12. Арифметический фокус
– Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет, тайно от меня, любое трехзначное число.
– Могут быть и нули в этом числе?
– Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете.
– Написал. Что теперь?
– Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.
– Есть. Шестизначное число.
– Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.
– Легко сказать: разделить на семь! Может, и не разделится.
– Не беспокойтесь, поделится без остатка.
– Числа не знаете, а уверены, что поделится.
– Сначала разделите, потом будем говорить.
– На ваше счастье – разделилось.
– Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.
– Думаете, опять повезет – разделится?
– Делите, остатка не получится.
– В самом деле, без остатка! Теперь что?
– Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.
– Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… ан нет, разделилось нацело. Везет же вам!
– Дайте мне бумажку с результатом; только сложите ее, чтобы я не видел числа.
Не развертывая листка бумаги, «фокусник» вручил его председателю.
– Извольте получить задуманное вами число. Правильно?
– Совершенно верно! – с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. – Именно это я и задумал… А теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.
РАЗВЯЗКА ЗАВТРАКА
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 1-12
1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.
2. Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по гривеннику за полено. Деньги эти уплачены только за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80 х 3, т. е. в 2 руб. 40 коп., и цена одного полена – 30 коп.
Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятеркиной за ее 5 поленьев следует 150 коп.; но она сама воспользовалась плитой на 80 коп.; значит, ей остается дополучить еще 150 – 80, т. е. 70 коп. Тройкина за 3 своих полена должна получить 90 коп.; а если вычесть 80 коп., причитающиеся с нее за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 90–80, т. е. 10 коп.
Итак, при правильном дележе Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.
3. На первый вопрос – через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков – мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберется снова 5 кружков: политический – через 30 двухдневных промежутков, военный – через 20 трехдневных, фотокружок – через 15 четырехдневных, шахматный – через 12 пятидневок и хоровой – через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет еще через 60 дней, т. е. уже во втором квартале.
Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.
Труднее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы политкружка, т. е. числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы военного кружка: 4-й, 10-й и т. д. После того как зачеркнем затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачеркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.
Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно 2, 8,12,14,18, 20, 24 и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте – 9.
4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.
5. С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.
Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX столетии: первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине от 132, т. е. 66. Дед родился в 1866 г., и ему теперь 66 лет.
Таким образом, и внуку, и деду в 1932 г. столько лет, сколько выражают последние два числа годов их рождения.
6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т. е. на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25 х 24 = 600 образцов.
7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что дирижабль летел по контуру квадрата: надо принять в расчет шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются (рис. 6);
поэтому, пройдя 500 км по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, дирижабль отошел к востоку на большее число градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате дирижабль, закончив полет, оказался восточнее Ленинграда.
На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 6
вы видите маршрут дирижабля: ABCDE.
Точка N– северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ
и DC.
Дирижабль пролетел сначала 500 км на север, т. е. по меридиану AN. Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500:111 = 4,5°. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В
находится на 60° + 4,5° = 64,5°. Затем дирижабль летел к востоку, т. е. по параллели ВС, и прошел по ней 500 км.
Рис. 6. Как летел дирижабль задачи 7
Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел дирижабль на восток: 500: 48 = 10,4°. Далее воздушный корабль летел в южном направлении, т. е. по меридиану CD, и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, т. е. по DA; 500 км этого пути явно короче расстояния AD. В расстоянии AD заключается столько же градусов, сколько и в ВС, т. е. 10,4°. Но длина 1° на широте 60° равна 55,5 км. Следовательно, между А и D расстояние равно 55,5 х 10,4 = 577,2 км. Мы видим, что дирижабль не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, т. е. спустился на Ладожском озере.
8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля
так мала по сравнению с расстоянием ее от солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть ее поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда при так называемом «иззаоблачном сиянии» (рис. 5
– лучи солнца, расходящиеся веером), – не более как следствие перспективы.
В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов (рис. 7)
или вид длинной аллеи.
Однако из того, что лучи солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень дирижабля равна по длине самому дирижаблю. Взглянув на рис. 8,
вы поймете, что полная тень дирижабля в пространстве сужается по направлению к земле и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть короче самого дирижабля: CD меньше, чем АВ.
Если знать высоту дирижабля, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть дирижабль летит на высоте 1000 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми АС м. ВD
между собою, равен тому углу, под которым усматривается солнце с земли; угол этот известен: около 1 / 2 °. С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в 1 / 2 °> удален от глаза на 115 своих поперечников. Значит, избыток длины дирижабля над длиною тени (этот избыток усматривается с земной поверхности под углом в 1 / 2 °) должен составлять 115-ю долю от АС.
Рис. 7. Рельсы, уходящие вдаль
Рис. 8. Как падает тень от дирижабля
Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте дирижабля 1000 м) составляет около 1400 м, и, следовательно, тень короче дирижабля на 1400: 115 = 12 м.
Все сказанное относится к полной тени дирижабля – черной и резкой – и не имеет отношения к так называемой полутени, слабой и размытой.
Расчет наш показывает, между прочим, что будь на месте дирижабля небольшой воздушный шар диаметром меньше 12 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.
9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.
Итак, имеем в самом конце:
Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16 + 8 = 24 спички. Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:
Далее, мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 – это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания (т. е. до того, как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) распределение спичек было таково:
Таковы первоначальные числа спичек в кучках.
10. Эту головоломку также проще решить с конца. Мы знаем, что после третьего удвоения в кошельке оказалось 1 руб. 20 коп. (Деньги эти получил старик в последний раз.) Сколько же было до этого удвоения? Конечно, 60 коп. Остались эти 60 коп. после уплаты старику вторых 1 руб. 20 коп., а до уплаты было в кошельке
1 руб. 20 коп. + 60 коп. = 1 руб. 80 коп.
Далее: 1 руб. 80 коп. оказались в кошельке после второго удвоения; до того было всего 90 коп., оставшиеся после уплаты старику первых 1 руб. 20 коп. Отсюда узнаем, что до уплаты находились в кошельке 90 коп. + + 1 руб. 20 коп. = 2 руб. 10 коп. Столько денег имелось в кошельке после первого удвоения; раньше же было вдвое меньше – 1 руб. 5 коп. Это и есть те деньги, с которыми крестьянин приступил к своим неудачным финансовым операциям.
Проверим ответ:
Деньги в кошельке
После 1-го удвоения 1 руб. 5 коп. х 2 = 2 руб. 10 коп.
« 1-й уплаты…..2 руб. 10 коп. – 1 руб. 20 коп. = 90 коп.
« 2-го удвоения……..90 коп. х 2 = 1 руб. 80 коп.
« 2-й уплаты…..1 руб. 80 коп. – 1 руб. 20 коп. = 60 коп.
« 3-го удвоения……..60 коп. х 2 = 1 руб. 20 коп.
« 3-й уплаты…..1 руб. 20 коп. – 1 руб. 20 коп. = 0.
11. Наш календарь ведет свое начало от календаря древних римлян. Римляне же (до Юлия Цезаря) считали началом года не 1 января, а 1 марта. Декабрь тогда был, следовательно, десятый месяц. С перенесением начала года на 1 января названия месяцев изменены не были. Отсюда и произошло то несоответствие между названием и порядковым номером, которое существует теперь для ряда месяцев:
12. Проследим за тем, что проделано было с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трехзначное число еще раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например:
872 872 = 872 000 + 872.
Теперь ясно, что, собственно, проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать – умножили число на 1001.
Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В конечном счете, значит, разделили его на 7 х 11 х 13, т. е. на 1001.
Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в результате получилось то же самое число?
______________________________
Прежде чем закончить главу о головоломках в доме отдыха, расскажу еще о трех арифметических фокусах, которыми вы можете занять досуг ваших товарищей. Два состоят в отгадывании чисел, третий – в отгадывании владельцев вещей.
Это старые, быть может, даже и известные вам фокусы, но едва ли все знают, на чем они основаны. А без знания теоретической основы фокуса нельзя сознательно и уверенно его выполнять. Обоснование первых двух фокусов потребует от нас весьма скромной и ничуть не утомительной экскурсии в область начальной алгебры.
13. Зачеркнутая цифра
Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+ 4 + 7 = 19) и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется
847 – 19 = 828.
В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру – безразлично какую – и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса? Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщены цифры 2 и 8, то, сложив 2 + 8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18, не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.
Почему так получается? Потому что если от какого-либо числа отнять сумму
его цифр, то должно остаться число, делящееся на 9, – иначе говоря, такое, сумма
цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе цифра сотен – а
, цифра десятков – Ь
и цифра единиц – с.
Значит, всего в этом числе содержится единиц
100а + 10b + с.
Отнимаем от этого числа сумму
его цифр а
+ b
+ с.
Получим
100a
+ 10b
+ c
– (a
+ b
+ c
) = 99a
+ 9b
= 9(11a
+ b
).
Но 9 (11 а + Ь)
конечно, делится на 9; значит, при вычитании из числа суммы его цифр всегда должно получиться число, делящееся на 9 без остатка.
При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9 (например, 4 и 5). Это показывает, что зачеркнутая цифра есть либо
О, либо 9. Так вы и должны ответить: «О или 9».
Вот видоизменение того же фокуса: вместо того чтобы из задуманного числа вычитать сумму его цифр, можно вычесть число, полученное из данного какой-либо перестановкой его цифр. Например, из числа 8247 можно вычесть 2748 (если получается число большее задуманного, то вычитают меньшее из большего). Дальше поступают, как раньше сказано:
8247 – 2748 = 5499;
если зачеркнута цифра 4, то, зная цифры 5,9,9, вы соображаете, что ближайшее к 5 + 9 + 9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит, зачеркнутая цифра 27–23 = 4.
13а. Отгадать число, ничего не спрашивая
Вы предлагаете товарищу задумать трехзначное число, не оканчивающееся нулем, такое, в котором крайние цифры разнятся больше чем на 1, и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав это, он должен вычесть меньшее число из большего и полученную разность сложить с нею же, но написанною в обратной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него получилось в конечном счете.
Если, например, было задумано 467, то загадчик должен выполнять следующие действия:
Этот окончательный результат – 1089 – вы и объявляете загадчику. Как вы можете его узнать?
Рассмотрим задачу в общем виде. Возьмем число с цифрами а, b, с. Оно изобразится так:
100а + 10 b + с.
Число с обратным расположением имеет вид:
100с + 10 b + а.
Разность между первым и вторым равна:
99а – 99с.
Делаем следующие преобразования:
99 а – 99 с = 99 (а – с) =
100 {а – с) – а + с =
100(а – с) -
100 + 100 – 10 + 10 – а с =
100 (а – с -
1) + 90 + (10 – а
+ с).
Значит, разность состоит из следующих трех цифр:
цифра сотен: а – с -
1,
« десятков: 9,
« единиц: 10 + с – а.
Число с обратным расположением цифр изображается так:
100(10 + с – а)
+ 90 + (а – с -
1).
Сложив оба выражения
100 (а – с - 1) + 90 + 10 + с – а 100(10 + с – а) + 90 + а – с - 1,
Получаем
100 х 9 + 180 + 9 = 1089.
Каковы бы ни были цифры а, Ь, с
, в итоге выкладок всегда получается одно и то же число: 1089. Нетрудно поэтому отгадать результат этих вычислений: вы знали его заранее. Понятно, что показывать этот фокус одному лицу дважды нельзя – секрет будет раскрыт.
14. Кто что взял?
Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо подготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, поставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением орехов годятся шашки, кости домино, спички и т. п.
Троим товарищам вы предлагаете во время вашего отсутствия в комнате спрятать в карман карандаш, ключ или ножик, кто какую вещь хочет. Вы беретесь отгадать, в чьем кармане какая вещь.
Процедура отгадывания проводится так. Возвратившись в комнату после того, как вещи спрятаны в карманах товарищей, вы начинаете с того, что вручаете им на сохранение орехи из тарелки.
Первому даете один орех, второму – два, третьему – три. Затем снова удаляетесь из комнаты, оставив товарищам следующую инструкцию. Каждый должен взять себе из тарелки еще орехов, а именно: обладатель карандаша берет столько орехов, сколько ему было вручено; обладатель ключа берет вдвое больше того числа орехов, какое ему было вручено; обладатель ножа берет вчетверо больше того числа орехов, какое ему было вручено.
Прочие орехи остаются на тарелке.
Когда все это проделано и вам дан сигнал возвратиться, вы, входя в комнату, бросаете взгляд на тарелку и объявляете, у кого в кармане какая вещь.
Фокус тем более озадачивает, что выполняется без участия тайного сообщника, подающего вам незаметные сигналы. В нем нет никакого обмана: он целиком основан на арифметическом расчете. Вы разыскиваете обладателя каждой вещи единственно лишь по числу оставшихся орехов. Остается их на тарелке немного – от 1 до 7, и счесть их можно одним взглядом.
Как же, однако, узнать по остатку орехов, кто взял какую вещь?
Очень просто: каждому случаю распределения вещей между товарищами отвечает иное число остающихся орехов. Мы сейчас в этом убедимся.
Пусть имена ваших товарищей Владимир, Георгий, Константин; обозначим их начальными буквами: В, Г, К Вещи также обозначим буквами: карандаш – а, ключ – Ь,
нож – с.
Как могут три вещи распределиться между тремя обладателями? На 6 ладов:
Других случаев, очевидно, быть не может; наша табличка систематически исчерпывает все комбинации.
Посмотрим теперь, какие остатки отвечают каждому из этих 6 случаев:
Вы видите, что остаток орехов всякий раз получается иной. Поэтому, зная остаток, вы легко устанавливаете, каково распределение вещей между вашими товарищами. Вы снова – в третий раз – удаляетесь из комнаты и заглядываете там в свою записную книжку, где записана сейчас воспроизведенная табличка (собственно, нужны вам только первая и последняя графы); запомнить ее наизусть трудно, да и нет надобности. Табличка скажет вам, в чьем кармане какая вещь. Если, например, на тарелке осталось 5 орехов, то это означает (случай b, с, а ), что
ключ – у Владимира;
нож – у Георгия;
карандаш – у Константина.
Чтобы фокус удался, вы должны твердо помнить, сколько орехов вы дали каждому товарищу (раздавайте орехи поэтому всегда по алфавиту, как и было сделано в нашем случае).
Как может он это знать? И почему он уверен, что из всяких 27 костей домино составится непрерывная цепь?
18. Рамка
Рис. 9 изображает квадратную рамку, выложенную из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки равны по длине, но не одинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда – 59 и 32.
Рис. 9. Рамка из домино
Можете ли вы выложить такую квадратную рамку, все стороны которой заключали бы одинаковую сумму очков – именно 44?
19. Семь квадратов
Четыре кости домино можно выбрать так, чтобы из них составился квадратик с равной суммой очков на каждой стороне. Образчик вы видите на рис. 10:
сложив очки на каждой стороне квадратика, во всех случаях получите 11.
