на пальцах, когда считались не пальцы, а промежутки между ними (их всего восемь).

В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8. Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована.

Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного числа. [ 24]

Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

Перевод из восьмеричной в двоичную систему счисления

Для перевода из восьмеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр триаду(Таблица 4).

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления

Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр тетраду (Таблица 3).

3.Шестнадцатеричная система счисления

Позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

История шестнадцатеричной системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit binary digit двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления двоичную крайне прост. Необходимо только заменить каждую цифру шестнадцатеричного числа ее эквивалентом в двоичной системе счисления (в случае положительных чисел). Отметим только, что каждое шестнадцатеричное число следует заменять двоичным, дополняя его до 4 разрядов (в сторону старших разрядов).

Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C 16 = (15·16 7 )+(4·16 6 )+(5·16 5 )+(14·16 4 )+(13·16 3 )+(2·16 2 )+(3·16 1 )+(12·16 0 ) = 4099854908 10

Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления

Обычно при переводе чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления вначале шестнадцатеричное число переводят в двоичное, затем разбивают его на триады, начиная с младшего бита, а потом заменяют триады соответствующими им эквивалентами в восьмеричной системе(Таблица 4).

Заключение

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски".

Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буквы, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.

На данный момент мы используем разные системы счисления разных народов, не смотря на то, что десятичная система счисления имеет ряд преимуществ перед остальными.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления до сих используется в астрономии. Ее след сохранился до наших дней. Мы до сих пор измеряем время в шестидесяти секундах, в часах шестьдесят минут, также она применяется в геометрии для измерения углов.

Римская непозиционная система счисления используется нами для обозначения параграфов, разделов и в конечно же в химии.

В компьютерных технологиях используется двоичная система. Именно из-за использования всего двух чисел 0 и 1 она лежит в основе работы компьютера, так как у него два устойчивых состояния: низкое или высокое напряжение, есть ток или нет тока, намагничено или не намагничено.Для людей двоичная система счисления не удобна из-за громоздкости записи кода, но переводить числа из двоичную систему в десятичную и обратно не так уж и удобно, поэтому стали использовать восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Список рисунков

Список таблиц

Формулы

Список литературы и источников

Берман Н.Г. "Счет и число". ОГИЗ Гостехиздат Москва 1947 год.
Бругш Г. Все о Египте М:. Ассоциация Духовного Единения «Золотой Век», 2000. 627 с.
Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире М.: Наука, 1967.
Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. М., 1959. 456 с.
Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964, 376 с.
Босова Л. Л. Информатика: Учебник для 6 класса
Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 2010
Всевозможные нумерации и системы счисления (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm )
Математический энциклопедический словарь. М.: «Сов. энциклопедия », 1988. С. 847
Талах В.Н., Куприенко С.А. Америка первоначальная. Источники по истории майя, наука (астеков) и инков
Талах В.М. Введение в иероглифическую письменность Майя
А.П.Юшкевич, История математики, Том 1, 1970
И. Я. Депман, История арифметики, 1965
Л.З.Шауцукова, "Основы информатики в вопросах и ответах", Издательский центр "Эль-Фа", Нальчик, 1994
А.Костинский, В.Губайловский, Триединый нуль (http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp )
2007-2014 "История компьютера" (http://chernykh.net/content/view/50/105/ )
Информатика. Базовый курс. / Под ред. С.В.Симоновича. - Спб., 2000 г.
Зарецкая И.Т., Колодяжный Б.Г., Гуржий А.Н., Соколов А.Ю. Информатика:Учебное пособие для 10 11 кл. средних общеобразовательных школ. К.: Форум, 2001. 496 с.
ГлавСправ 20092014(http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/ )
Информатика. Компьютерная техника. Компьютерные технологии. / Пособие под ред. О.И.Пушкаря.- Издательский центр "Академия", Киев, - 2001 г.
Учебное пособие «Арифметические основы ЭВМ и систем». Часть 1. Системы счисления
О.Ефимова, В.Морозова, Н.Угринович «Курс компьютерной технологии»учебное пособие для старших классов
Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы.- М.:Энергоатомиздат, 1985
Майоров С.А., Кириллов В.В., Приблуда А.А., Введение в микроЭВМ, Л.: Машиностроение, 1988.
Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
Математическая энциклопедия. М: “Советская энциклопедия” 1985г.
Шауман А. М. Основы машинной арифметики. Ленинград, Издательство Ленинградского университета. 1979г.
Ворощук А. Н. Основы ЦВМ и программирования. М:”Наука” 1978г.
Ролич Ч. Н. От 2 до 16, Минск, «Высшая школа», 1981г.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СУРГУТСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (ФИЛИАЛ) ТюмГУ

Тема: «История систем счисления»

Выполнила:

студентка 1 курса БД-154-О

Кутова А. А.

Проверила:

Волкова Т.Г

Сургут 2015

1. История систем счисления

2. Десятичная система счисления

Литература

1. История систем счисления

Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Единичная система

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Единицы Десятки Сотни

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи . Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60 2 , 216000=60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной .

