Интересное понятие из школьного курса обучения - это противоположные числа, рассматривать которые можно как математически, так и геометрически. Понимание данной темы упрощает изучение математики, позволяет быстрее справляться с некоторыми задачами - поэтому мы рассмотрим, какие числа называются противоположными, и какие правила для них работают.
В чем заключается суть термина?
Чтобы понять смысл противоположных чисел, на минуту обратимся к геометрии. Нарисуем прямую координат и отметим на ней нулевую точку, а затем поставим еще две отметки на прямой - например, «2» с правой стороны и «-2» с левой стороны от нуля. Само собой, от обеих точек расстояние до начала координат будет совершенно одинаковым - и это легко проверяется измерениями. «2» и «-2» отстоят от нуля на одно и то же расстояние, но в разных направлениях - соответственно, они являются полностью противоположными друг другу.
В этом и заключается суть. Числа могут быть сколько угодно большими или маленькими, целыми или дробными. Однако каждое из них обладает неким числом, составляющим его полную противоположность. Определение можно дать следующее - если на прямой координат от двух точек, поставленных по обе стороны от нуля, можно отложить к началу отсчета равное расстояние - эти точки, а точнее, соответствующие им числа, будут противоположны.
Какие правила можно вывести из определения?
Стоит запомнить несколько безусловных утверждений, касающихся рассматриваемой темы:
- Принцип противоположности для двух чисел работает в обе стороны. Например, числу 3 противоположно число -3 - и поэтому числу -3 противоположно только число 3, а не какое-нибудь другое.
- У числа не может быть двух противоположностей - таковая всегда только одна.
- Противоположными друг другу могут быть числа с разными знаками. Если число положительное, то его противоположное число будет со знаком «минус» - например, 5 и -5. То же самое работает и в обратную сторону - для числа со знаком «минус» противоположным всегда будет то, что со знаком «плюс» - например, -6 и 6.
- Два противоположных числа имеют одинаковое абсолютное значение, или модуль. Иными словами, если для числа 4
5 и -5 (рис. 61) одинаково удалены от точки О и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами: 5 противоположно - 5, а -5 противоположно 5.
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.
Например, противоположными числами будут 8 и -8, так как число 8 = + 8, значит, числа 8 и - 8 отличаются только знаками. Противоположными числами также будут
Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.
Число 0 противоположно самому себе.
Число, противоположное числу о, обозначают -а. Если а=-7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то - а= -8,3; если а = 0, то -а = 0. Запись « - (-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(- 15) = 15. Вообще -(- а)=а.
Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.
? Какие числа называют противоположными?
Число b противоположно числу а. Какое число противоположно числу b?
Какое число противоположно нулю?
Существует ли число, имеющее два противоположных ему числа?
Какие числа называют целыми?
К 910. Найдите числа, противоположные числам:
911. Поставьте вместо такое число, чтобы получилось верное равенство:
912. Найдите значение выражения:
913. Найдите координаты точек А, В и С (рис. 62).
914. Каким числом является - х, если х:
а) отрицательное; б) нуль; в) положительное?
915. Заполните пустые места в таблице и отметьте на координатной прямой
точки, имеющие своими координатами числа полученной таблицы.
916. Решите уравнение:
а) - х = 607; б) - а = 30,4; в) - y= -3
917. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами:
П
918. Вычислите усно:
919. Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число: 2,6; -3: 0; -6; -8
920. Найдите числа, которые на координатной прямой находятся на расстоянии: а) 6 единиц от числа -9; б) 10 единиц от числа 4; в) 10 единиц от числа -4; г) 100 единиц от числа 0.
921. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину 4 клеток тетради, и отметьте на этой прямой точки , F(2,25).
А
922. Отметьте на «линии времени» следующие события из истории математики:
а) Книга «Начала» была написана Евклидом в III в. до н. э.
б) Теория чисел зародилась в Древней Греции в VI в. до н. э.
в) Десятичные дроби появились в Китае в III в.
г) Теория отношений и пропорций была разработана в Древней Греции в IV в. до н. э.
д) Позиционная десятичная система счисления распространилась в странах Востока в IX в. Сколько веков назад произошли эти события? Сравните «линию времени» и координатную прямую.
923. Укажите пары взаимно обратных чисел:
924. Витя купил 2,4 кг моркови. Сколько моркови купил Коля, если известно, что он купил:
а) на 0,7 кг больше Вити; е) того, что купил Витя;
б) на 0,9 кг меньше Вити; ж) 0,5 того, что купил Витя;
в) в 3 раза больше Вити; з) 20% того, что купил Витя;
г) в 1,2 раза меньше Вити; и) 120% того, что купил Витя;
д) того, что купил Витя; к) на 20% больше того, что купил Витя?
925. Решите задачу:
1) Кирпичный завод должен был изготовить для строительства Дворца культуры 270 тыс. штук кирпича. В первую
неделю он изготовил задания, во вторую неделю он изготовил на 10% больше, чем в первую неделю. Сколько тысяч штук кирпича осталось изготовить заводу?