Рис. 10
Рис. 11. Магический квадрат из домино
Можете ли вы из полного набора домино составить одновременно семь таких квадратов? Не требуется, чтобы сумма очков на одной стороне получалась у всех квадратов одна и та же; надо лишь, чтобы каждый квадрат имел на своих четырех сторонах одинаковую сумму
очков.
20. Магические квадраты из домино
На рис. 11 показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда – продольного, поперечного или диагонального – одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются «магическими».
Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду.
13 – наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма – 23.
21. Прогрессия из домино
Вы видите на рис. 12.
шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на 1: начинаясь с 4, ряд состоит из следующих чисел очков:
4; 5; 6; 7; 8; 9.
Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая «разность».
Рис. 12. Прогрессия на костяшках домино
Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых прогрессий.
ИГРА В «15», или ТАКЕН
Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр – математика В. Аренса.
«Около полувека назад – в конце 70-х годов – вынырнула в Соединенных Штатах игра в «15»; она быстро распространилась и, благодаря несчетному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие.
То же наблюдалось по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пассажиров коробочки с 15 шашками. В конторах и магазинах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынуждены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраивали большие игорные турниры. Игра проникла даже в торжественные залы германского рейхстага.
Правило 3. За один ход берут один, два или три камня.
а) k = 8; б)k = 9; в)k = 10; г)k = 11;
д) k =4 п; е) k =4 п +1; ж) k =4 п +2; з) k =4 п +3.
Решение. Правило 1. При игре по этому правилу у каждого из игроков нет выбора - они каждый раз берут по одному камню. Исход игры здесь зависит не от ходов игроков, а только от того, кто из них первый делает ход.
Если камней 6, 20, 2п (п - натуральное число), то после каждого хода первого игрока остаётся нечётное число камней, поэтому завершающим ходом второй выиграет партию. В этих случаях первый игрок не сможет выиграть партию.
Если же камней 7, 19, 2п + 1 (п - натуральное число), то после каждого хода первого игрока остаётся чётное число камней, поэтому завершающим ходом он выиграет партию. В этих случаях первый игрок выиграет партию.
Правило 2. Если камней 6, 3п (п - натуральное число), то первый игрок не может выиграть при правильной игре второго. Сколько бы камней (1 или 2) не брал первый игрок, второй всегда может своим ходом оставить число камней, делящееся на 3. Поэтому перед последним ходом первого игрока второй может оставить 3 камня и закончить игру после любого хода первого игрока.
Во всех остальных случаях первый игрок первым ходом должен оставить число камней, делящееся на 3. А дальше после каждого хода второго игрока он может оставлять число камней, делящееся на 3. После того как останется 3 камня, второй возьмёт 1 или 2 камня, а первый закончит игру. В этих случаях первый игрок может выиграть при любой игре второго. В таких случаях говорят, что у первого игрока имеется выигрышная стратегия.
Правило 3. Если камней 8, 4п (п - натуральное число), то первый игрок не может выиграть при правильной игре второго. Сколько бы камней (1, 2 или 3) не
брал первый игрок, второй всегда может своим ходом оставить число камней, делящееся на 4. Поэтому перед последним ходом первого игрока второй может оставить 4 камня и закончить игру после любого хода первого игрока.
Во всех остальных случаях первый игрок первым ходом должен оставить число камней, делящееся на 4. А дальше после каждого хода второго игрока он может оставлять число камней, делящееся на 4. После того как останется 4 камня, второй возьмёт 1, 2 или 3 камня, а первый закончит игру. В этих случаях первый игрок может выиграть при любой игре второго. В таких случаях говорят, что у первого игрока имеется выигрышная стратегия.
3.5. Наибольший общий делитель
В данном пункте учебника вводятся понятия общего делителя двух натуральных чисел, наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, взаимно простых чисел. Учащиеся лучше усвоят сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, если уже сейчас научатся устанавливать, какие два натуральных числа являются взаимно простыми. В учебнике утверждается, что два различных простых числа, а также два соседних натуральных числа взаимно простые. Можно добавить, что если из двух натуральных чисел одно простое, а другое на него не делится, то эти числа взаимно простые. Доказательства этих утверждений просты. Приведём их.
У любых двух простых чисел имеется только один общий делитель - число 1. Поэтому эти числа взаимно простые. (Это решение задания 670 .)
Разность двух соседних натуральных чисел равна 1. Если предположить, что эти числа имеют общий делитель, отличный от 1, то на него должно делиться число 1. Но 1 не делится ни на одно натуральное число, отличное от 1. Поэтому два соседних натуральных числа взаимно простые. (Это решение задания 671 .)
Если из двух натуральных чисел одно простое, а другое на него не делится, то у этих чисел есть только один общий делитель - число 1. Поэтому эти числа взаимно простые.
Отметим, что увлекаться решением сложных задач на нахождение НОД двух (и более) чисел не следует, так как это умение будет применяться редко. Но
учащиеся должны хорошо усвоить, что:
если натуральные числа а иb взаимно простые, то НОД (а ,b ) = 1; если натуральное числоа делится наb , то НОД (а ,b ) =b .
РТ. При изучении этой темы можно использовать задания253−259 .
Решения и комментарии
676. а) Даны разложения чисела иb на простые множители. Найдите НОД
(а ,b ):а = 23 34 5 72 ,b = 22 35 52 7.
Решение. НОД (а ,b ) должен содержать все общие делители чисела иb , поэтому НОД (а ,b ) = 22 34 5 7 (вычислять это произведение не нужно).
678. Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?
Решение. НОД (36, 24) = 12, поэтому 12 - наибольшее число участников в каждой команде. Получится 36: 12 + 24: 12 = 5 команд с наибольшим числом участников.
3.6. Наименьшее общее кратное
В данном пункте учебника вводятся понятия общего кратного двух натуральных чисел, наименьшего общего кратного двух натуральных чисел.
Отметим, что увлекаться решением сложных задач на нахождение НОК двух (и более) чисел не следует, так как это умение будет применяться редко. Но учащиеся должны хорошо усвоить, что:
если натуральные числа а иb взаимно простые, то НОК (а ;b ) =аb ; если натуральное числоа делится наb , то НОК (а ;b ) =а .
РТ. При изучении этой темы можно использовать задания 260–268.
Решения и комментарии
694. а) Даны разложения чисела иb на простые множители. Найдите НОД (а ,b ) и НОК (а ,b ):а = 23 34 5,b = 24 35 52 .
Решение. НОД (а ,b ) = 23 34 5; НОК (а ,b ) = 24 35 52 .
699. Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая - 28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать?
Решение. Так как НОК (16, 28) = 112, то первая шестерёнка должна сделать 112: 16 = 7 оборотов, а вторая шестерёнка - 112: 28 = 4 оборота.
Ответ. 7 оборотов и 4 оборота.
Промежуточный контроль. ДМ. С–12.
Дополнения к главе 3
1. Использование чётности при решении задач
В данном пункте учебника рассмотрены решения задач, в которых используется идея чётности чисел. Здесь рассмотрена задача о рисовании так называемых уникурсальных фигур (которые рисуются без отрыва карандаша от бумаги).
Решения и комментарии
701. Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых - нечётные числа. Не ошибается ли он?
Решение. Ошибается, так как если произведение натуральных чисел нечётное, то все эти четыре числа нечётные, тогда их сумма должна быть чётной.
702. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?
