Равенство дробей

Для любой дроби можно указать сколько угодно ей равных дробей.

Например, или

Это можно объяснить так: если отрезок разделить пополам, а половину также пополам, то ясно, что половина отрезка равна двум его четвертям, т. е. Также можно показать, что половина равна трем шестым и т. д. (рис. 4.4).

Можно еще сказать, что дроби и определяют одно и то же число; записанное в разных формах. Дроби и так же определяют одно и то же число, записанное в разных формах, и т. д.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной , т. е. выполняется равенство

Это свойство называют основным, свойством дроби . С его помощью можно получать дроби, равные данной дроби.

Например,

Равенство (1) можно записать и в обратном порядке:

В таком виде левая часть равенства есть дробь числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.

Если n > 1, то говорят, что можно дробь сократить на n и получить дробь . Говорят еще, что можно разделить числитель и знаменатель на общий множитель n.

Поэтому основное свойство дробей можно сформулировать по-другому:

Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, отличный от 1, то дробь можно сократить на этот множитель. При этом получится дробь, равная данной.

Пример. Сократить дроби

Если р-натуральное число, то справедливо равенство

Действительно,

Дробь называется несократимой , если ее числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей.

Например, дроби несократимые дроби, так как числа 1 и 2, 3 и 4, б и 7, 11 и 8 не имеют общих простых делителей.

Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь.

Например,

Левые части равенств-данные дроби, а правые равные им несократимые дроби.

Чтобы получить несократимую дробь, равную данной дроби, надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Часто наибольший общий делитель числителя и знаменателя указать трудно. В этом случае сокращение дроби выполняют постепенно.

Пример. Сократить дробь

Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .

Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

Скрыть Показать

Основное свойство дроби

Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .

Взаимно обратные числа

Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .

Арифметические действия над десятичными дробями

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .

Национальный вопрос и национальные отношения

Национальные отношения всегда связаны с решением определённых этнических проблем, касающихся условий выживания и развития тех или иных этносов, в том числе проблем территории, языка, традиций, духовной жизни в целом.

Объективной основой возникновения и развития национально-этнических отношений является сосуществование отдельных этносов на единой территории (соседних территориях). Как правило, эти отношения не существуют в чистом виде, они вплетены в сложившиеся экономические, социальные, политические отношения, однако их субъектами являются этносоциальные общности.

Экономические межнациональные отношения направлены на удовлетворение экономических потребностей этносов в работе, определённом уровне потребления, собственности. Социальные отношения этносов реализуются в быту, семейной структуре (склонности к межэтническим бракам, или, наоборот, к их избеганию), в структуре производственных коллективов и т.д. Политические межнациональные отношения в многонациональном государстве касаются, прежде всего, участия этносов в осуществлении политической власти, в национально-государственном устройстве, в практике осуществления гражданских прав. Межнациональные отношения в области культуры характеризуют взаимодействие этносов в духовной жизни и направлены, с одной стороны, на сохранение национальной самобытности, с другой - на взаимное обогащение и интернационализацию.

Взаимодействие национальных общностей характеризуется следующими социальными процессами: миграция, интеграция, консолидация, ассимиляция, аккомодация (адаптация), аккультурация.

Под миграцией понимается передвижение этносоциальных групп в пределах этнической территории или переселение на территорию других титульных этносов. (Титульный этнос даёт название территории государства, национально-государственному образованию).

Довольно часто в западной социологии, этнографии термин «миграция» относят к культуре, в таком случае миграционные процессы рассматриваются как вторжение населения или культур в чуждую этническую или культурную область.

Интеграция характеризует процесс установления этнических культурных контактов разнородных этносов в пределах одной социально-экономической и политической общности (например, формирование в России у разных этносов одинаковых традиций, обрядов). Во времена существования СССР и социалистического лагеря под интеграцией понимали и хозяйственные связи, развивающиеся по единому плану.

Консолидация - это процесс слияния относительно самостоятельных этносов и этнических групп, обычно родственных по языку и культуре в единую этносоциальную общность. Например, Алтай-кижи, теленгиты, телеуты, челканцы, кумандинцы в двадцатом столетии сформировались в алтайскую народность.