2) Колхоз продал государству за три дня 434 т зерна. В первыи день он продал этого количества, во второй день -на 10% меньше, чем в первый день, а в третий день - остальное зерно. Сколько тонн зерна продал колхоз в третий день?
926. Ноты отличаются по длительности их звучания. Знаком обозначают целую, ноту вдвое короче - половинную , шестнадцатую .
Проверьте равенство длительностей:
Д
927. Какие числа противоположны числам:
928. Запишите все натуральные числа, меньшие 5, и числа, им противоположные.
929. Найдите значение:
930. Во второй день со склада выдали в 2 раза больше проволоки, чем в первый день, а в третий день в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов проволоки выдали в эти три дня, если в первый день выдали на 30 кг меньше, чем в третий?
931. В колхозе на поливных землях собирали с гектара 60,8 ц пшеницы. Замена старого сорта пшеницы новым дает прибавку урожая на 25%. Сколько теперь пшеницы собирает колхоз с 23 га поливного поля?
932. Составьте по каждой схеме уравнение и решите его:
933. Найдите значение выражения:
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.
Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M , то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N . Например, от M до нуля – расстояние в 2 , 4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:
Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.
Запишем определение, что же такое противоположные числа:
Определение 1
Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.
Как обозначаются противоположные числа
В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.
Пример 1
Допустим, наше число равно a , следовательно, ему противоположно – a (минус a). Точно таким же образом для 0 , 26 противоположно - 0 , 26 , а для 145 это будет - 145 . Если исходное число само является отрицательным, например, - 9 , то противоположное мы записываем как – (- 9) .
Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и - 12 . Противоположные рациональные числа – это 3 2 11 и - 3 2 11 , а также 8 , 128 и − 8 , 128 , 0 , (18901) и − 0 , (18901) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2 + 1 и - 2 + 1 .
Противоположными иррациональными числами также будут e и - e .
Основные свойства противоположных чисел
Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.
Определение 2
1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.
Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.
Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно − (− a) = a . Покажем на примере, почему это важно.
Возьмем число 5 . С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число - 5 , и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное - 5 как – (- 5) . Получается, что – (- 5) = 5 . Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.
2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:
Определение 3
Если некоторое число a является противоположным числу b , тогда и b является противоположным числу a .
Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.
3. Третье свойство противоположных чисел гласит:
Определение 4
Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.
Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.
Определение 5
4. Модули противоположных чисел равны.
Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.
Определение 6
5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0 .
В буквенном виде это утверждение выглядит как a + (− a) = 0 .
Пример 2
Приведем примеры таких вычислений:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Противоположные числа определение
Противоположные числа определение:
Два числа называются противоположными, если они отличаются только знаками.
Примеры противоположных чисел
Примеры противоположных чисел.
1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45
Отсюда понятно как находить число, противоположное данному: просто поменяйте знак числа.
Противоположное число числу 3 есть число минус три.
Пример. Числа противоположные данным.
Дано: числа 1; 5; 8; 9.
Найти числа противоположные данным.
Для решения этого задания просто меняем знаки заданный чисел:
Составим таблицу противоположных чисел:
| 1 | 5 | 8 | 9 |
| -1 | -5 | -8 | -9 |
Число противоположное нулю
Число противоположное нулю есть само число ноль.
Итак, противоположное число числу 0 - это 0.
Противоположные целые числа
Противоположные целые числа отличаются только знаками.
Примеры противоположных целых чисел.
10 -10
20 -20
125 -125
Пара противоположных чисел
Когда говорят о притивоположных числах всегда имеют ввиду пару противоположных чисел.
Число противоположно другому числу. И у каждого числа имеется только одно противоположное число.
Числа, противоположные натуральным
Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа.
Составим таблицу противоположных чисел для первых пяти натуральных чисел:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
Сумма противоположных чисел
Сумма противоположных чисел равна нулю. Ведь противоположные числа отличаются только знаком.
В этой статье мы изучим противоположные числа . Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.
Навигация по странице.
Определение противоположных чисел
Получить представление о противоположных числах нам поможет .
Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М , отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N . Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N .
Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.
Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число , следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N , и называются противоположными.
Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0 . Число нуль принято считать противоположным самому себе.
Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел .
Определение.
Два числа называются противоположными, если в соответствующие этим числам точки на координатной прямой можно попасть, отложив от начала отсчета в противоположных направлениях одинаковое количество единичных отрезков, а также долей единичного отрезка, число 0 противоположно самому себе.
Обозначение противоположных чисел и примеры
Пришло время ввести обозначения противоположных чисел .
Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a , записывается как −a . Например, числу 0,24 противоположно число −0,24 , а числу −25 противоположно число −(−25) .
Приведем примеры противоположных чисел . Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17 ) является примером противоположных целых чисел . Числа и - это противоположные рациональные числа . Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126 . а также 0,(1201) и −0,(1201) . Осталось привести несколько примеров противоположных