Решение. Если рвать лист на 7 или 9 частей, то число кусков бумаги будет увеличиваться на 6 или на 8, т. е. на чётное число. Если к нечётному числу 9 прибавить несколько раз чётное число, то получится нечётное число. Число 100 получить невозможно. Поэтому имея 9 кусков (листов) бумаги и увеличивая их число на 6 или на 8, невозможно получить 100 кусков бумаги.
703. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1
к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных
Решение. Прибавляя по 1 сразу к двум числам, мы на 2 увеличиваем первоначальную нечётную сумму 0 + 0 + 0 + 1 = 1. В результате каждой такой операции получится нечётное число. Четыре одинаковых числа (т. е. чётную сумму) получить невозможно.
711. Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возможных маршрутов (рис. 37).
Решение. Среди залов музея есть только два - 5-й и 8-й, имеющие нечётное число дверей. Следовательно, начать эксурсию в соответствии с условиями задачи можно в одном из них, а закончить в другом. В остальных залах чётное число дверей - они будут пройдены по одному разу, а 6-й и 7-й залы (в которых по 4 двери) - два раза. Возможный маршрут: 5, 1, 2, 6, 5, 9, 10, 6, 7, 11,
12, 8, 4, 3, 7, 8.
2. Исторические сведения
В данном пункте учебника приведены сведения о простых числах, о решете Эратосфена, «формула» простых чисел Л. Эйлера, сформулированы некоторые решённые и нерешённые задачи, связанные с простыми числами.
3. Занимательные задачи Решения и комментарии
714. а) Почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице
натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа?
б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10 000 первых натуральных чисел?
Решение. а) Когда среди первых 100 натуральных чисел вычеркнули те, которые кратны простым числам 2, 3, 5, 7, вычеркнутыми оказались числа, кратные натуральным числам от 2 до 10. При этом в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 10, есть 11 11 = 121, но оно больше 100 и в таблице его нет.
б) Если чисел будет 150, то «просеивание» надо остановить на простом числе 11, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 12, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 12, есть 13 13 = 169, но оно больше 150 и в таблице его нет.
Если же чисел будет 10 000, то «просеивание» надо остановить на простом числе 97, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 100, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 100, есть 101 101 = 10 201, но оно больше 10000 и в таблице его нет.
715. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел: Р
П 2 + п + 41. Для любых ли натуральныхп числоР простое?
Решение. Нет. Для простого числа 41 числоР = 412 + 41+ 41 делится на 1, на 41 и наР , т. е. числоР составное.
718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу
легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.
Решение. Сначала надо убедиться, что получаемая разность всегда будет делиться на 9. Пусть дано трёхзначное числоabc = 100a + 10b +c . Переставим цифры этого числа, например, так:bca = 100b + 10c +a . Если первое число больше второго, то их разностьabc –bca = 100a + 10b +c – 100b – 10c –a = 99a – 90b – 9c
Натуральное число, оно делится на 9. При других перестановках цифр разности 100a –a , 100a – 10a , 10a –a и др. делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9.
Теперь зачёркнутую цифру легко определить, так как сумма цифр разности должна делиться на 9.
Например, если задумали число 347, после перестановки цифр получили 473, тогда разность 473 – 347 = 126. Сумма цифр 1 + 2 + 6 делится на 9, а если зачеркнуть, например, 1, то сумма незачёркнутых цифр 2 + 6 = 8. Так как до ближайшего числа, кратного 9, не хватает 1, то зачёркнутая цифра 1.
721. Старший брат выписал из справочника число 15! (см. задачу719 ), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось (рис. 38).
Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение 1 2 3 ... 15.
Решение. Число 15! делится на 9, так как содержит множитель 9. Сумма оставшихся без кляксы цифр равна
1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38.
Если под кляксой оказалась одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, то сумма
727. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 39). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее? Решите задачу: а) для четырёх колец; б) для пяти колец.
Решение. Это пример задачи, имеющей большой воспитательный потенциал. На её примере можно показать, как математики решение следующей задачи умеют сводить к уже решённой.
Сначала решим задачу для двух колец. Очевидно, что пирамиду из двух колец можно перенести за три хода.
Чтобы перенести пирамиду из трёх колец, сначала перенесём на свободный штырёк пирамиду из двух колец. Для этого требуется 3 хода. Перенесём нижнее кольцо на свободный штырёк. Наконец, опять за три хода перенесем пирамиду из двух колец на тот штырёк, где уже находится большее кольцо. Пирамиду из трёх колец можно перенести за 3 + 1 + 3 = 7 ходов.
а) Рассуждая аналогично, пирамиду из четырёх колец перенесём за 7 + 1
7 = 15 ходов.
б) Пирамиду из пяти колец перенесём за 15 + 1 + 15 = 31 ход.
Глава 4. Обыкновенные дроби
В этой главе изучаются в полном объёме обыкновенные дроби по плану, намеченному в главе 1. Важно, чтобы каждый учащийся понял, что действия с обыкновенными дробями сводятся к нескольким действиям с натуральными числами. Здесь снова вводятся элементы доказательных рассуждений при изучении теоретического материала, а также решение текстовых задач арифметическими способами.
Цели изучения главы:
сформировать у учащихся осознанные умения выполнять арифметические действия над обыкновенными дробями;
продолжить развитие языка и логического мышления учащихся при изучении теоретического материала и при решении текстовых задач арифметическими методами.
4.1. Понятие дроби
В данном пункте учебника вводятся понятия обыкновенной дроби (коротко: дроби), её числителя и знаменателя, рационального числа. Отмечается, что любое натуральное число считается дробью со знаменателем 1. Первый пункт нацелен на формирование понятия дроби и подготовки учащихся к изучению сравнения дробей и арифметических действий с ними. Здесь решаются простейшие задачи на дроби, ведётся подготовка к решению задач на совместную работу. Поэтому надо особенно внимательно отнестись ко всем заданиям пункта, даже если они кажутся простыми. Однако подводить учащихся к формулировкам правил решения таких задач рано, это можно будет сделать при изучении пункта 4.3. А пока главным объектом изучения является дробь, задачи лишь помогают лучше понять, что показывают её числитель и знаменатель.
РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 269–281 .
Решения и комментарии
745. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете?
Решение. В пакете осталось 3 – 1 = 2 кг картофеля, 2 кг составляют2 3 от 3
747. а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли за каждый
Решение. За каждый час выполняли1 часть работы.
748. а) Путник проходит в час1 5 пути. За сколько часов он пройдёт весь
Решение. Путник пройдёт весь путь за 5 ч.
749. а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час?
расстояния.
Замечание. Задания, аналогичные заданиям 747–749 , должны присутствовать в устной работе на ближайших уроках, ответы на них получаются с помощью рассуждений. Лишь после изучения всех действий с дробями эти ответы можно будет получить в результате действий с дробями.
4.2. Равенство дробей
В данном пункте учебника вводится понятие равенства дробей, на конкретных примерах разъясняется, почему, например, 1 2 =2 4 . Вводятся понятия
сокращения дроби и несократимой дроби.
Обратим внимание, что эти разъяснения, данные для длин отрезков (можно было бы дать их для кругов, тортов и т.п.), не доказывают основное свойство дроби, а только иллюстрируют его. Тот факт, что дробь есть частное её числителя и знаменателя, устанавливается пока для того случая, когда числитель дроби делится нацело на знаменатель. Учащимся можно сказать, что позднее (после
изучения деления дробей) будет доказано, например, что 2 3 = 2: 3, поэтому дробь
104. Чему равно частное?