Ассимиляция - процесс этнического взаимодействия уже сформировавшихся этносоциальных общностей, значительно различающихся по происхождению, культуре, языку, в результате которого представители одного этноса усваивают язык и культуру другого этноса. Как правило, при этом они утрачивают прежнюю национальность (этническую принадлежность), растворяются в социокультурной среде другого этноса. Ассимиляция бывает естественная, добровольная и принудительная. Последняя сопровождается угнетением одного народа другим, социально-экономическим неравенством, нарушением гражданских прав.

Аккомодация, или адаптация - это приспособление людей к жизни в новой этнической среде или приспособление этой среды к ним для взаимного существования и взаимодействия в экономической и социальной сферах. Эти термины были заимствованы социологами-позитивистами из биологических наук.

Аккультурация - это процесс взаимопроникновения культур, в результате которого происходит изменение их первоначальных моделей. Зачастую в западной этносоциологии аккультурация предстаёт как синоним европеизации, американизации, т.е. означает процесс распространения у народов Азии, Африки, Восточной Европы, России чужих элементов культуры, форм хозяйствования, социальных институтов.

Идеология и практика регулирования национальных отношений в СССР, несмотря на их официальную интернационалистскую оболочку, формировали этническое самосознание граждан как путём официальной регистрации этнического происхождения по одному из родителей, так и путём огосударствления этничности в системе национально-государственного устройства.

Российская империя, в отличие от западных государств, насильно вытеснявших и уничтожавших коренные этносы (аборигенов) на завоёванной территории, создавала условия для сохранения этносов и обеспечивала им военно-политическую защиту. Большинство народов вошло в состав Росси добровольно. Тем не менее, уровень социально-экономического и культурного развития большинства этносов различался значительно, что приводило к периодическим обострениям национального вопроса.

Под национальным вопросом чаще всего понимают вопрос об угнетении одной нации другой, об их неравноправии и социально-экономическом неравенстве, освобождении и самоопределении этноса.

В учебных пособиях и словарях можно встретить и другое определение, где акцент делается на системе взаимосвязанных проблем развития народов. Правильнее, на наш взгляд, первое определение, поскольку о самом национальном вопросе вспоминают, когда общество сталкивается с определёнными противоречиями, дисфункциями, несправедливостями.

Проблемы национального равноправия и справедливости являются исключительно сложными и не всегда поддаются успешному разрешению даже в развитых демократических странах. Десятилетиями сохраняется курдский национальный вопрос в Турции, французский - в Канаде (Квебек), ирландский - в Великобритании (Ольстер). Этническую напряжённость отмечают социологи во взаимоотношениях между испанцами и басками, валлонами и фламандцами в Бельгии и т.д.

Ещё задолго до Октября 1917 года большевики предложили для решения национального вопроса принцип полного равноправия наций. После прихода к власти большевиков Сталиным была произведена подмена принципа самоопределения понятием отделения, выхода из состава государства (сецессии).

Самоопределились, в смысле отделения, ещё при Временном правительстве польская, финская, литовская, латышская и эстонская нации. Самоопределение же советских республик через отделение, в условиях военной и хозяйственной разрухи, было равносильно самоубийству. К моменту революции Россия, в основе своей, оставалась традиционным обществом с глубокими общинными традициями, патриархальным азиатским способом производства, тяготевшим к административным методам управления экономикой. Эти причины существенно повлияли на форму самоопределения. Сталин - нарком по делам национальностей, затем глава государства - фактически заложил традицию отношения к самоопределению исключительно как отделению, которое, в свою очередь, оказывалось иллюзорным, так как право рабочего класса на укрепление своей диктатуры считалось выше права на самоопределение.

В итоге один вид господства - от имени великорусской нации сменился другим - от имени великорусского пролетариата. Русская нация сохранила в административно-политическом аспекте доминирующее положение в СССР. При этом в социально-экономическом смысле русский этнос десятилетиями жил отнюдь не лучше политически зависимых братьев по социализму.