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60. число единичный шестидесятеричный

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Римская система

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);

2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);

3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

2. Десятичная система счисления

Десятичная сис тема счисления - это всем нам привычная и хорошо известная позиционная система счисления, но мы начнем изучение именно с нее и рассмотрим ее с позиций, которые помогут нам понять другие непривычные нам системы счисления.

Итак, основанием системы является число десять (10), это значит что для изображения чисел используется десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Давайте просто посчитаем в этой системе, будем считать и записывать числа из имеющихся в нашем распоряжении цифр:

Ноль - 0 ;

Один - 1 ;

Восемь - 8 ;

Девять - 9 ;

А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число десять? Чтобы выкрутится из ситуации, введем новое понятие - "десяток" и скажем, что десять - это один десяток и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10".

Итак, Десять - 10 (один десяток, ноль единиц)

Одиннадцать - 11 (один десяток, одна единица)

Двадцать - 20 (два десятка, ноль единиц)

Девяносто девять - 99 (девять десятков, девять единиц)

Сто - 100 (одна сотня, ноль десятков, ноль единиц)

И так всегда, когда нам перестает хватать цифр для отображения следующего числа, мы укрупняем единицы счета (т.е. считаем десятками, сотнями и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.

Рассмотрим число 4329 записанное в десятичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: четыре тысячи, три сотни, два десятка и девять единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.

4329 = 4 *1000+3 *100+2 *10+9 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.

Но ряд чисел 1000, 100, 10, 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 (основания системы счисления) и поэтому можно записать:

4329 = 4 *10 3 +3 *10 2 +2 *10 1 +9 *10 0

Аналогично для дробного числа (десятичной дроби) например: 0.235 (ноль целых двести тридцать пять тысячных), про него можно сказать, что оно содержит: две десятых доли, три сотых доли и пять тысячных долей. И его значение можно вычислить следующим образом:

0.235 = 2 *0.1 + 3 *0.01 + 5 *0.001

И здесь ряд чисел 0.1 0.01 0.001 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 и мы также можем записать:

0.235 = 2 *10 -1 + 3 *10 -2 + 5 *10 -3

Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:

752.369 = 7 *10 2 +5 *10 1 +2 *10 0 +3 *10 -1 +6 *10 -2 +9 *10 -3

Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного десятичного числа может быть вычислено по формуле:

N = d n 10 n +d n-1 10 n-1 +…+d 1 10 1 +d 0 10 0 +d -1 10 -1 +d -2 10 -2 +…+d -(m-1) 10 -(m-1) +d -m 10 -m

Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;

m - количество разрядов в дробной части числа

d i - цифра стоящая в i -м разряде

Эта формула называется формулой поразрядного разложения десятичного числа, т.е. числа записанного в десятичной системе счисления. Но если в этой формуле число десять заменить на некоторое натуральное число q , то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q :

N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m

С помощью последней формулы мы всегда можем получить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления.

Вывод

Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Литература

1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm

4. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: Учебник для 6 класса. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012

5. http://www.reshinfo.com/desytichnaja_systema.php

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Исследование истории систем счисления. Описание единичной и двоичной систем счисления, древнегреческой, славянской, римской и вавилонской поместной нумерации. Анализ двоичного кодирования в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

контрольная работа , добавлен 04.11.2013

Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

курсовая работа , добавлен 29.04.2017

Совокупность приемов и правил записи и чтения чисел. Определение понятий: система счисления, цифра, число, разряд. Классификация и определение основания систем счисления. Разница между числом и цифрой, позиционной и непозиционной системами счисления.

презентация , добавлен 15.04.2015

Понятие и математическое содержание систем счисления, их разновидности и сферы применения. Отличительные признаки и особенности позиционных и непозиционных, двоичных и десятичных систем счисления. Порядок перевода чисел из одной системы в другую.

презентация , добавлен 10.11.2010

Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.

реферат , добавлен 09.07.2009

Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще. История цифр. Числа и счисление. Способы запоминания чисел.

реферат , добавлен 13.04.2008

Математическая теория чисел. Понятие систем счисления. Применения двоичной системы счисления. Компьютерная техника и информационные технологии. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование. Достоинства и недостатки двоичной системы счисления.

реферат , добавлен 25.12.2014

Определения системы счисления, числа, цифры, алфавита. Типы систем счисления. Плюсы и минусы двоичных кодов. Перевод шестнадцатеричной системы в восьмеричную и разбитие ее на тетрады и триады. Решение задачи Баше методом троичной уравновешенной системы.

презентация , добавлен 20.06.2011

История развития систем счисления. Непозиционная, позиционная и десятичная система счисления. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях. Двоичное кодирование информации в компьютере. Построение двоичных кодов.

курсовая работа , добавлен 21.06.2010

Сущность двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления, их отличительные черты и взаимосвязь. Пример алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую. Составление таблицы истинности и логической схемы для заданных логических функций.

История развития систем счисления. История создания систем счисления