Попросите своего товарища написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры гличались друг от друга на число, которое вы укаете. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Предложите вашему товарищу вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и вы можете всегда сказать наперед, какое будет частное от деления этой разности на 9. Чему же равняется частное?
Решение. Частное равняется указанной вами разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если взять сначала число 845, то 845 - 548 = 279, 279: 9 = 33 = (8-5)*11.
Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100а + 10b + с, где 0
Эту задачу можно предлагать в следующем более занимательном (особенно для детей) варианте.
Число 1089. Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к его удивлению, и есть полученное им число. Почему так произошло?
Решение. Из решения предыдущей задачи мы знаем, что разность между любым трехзначным числом и числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100k + 10l + m (0
В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, умение рассуждать.
Для вне программных занятий, бесед и развлечений в свободный вечер, в семейном кругу и с друзьями, или в школе на внеклассных встречах математические фокусы.
Фокусы
1. Угадайте, сколько получится
Предложите своим товарищам:
«Задумайте каждый какое-либо трехзначное число, но обязательно такое, чтобы цифра сотен отличалась от цифры единиц и не была бы на единицу меньше или больше ее.
Напишите для задуманного числа обращенное, т.е. число, изображенное теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке.
Из этих двух чисел (задуманного и обращенного) возьмите большее и вычтите из него меньшее.
Для получившейся разности напишите снова обращенное число и вычислите сумму этой разности и обращенного для нее числа».
Когда все это будет сделано, предложите одному из своих товарищей к получившемуся у него числу прибавить 100, другому — 200, третьему — 300 и т. д.
Вы можете каждому из участвующих в игре сказать, какое именно число у него получилось.
Для этого вам каждый раз нужно будет прибавлять к числу 1089 то число, которое вы просили прибавить в конце.
Так, у первого должно получиться 1189, у второго 1289 и т.д. Еще лучше будет, если вы эти числа заранее напишете на листочках бумаги, вложите эти листочки в конверты и на них напишете имена своих товарищей, участвующих в этой игре. Вам останется торжественно вручить эти конверты их адресатам. Постарайтесь понять, в чем тут дело, и потом объясните своим товарищам.
2. Делимость на 11
Предложите товарищу написать на классной доске или бумаге любое многозначное число.
К этому числу вы можете быстро приписать справа или слева одну цифру так, чтобы получившееся число разделилось на 11.
Если, например, ваш товарищ напишет число 43 572, то вам нужно будет приписать справа или слева к этому числу 1. Получившееся число разделится на 11. Знаете ли вы, какую цифру нужно приписать к числу, чтобы получившееся после этого число делилось на 11?
Чтобы разобраться в этом вопросе, воспользуйтесь признаком делимости на 11:
на 11 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечетных местах, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо больше или меньше ее на число, делящееся на 11.
Прежде чем выступать с этим числовым фокусом, поупражняйтесь, а потом объясните его вашим товарищам.
3. Угадайте задуманное число
В своей книге «Арифметика» Леонтий Филиппович Магницкий привел следующий способ отгадывания задуманного двузначного числа:
«Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе.
Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число»
.
4. Угадайте сумму цифр задуманного числа
Предложите своим товарищам каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр.
Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел.
Спросите у любого участника этого развлечения какая сумма получилась.
Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного твоим товарищем числа.
Пусть, например, твой товарищ задумал число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14+15+45+41+51+54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 — сумму цифр задуманного числа.
5. Угадайте зачеркнутую цифру
Известный арифметический фокус.
Состоит он в следующем:
Предлагается написать любое трехзначное или четырехзначное число, состоящее из различных цифр.
Какое именно число будет написано, отгадывающий не должен знать. Написавший число имеет право как угодно переставить цифры этого числа.
Получатся два числа:
записанное вначале и получившееся из него после перестановки цифр.
Меньшее из этих чисел предлагается вычесть из большего, в полученной разности зачеркнуть одну цифру и вычислить сумму оставшихся. Эта сумма сообщается отгадывающему, и он говорит, какая цифра была вычеркнута.
Чтобы узнать, какая цифра была вычеркнута, отгадывающий поступает так:
названную ему сумму цифр он дополняет до ближайшего большего кратного 9 (9, 18, 27, 36 и т.д.). Дополняющее число и дает вычеркнутую цифру. Если сумма сама окажется кратной 9, то зачеркнутая цифра была 0 или,9.
6. Удивительная память
Запишите заранее на классной доске или на листе бумаги 30 — 50, а можно и больше, многозначных чисел. При записи чисел нумеруйте их. Эти числа записывайте так:
К номеру числа прибавьте 9, возьмите для получившегося числа обращенное. Это будет число миллионов. Дальше вычислите сумму цифр получившегося числа миллионов. Число единиц (только единиц) этой суммы даст число сотен тысяч. Чтобы найти число десятков тысяч, вычислите сумму двух последних цифр, т.е. числа миллионов и числа сотен тысяч, и возьмите опять только единицы этой суммы. Так же продолжайте дальше.
Вот несколько примеров таких чисел, какие вы запишите.
№ 5 41561785; № 11 2246066; № 16 52796516.
Подготовив все это, вы можете удивить своих товарищей замечательной памятью.
Отвернитесь от доски и скажите товарищам, что вы запомнили все эти числа. Вам не поверят. Тогда предложите им проверить. Пусть кто-нибудь скажет вам номер числа. Вы, производя устно вычисления, будете читать число, как бы медленно вспоминая его.
Делайте это так.
Пусть вам назовут номер числа 32. Молча вычисляйте: 32+9=41. Обращенное число 14, говорите: 14 миллионов, 1+4=5- пятьсот, 4+5=9 — девяносто, 5+9=14 — 4 тысячи, 9+4=13 — триста, 4+3=7 — семьдесят, 7+3=10 — единиц (14594370).
7. Возраст и дата рождения
Пообещайте своим товарищам угадать возраст и дату рождения каждого из них.
Для этого попрасите каждого из них проделать следующие вычисления:
Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4.
Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам.
Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения.
Придется поступать так:
из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой.
Первая грань справа даст возраст,
вторая — число и
третья — порядковый номер месяца рождения.
8. Угадайте задуманное число
Приготовьте семь карточек.
На первой из них напишите все Числа, начиная от 1 до 100, через одно число, т.е. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99.
На второй карточке напишите числа: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, ..., 98, 99.
На третьей числа: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, ..., 92, 93, 94, 95.
На четвертой- 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, ..., 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95.
На пятой сначала напишите 16 последовательных натуральных чисел, начиная с 16, следующие 16 последовательных чисел, начиная с 32, не записывайте, затем запишите снова 16 чисел, начиная с 48, и т. д.
На шестой сначала запишите 32 последовательных натуральных числа, начиная с 32, следующие 32 числа не записывайте и наконец припишите следующие числа с 96 до 100.
На последующей карточке запишите все натуральные числа, начиная с 64 до 100.
Дайте вашему товарищу приготовленные таким образом карточки. Пусть он задумает какое-либо число от 1 до 100, выберет карточки, на которых это число записано.
Только взглянув на эти карточки, вы можете угадать задуманное число.
Для этого нужно найти сумму первых чисел, записанных на выбранных карточках.
(Числа на карточках можно располагать в произвольном порядке, только нужно запомнить, какие места занимают первые числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64).
О других фокусах и их секретах можешь посмотреть ЗДЕСЬ↓
Математическая шкатулка
Угадайте задуманное число. В своей книге «Арифметика» Леонтий Филиппович Магницкий привел следующий способ отгадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число». Почему так получается?