На словах провозглашалась недопустимость принудительного ассимиляторства. Если ассимиляция осуществляется без принуждения, то ничего предосудительного в ней нет. В странах Западной Европы и Америки активно ассимилируются иммигранты. На практике же проводилась линия на принудительную ассимиляцию малых народностей, ликвидацию организаций, занимавшихся национальными делами. В середине 30-х годов были ликвидированы 250 национальных районов, в том числе немецкий национальный район на Алтае, 5300 национальных сельских Советов. В докладе Сталина о проекте конституции утверждалось, что в стране существует 60 этносоциальных общностей, хотя ещё во время переписи 1926 года были учтены 194 этноса. В 40-х годах ликвидированы автономии немцев Поволжья, калмыков, крымских татар, балкарцев, ингушей, чеченцев-акинцев и других народов, а сами они депортированы - принудительно выселены с этнических территорий с лишением гражданских прав.

В языковой политике отчётливо прослеживались элементы «русификации». Сегодня из 120 языков, распространённых на территории России, только для четырёх (русского, татарского, башкирского и якутского) доступно полное среднее образование.

Поскольку этническая структура общества была построена по принципу ветвящегося дерева (автономные округа входили в области, автономные области - в края и т.д.), малые этносы оказывались в подчинении у более крупных. Поэтому, например, в Таджикистане игнорировали проблемы народностей Памира, а в Азербайджане - Нагорного Карабаха. Некоторые этносы стали объектами настоящего этноцида, то есть уничтожения по признаку принадлежности к этнически общностям или создания условий для их суженного воспроизводства. Это касается, прежде всего, народностей Севера и Сибири, которые сохранялись в течение 5-6 тысячелетий и были подорваны за 30-40 лет. Их численность сокращается, а средняя продолжительность жизни намного ниже общероссийской.

Эти печальные факты и тенденции не должны заслонять выдающихся достижений СССР в области экономики и культуры большинства наций. Многие из них обрели свою письменность и достигли уровня образования, сравнимого с развитыми странами мира, создали национальный кинематограф и литературу. С 1922 по 1985 г.г. объём промышленной продукции Казахстана вырос в 950 раз, Таджикистана - 905 раз, Киргизстана - в 720 раз. Национальные окраины развивались гораздо более высокими темпами, чем Россия. Убедительным испытанием дружбы наций стали страшные испытания Великой Отечественной войны и общенародная победа над фашизмом.

Мы уделили большое внимание допущенным ранее ошибкам и просчётам в национальной политике, потому что именно они создали предпосылки для резкого обострения национальных отношений в конце 80-х начале 90-х годов. Политика гласности всколыхнула все старые обиды, а кризисные явления в экономике большинства регионов подготовили почву сначала для распространения национализма, а затем и общественно-политических движений за отделение от СССР.

Этнонационализм - это провозглашение приоритета этнических ценностей над личностными и групповыми, пропаганда исключительности и превосходства одной нации над другими.

Подъём национального самосознания сопровождался ростом напряжённости и конфликтности в межнациональных отношениях, появлением сильных центробежных тенденций. Авантюризм политиков довершил развал Советского Союза.

Перед социологами, этнологами, юристами встали новые серьёзные вопросы, потребовавшие специальных исследований. С особой остротой встала проблема форм реализации суверенитета национально-государственных образований - субъектов Российской Федерации. Резко возросла миграционная активность русских и русскоязычных национальных групп в бывших республиках СССР. Ухудшилось социальное самочувствие. Если в период застоя реальной была ассимиляция русскими остальных национальностей, то сегодня можно говорить о другой крайности - принудительной ассимиляции русских, а в некоторых республиках - Чечне, Латвии, Эстонии - о вопиющих нарушениях гражданских прав, этнических чистках.

На геополитическом пространстве бывшего СССР резко возросло количество этнических конфликтов, то есть таких, в которых противостояние происходит по линии этнической общности. Усилились диспропорции между этнической и социальной структурами в республиках. Ещё в 70-е годы при сохранении моноэтничности сельского населения престижные профессии стали превращаться в привилегию титульной национальности, а доля последней в составе рабочего класса сокращаться. Под влиянием эмиграции русскоязычного населения в Киргизии, Таджикистане, Узбекистане почти исчез национальный рабочий класс. Казахи составляли не более 1% среди рабочих в промышленности в середине 80-х годов, а сегодня их доля снизилась до 0,5%.

← Вернуться