Ответ: 10 а + b - задуманное число. Получается: (2а + 5)5 + 10+ b = 10а + b + 35
Угадайте сумму цифр задуманного числа. Предложите своим товарищам каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр. Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел. Спросите у любого участника этого развлечения, какая сумма получилась. Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного твоим товарищем числа.
Пусть, например, твой товарищ задумал число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14 + 15 + 45 + 41 + 51 + 54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 - сумму цифр задуманного числа. Почему так получается?
Ответ: Каждая цифра задуманного числа в записи шести двузначных чисел встретится 4 раза: 2 раза она будет показывать число десятков и 2 раза - число единиц. При делении суммы шести таких двузначных чисел на 22 получится сумма цифр задуманного числа.
Угадайте зачеркнутую цифру. Известен арифметический фокус. Состоит он в следующем. Предлагается написать
любое трехзначное или четырехзначное число, состоящее из
различных цифр. Какое именно число будет написано, отгадывающий не должен знать. Написавший число имеет право как угодно переставить цифры этого числа. Получатся два числа: записанное вначале и получившееся из него после перестановки цифр. Меньшее из этих чисел предлагается вычесть из большего, в полученной разности зачеркнуть одну цифру и вычислить сумму оставшихся. Эта сумма сообщается отгадывающему, и он говорит, какая цифра была вычеркнута.
Чтобы узнать, какая цифра была вычеркнута, отгадывающий поступает так: названную ему сумму цифр он дополняет до ближайшего большего кратного 9 (9, 18, 27, 36 и т. д.). Дополняющее число и дает вычеркнутую цифру. Если сумма сама окажется кратной 9, то зачеркнутая цифра была 0 или 9. Объясните этот фокус.
Ответ: Остатки от деления натурального числа и суммы его цифр на 9 равны. У двух чисел, записанных одними и теми же цифрами, остатки от деления на 9 равны и разность этих чисел делится на 9 без остатка. Чтобы найти вычеркнутую цифру, необходимо сумму оставшихся цифр дополнить до ближайшего большего числа, кратного 9.
Угадайте задуманное число. Предложите своему товарищу задумать какое-либо трехзначное число и приписать к нему точно такое же число. Получившееся шестизначное число попросите умножить на 2, результат разделить сначала на 7, затем то, что получится, разделить на 11 и наконец разделить на 13. Если ваш товарищ скажет, что деление нацело не выполняется, то уверенно заявите, что товарищ ошибся, и предложите ему исправить ошибку. Спросите, какой получился ответ, и вы немедленно назовете задуманное товарищем число, разделив названный ответ на 2.
Подумайте, почему так получается.
Вместо того чтобы умножать получающееся шестизначное число на 2, можно предложить умножить его на 3, 5, 10 и другие числа. Тогда для получения задуманного числа названное товарищем число придется делить соответственно на 3, 5, 10 и т. д.
Ответ: Приписывание к трехзначному числу такого же числа равносильно умножению этого трехзначного числа на 1001, а 1001 = 7*11*13.
Угадайте, сколько получится. Предложите своим товарищам: «Задумайте каждый какое-либо трехзначное число, но
обязательно такое, чтобы цифра сотен отличалась от цифры
единиц и не была бы на единицу меньше или больше ее. Напишите для задуманного числа обращенное, т. е. число, изображенное теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке. Из этих двух чисел (задуманного и обращенного) возьмите большее и вычтите из него меньшее. Для получившейся разности напишите снова обращенное число и вычислите сумму этой разности и обращенного для нее числа».
Когда все это будет сделано, предложите одному из своих товарищей к получившемуся у него числу прибавить 100, другому - 200, третьему - 300 и т. д.
Вы можете каждому из участвующих в игре сказать, какое именно число у него получилось. Для этого вам каждый раз нужно будет прибавлять к числу 1089 то число, которое вы просили прибавить в конце. Так, у первого должно получиться 1189, у второго 1289 и т. д.
Еще лучше будет, если вы эти числа заранее напишете на листочках бумаги, вложите эти листочки в конверты и на них напишете имена своих товарищей, участвующих в этой игре. Вам останется торжественно вручить эти конверты их адресатам. Постарайтесь понять, в чем тут дело, и потом объясните своим товарищам.
Ответ: Пусть задуманное число 100а + 10b + с и а> с. Обращенное число 100с + 10b + а и разность их 99а - 99с. Эта разность равна 100 (а - с - 1) + 90 + (10 - а + с), где а - с - 1 - число сотен, 10 - а + с - число единиц. Обращенное для разности число 100(10 - а + с) + 90 + а - с - 1. Сумма будет равна 100(а - с - 1) + 90 + (10 - а + с) + 100 (10 - а + с) + 90 + а - с - 1 = 100*9 + 180 + 9 = 1089.
Делимость на 11. Предложите товарищу написать на классной доске или бумаге любое многозначное число. К этому числу вы можете быстро приписать справа или слева одну цифру так, чтобы получившееся число разделилось на 11. Если, например, ваш товарищ напишет число 43 572, то вам нужно будет приписать справа или слева к этому числу 1. Получившееся число разделится на 11.
Знаете ли вы, какую цифру нужно приписать к числу, что бы получившееся после этого число делилось на 11? Чтобы разобраться в этом вопросе, воспользуйтесь признаком делимости на 11: на 11 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечетных местах, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо больше или меньше ее на число, делящееся на 11.
Прежде чем выступать с этим числовым фокусом, поупражняйтесь, а потом объясните его вашим товарищам.
Мгновенное суммирование. Пусть кто-нибудь из ваших товарищей молча запишет на доске разность двух чисел. Вычислять разность не нужно. Тот, кто записал первую разность, или другой должен будет далее написать новую разность так, чтобы вычитаемым во второй разности было уменьшаемое первой разности. Производить вычисления также не нужно. Затем записывается третья разность так, чтобы вычитаемое было равно уменьшаемому второй разности. Продолжая, можно записать на доске любое число таких разностей. Пока это делается, вам на доску смотреть не следует. Как только все разности будут записаны на доску, повернитесь к ней лицом, посмотрите на записи, и вы сразу же можете сказать, чему будет равна сумма всех записанных, но не вычисленных разностей. Для этого вам нужно будет из уменьшаемого последней разности вычесть вычитаемое первой разности. Пусть, например, на доске будут записаны такие разности: 340-80; 450-340; 620 - 450; 680 - 620; 700 - 680; 825 - 700; 900 - 825. Сумма всех этих разностей будет равна 900 - 80, т. е. 820. Пусть ваши товарищи проверят вас, вычислив каждую разность, а затем и сумму их. Конечно, можно записывать разности не только целых чисел, но обыкновенных и десятичных дробей, а также положительных и отрицательных чисел.
Почему так получается? Разберитесь сами и объясните товарищам.
Ответ: Пусть а - b - первая разность. Тогда вторая будет с - а, третья d - с, четвертая е - d и пятая f - е. Если ограничиться пятью разностями, то сумма их будет равна а - b + c - а + d - с + е - d + f - е = f - b
Удивительная память. Запишите заранее на классной доске или на листе бумаги 30 - 50, а можно и больше, многозначных чисел. При записи чисел нумеруйте их. Эти числа записывайте так. К номеру числа прибавьте 9, возьмите для получившегося числа обращенное. Это будет число миллионов. Дальше вычислите сумму цифр получившегося числа миллионов. Число единиц (только единиц) этой суммы даст число сотен тысяч. Чтобы найти число десятков тысяч, вычислите сумму двух последних цифр, т. е. числа миллионов и числа сотен тысяч, и возьмите опять только единицы этой суммы. Так же продолжайте дальше. Вот несколько примеров таких чисел, какие вы запишите. № 5 41561785; № 11 2246066; № 16 52796516. Подготовив все это, вы можете удивить своих товарищей замечательной памятью. Отвернитесь от доски и скажите товарищам, что вы запомнили все эти числа. Вам не поверят. Тогда предложите им проверить. Пусть кто-нибудь скажет вам номер числа. Вы, производя устно вычисления, будете читать число, как бы медленно вспоминая его. Делайте это так. Пусть вам назовут номер числа 32. Молча вычисляйте: 32 + 9 = 41, обращенное число 14, говорите: 14 миллионов, 1+4 = 5 - пятьсот, 4 + 5 = 9 - девяносто, 5 + 9 = 14 - 4 тысячи, 9 + + 4 = 13 - триста, 4 + 3 = 7 - семьдесят, 7 + 3 == 10 - единиц (14594370).
Угадайте возраст и дату рождения. Пообещайте своим товарищам угадать возраст и дату рождения каждого из них. Для этого заставьте каждого из них проделать следующие вычисления. Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Придется поступать так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая - число и третья - порядковый номер месяца рождения.
Разберитесь в «секрете» этого развлечения и объясните его товарищам.
Ответ: Пусть m - порядковый номер месяца рождения, t - число этого месяца и n - число лет. Тогда (((100m + t)2 + 8)5 + 4)10 + n + 4 = 10000m + 100t + n + 444.
Угадайте задуманное число. Приготовьте семь карточек. На первой из них напишите все числа, начиная от 1 до 100, через одно число, т. е. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99. На второй карточке напишите числа: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, ..., 98, 99. На третьей числа: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28,..., 92, 93, 94, 95. На четвертой- 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, ..., 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95. На пятой сначала напишите 16 последовательных натуральных чисел, начиная с 16, следующие 16 последовательных чисел, начиная с 32, не записывайте, затем запишите снова 16 чисел, начиная с 48, и т. д. На шестой сначала запишите 32 последовательных натуральных числа, начиная с 32, следующие 32 числа не записывайте и наконец припишите следующие числа с 96 до 100. На последующей карточке запишите все натуральные числа, начиная с 64 до 100.
Дайте вашему товарищу приготовленные таким образом карточки. Пусть он задумает какое-либо число от 1 до 100, выберет карточки, на которых это число записано. Только взглянув на эти карточки, вы можете угадать задуманное число. Для этого нужно найти сумму первых чисел, записанных на выбранных карточках. (Числа на карточках можно располагать в произвольном порядке, только нужно запомнить, какие места занимают первые числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.) Постарайтесь понять, почему так происходит.
Ответ: В основе этого развлечения лежит представление числа в двоичной системе счисления. Например, 2 в степени 3 = 2 в степени 4 + 2 в степени 2 + 2 в степени 1 + 2°. Такое представление единственно. Это число записано только на первой, второй, третьей и пятой карточках (см. показатели степеней). Значит, первые числа карточек - это те степени числа 2, которые входят в представление задуманного числа в виде суммы степеней 2 с разными показателями, (1 = 2°).
Любимая цифра. Спросите у ваших товарищей, кто какую цифру любит. Пусть один из них назовет вам цифру 4. Предложите ему 4 умножить на 9, а затем на получившееся произведение умножить число 12 345 679. В результате у него получится число 444 444 444, т. е. число, записанное с помощью только любимой им цифры. Если кто-нибудь скажет, что он любит 8, то предложите ему 8 умножить на 9, а затем умножить число 12 345 679 на получившееся произведение 72. У него получится число, записанное с помощью лишь любимой им цифры 8. Если же кто-нибудь назовет вам 0, то скажите, что 0, конечно, очень важная цифра, но лично вы ее недолюбливаете, и попросите назвать другую цифру.
Постарайтесь разгадать «секрет» этого развлечения и объясните его вашим товарищам.
Ответ: Используется равенство: 12 345 679*9 = 111111111
Как я узнаю? Номер дома, в котором вы живете, умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25, прибавьте к полученному произведению свой возраст (целое число ваших лет) и число 125. Скажите мне, какое у вас получилось число, и я назову вам номер дома, в котором вы живете, и сколько вам лет. Как я все это узнаю?
Ответ: Объяснение дает равенство: (4х + 7)25 + у +125 = 100 х + у + 300; х - номер дома, у - возраст.
Быстрое извлечение кубического корня. Пусть ваш товарищ возведет в куб какое-нибудь двузначное число и сообщит вам результат. Вы можете быстро узнать, какое именно число возводилось в куб (извлечь кубический корень). Для этого вам понадобится таблица кубов однозначных чисел: 1 в степени 3 = 1, 2 в степени 3 = 8, 3 в степени 3 = 27, 4 в степени 3 = 64, 5 в степени 3 = 125, б в степени 3 = 216, 7 в степени 3 = 343, 8 в степени 3 = 512, 9 в степени 3 = 729. Вам достаточно запомнить цифровое окончание каждого из правых чисел и соответствующее основание куба. Поступайте так. Названное вам число мысленно разделите на грани по 3 знака справа налево (левая грань может содержать и меньше трех знаков). По окончанию правой грани вы легко найдете цифру единиц искомого кубического корня. Цифра десятков корня находится по левой грани, с помощью таблицы кубов однозначных чисел. Приведем пример. Пусть товарищ назовет вам число 571 787. Последняя цифра этого числа 7, следовательно, число единиц корня 3. Левая грань у нас 571, но число 571 заключено между числами нашей таблицы кубов 512 и 729, поэтому десятков в искомом корне 8. Товарищ возвел в куб число 83.
Прежде чем показывать свое умение извлекать кубические корни, потренируйтесь.
Угадайте. Сделайте из картона два круга, как показано на рисунке 66. Радиус большего круга пусть будет 20 см, а меньшего - 8 см. Меньший круг наложите на больший и скрепите их так, чтобы меньший круг мог поворачиваться вокруг общего центра их. С помощью двух этих скрепленных кругов вы можете отгадать, какого писателя задумает ваш товарищ.
Делается это так. Товарищ должен задумать одного из писателей, фамилии которых записаны в секторах большего круга; затем посмотреть, какое число стоит против этой фамилии на меньшем круге, и повернуть меньший круг в направлении, указанном стрелкой, на столько делений (частичных секторов), каково это число. Какое положение занимает вначале меньший круг - безразлично. На сколько делений повернет ваш товарищ меньший круг, вам также не нужно знать.
Чтобы угадать задуманного писателя, вам достаточно будет взглянуть, какое положение займет меньший круг. Против фамилии задуманного писателя будет стоять всегда число 12. Постарайтесь разгадать «секрет» этих удивительных кругов.
Вот еще один вариант таких кругов: с их помощью вы можете узнать, какие виды спорта любят ваши товарищи
Ответ: Весь «секрет» в подборе чисел, характеризующих повороты меньшего круга. Разгадайте его.
Сколько братьев и сколько сестер? Вы можете узнать, сколько братьев и сколько сестер у вашего товарища. Пусть он прибавит к числу братьев 3, полученное число умножит на 5, к полученному произведению прибавит 20, сумму умножит на 2, прибавит число сестер и еще 5. По названному результату этих вычислений вы можете легко установить, сколько братьев и сестер у вашего товарища. Как вам это сделать?
Ответ: ((а + 3) 5 + 20)* 2 + b + 5 = 10а + b + 75, а - число братьев, b - число сестер.
Угадайте задуманный час. Воспользуйтесь картонной моделью циферблата часов. Пусть ваш товарищ задумает, который час (1, 2, 3, .... 12). Объясните, что вы указкой будете показывать числа на циферблате. Каждый раз ваш товарищ должен прибавлять сначала к задуманному им часу единицу, затем к получившейся сумме единицу и так далее. Когда у него получится 20, он должен сказать «стоп». В этот момент ваша указка должна показать задуманный товарищем час. Чтобы это случилось, поступайте так. Первые 7 раз показывайте какие угодно числа на циферблате часов. В восьмой раз покажите 12, а дальше показывайте по порядку 11, 10, 9 и так далее. Найдите объяснение.
Нестандартные задачи по математике для 4 класса
1. Сколько разных нарядных костюмов у Андрея, если у него три пары нарядных брюк, два нарядных пиджака и два нарядных галстука и все эти предметы подходят друг другу?
Решение. К любой паре брюк можно подобрать любой из двух пиджаков и любой из двух галстуков. То есть к любой паре брюк можно подобрать четыре варианта "пиджак + галстук". А так как пар брюк имеется 3, то всего нарядных костюмов 12. Желательно начертить на доске такое дерево возможностей:
А еще лучше сделать такой рисунок.
2. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?
Решение. Разделим монеты на три группы: 9, 9 и 2 монеты. Первое взвешивание – сравниваем вес первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей группы, и мы вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче, – фальшивая. Если в первом взвешивании одна из групп окажется легче, то фальшивая монета в ней. Делим эту группу на три группы по три монеты. Вторым взвешиванием устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую монету в этой тройке.
3. Продолжи последовательность: 8, 6, 10, 6, 12, 6, ... .
Решение. Все четные члены последовательности равны 6, а все нечетные получаются прибавлением числа 2 к предыдущему нечетному члену.
Ответ: 8, 6, 10, 6, 12, 6, 14, 6, 16, 6, ... .
4. Разгадай ребус: 5* + **3 = **01.
Решение. Достаточно записать пример в столбик, и решение будет очевидным.
Ответ: 58 + 943 = 1001.
5. В одной бочке 50 л жидкого дегтя, в другой – 50 л жидкого меда. Ложку дегтя переливают в бочку меда, а потом ложку полученной смеси переливают в бочку дегтя. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде?
Решение. Это задача на тему поговорки "Ложкой дегтя можно испортить бочку меда". Но интересна она не этим, а тем, что даже взрослые люди часто дают на нее неверный ответ: дегтя в меде больше, так как дегтя перелили целую ложку, а меда перелили не целую ложку (ложку, в которой был также и деготь). После того как будут выслушаны разные ответы, нужно дать такое решение задачи.
В результате переливаний в первой бочке оказалось х миллилитров меда. Так как в ней всего 50000 мл, то дегтя в ней 50000 – х миллилитров. Во второй бочке осталось поэтому 50000 – х миллилитров меда. Значит, дегтя в ней тоже х мл.
И сопроводить решение таким рисунком:
Довод в пользу неверного ответа, который казался таким убедительным, теперь легко опровергнуть: во время второго переливания часть дегтя вернули обратно.
Ответ: поровну.
6. В двух кучах лежат камни. Двое играющих по очереди берут из любой кучи произвольное число камней. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?
Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число камней в кучах. Если один игрок уравняет их, то другой обязательно нарушит это равенство и т.д. Число камней все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число камней в кучах, доведет это равенство до 0–0, то есть выиграет.
Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Камни для этого иметь необязательно. Можно просто написать на доске:
В первом случае надо начинать первым, забирая из второй кучи 8 камней (уравнивая кучи). Во втором случае надо предоставить первый ход противнику и каждым своим ходом уравнивать кучи.
Ответ: Если число камней в кучах одинаково, нужно предоставить первый ход партнеру, а если неодинаково – начать игру, уравнивая число камней в кучах.
7. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь четыре" зашифруй фразу "Век живи – век учись".
Решение. Как мы писали в аналогичной книге для третьеклассников, шифр Юлия Цезаря состоит в следующем. Алфавит пишется по кругу (за буквой я следует буква а), и каждая буква шифруемой фразы заменяется другой, следующей за ней (или перед ней) на определенное число букв. Шифр "прибавь четыре" означает, что каждую букву фразы "век живи – век учись" нужно заменять четвертой от нее буквой.
Ответ: Ёио кмём – ёио чымха.
8. Известно, что a + b = 7. Чему равно (а + 8) + b?
Решение. Задачу можно изложить, например, так. У Вовы в двух карманах было 7 рублей. Он положил в левый карман еще 8 рублей. Сколько теперь у него денег в обоих карманах?
9. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным (это можно сделать двумя способами):
Решение. Надо воспользоваться тем, что в римской нумерации XI – это 11, а IX – это 9.
Ответ: 1-й способ
2-й способ
10. Друзья при прощании обменялись фотографиями. Фотографий понадобилось 20. Сколько было друзей?
Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то фотографий понадобилось бы всего две. Если бы их было трое, то понадобилось бы шесть фотографий, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из следующего рисунка видно, что фотографий нужно 12. А если друзей пятеро, то фотографий нужно 20 (см. последний рисунок). Можно рассуждать и более квалифицированно: каждый должен подарить на одну фотографию меньше, чем всего имеется друзей. Произведение двух последовательных чисел равно 20, если большее из чисел равно 5.
11. У Кати вдвое больше пятерок, чем у Вовы, а у него на 6 пятерок меньше, чем у Кати. Сколько пятерок у Вовы?
Решение. Эту задачу можно решить арифметически, а можно с помощью уравнения. Если в классе есть дети, которые могут сразу решить эту задачу, нужно попросить их придумать, как объяснить решение остальным. Это относится и к арифметическому, и к алгебраическому решению.
Арифметическое решение подсказывается рисунком:
Сразу видно, что у Вовы 6 пятерок, а у Кати их 12.
Может показаться, что если задача решается так просто, то это значит, что не нужно ее решать другим способом. Однако именно на легких задачах можно научиться новому методу решения. Данная задача очень для этого удобна. Мы вызываем к доске ученика и просим начать записывать уравнение. Что можно записать? Конечно, знак равенства:
Этим самым начат поиск следующих шагов: что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 6? Дописываем:
Многие догадаются, что шести равна разность числа Катиных и числа Вовиных пятерок. И мы так и запишем:
(число Катиных пятерок) – (число Вовиных пятерок) = 6.
Получилось уравнение. Но в нем слишком много неизвестных – два. Хорошо бы выразить эти неизвестные через один и тот же х. Кстати, вспоминаем, что спрашивается в задаче. И приходим к мысли обозначить через х именно эту величину:
(число Катиных пятерок) – х = 6.
Теперь уже многие догадаются, что число Катиных пятерок равно 2х, и уравнение примет вид:
12. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.
Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.
13. Известно, что a + b = 12. Чему равно а + (b + 5)?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему (см. например, задачу 8).
14. У Саши втрое больше марок с портретами русских писателей, чем у Пети, а у него на 4 таких марки меньше, чем у Саши. Сколько таких марок у Пети?
Решение. Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Саши 6 таких марок, а у Пети их 2.
Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:
Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 4? Дописываем:
Многие догадаются, что четырем равна разность числа Сашиных и числа Петиных марок:
(число Сашиных марок) – (число Петиных марок) = 4.