Фокус “Феноменальная память”.

Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер каточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число. Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия - прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки - 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры - получим 15, будем складывать цифры, следующая - 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.

Фокус “Угадать задуманное число”.

Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем передать листочек “фокуснику”. Он может назвать задуманное число. Разгадка фокуса:

Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.

Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”.

Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет цифру - безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 - не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается?

Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а - цифра сотен, в - цифра десятков, с - цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т. е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.

Фокус “Любимая цифра”.

Любой из присутствующих задумывает свою любимую цифру. Фокусник предлагает ему выполнить умножение числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то пусть умножит на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой. Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45. Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.

Фокус “Угадать задуманное число, ничего не спрашивая”.

Фокусник предлагает учащимся следующие действия:

Первый ученик задумывает какое-нибудь двузначное число, второй - приписывает к нему справа и слева такое же число, третий - делит полученное шестизначное число на 7, четвертый - на 3, пятый - на 13, шестой - на 37 и передает свой ответ задумавшему, который видит, что к нему вернулось его число. Секрет фокуса: если к любому двузначному числу приписать справа и слева такое же число, то двузначное число при этом увеличится в 10101 раз. Число 10101 равно произведению чисел 3, 7, 13 и 37, поэтому после деления мы и получаем задуманное число.

Конкурс болельщиков - “Веселый счет”. От каждой команды приглашается представитель. На доске две таблицы, на которых в беспорядке отмечены числа от 1 до 25. По сигналу ведущего учащиеся должны найти на таблице все числа по порядку, кто это сделает быстрее, тот и выиграл.

Фокус “Число в конверте”

Фокусник пишет на бумажке число 1089, вкладывает бумажку в конверт и заклеивает его. Предлагает кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга больше, чем на 1. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он снова переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности двух первых. Когда он получит сумму, фокусник предлагает ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое у него и получилось.

Фокус “Угадывание дня, месяца и года рождения”

Фокусник предлагает учащимся выполнить следующие действия: “Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось”. Теперь “фокуснику” осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна - номер месяца, а последние две цифры - число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.

Фокус “Угадать задуманный день недели”.

Пронумеруем все дни недели: понедельник - первый, вторник - второй и т. д. Пусть кто-нибудь задумает любой день недели. Фокусник предлагает ему следующие действия: умножить номер задуманного дня на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце 0, результат сообщить фокуснику. Из этого числа он вычитает 250 и число сотен будет номером задуманного дня. Разгадка фокуса: допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4×2+5)*5)*10=650, 650 - 250=400.

Фокус “Угадать возраст”.

Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся умножить число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков - получится число лет.

12. Арифметический фокус

– Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет, тайно от меня, любое трехзначное число.
– Могут быть и нули в этом числе?
– Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете.
– Написал. Что теперь?
– Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.
– Есть. Шестизначное число.
– Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.
– Легко сказать: разделить на семь! Может, и не разделится.
– Не беспокойтесь, поделится без остатка.
– Числа не знаете, а уверены, что поделится.
– Сначала разделите, потом будем говорить.
– На ваше счастье – разделилось.
– Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.
– Думаете, опять повезет – разделится?
– Делите, остатка не получится.
– В самом деле, без остатка! Теперь что?
– Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.
– Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… ан нет, разделилось нацело. Везет же вам!
– Дайте мне бумажку с результатом; только сложите ее, чтобы я не видел числа.
Не развертывая листка бумаги, «фокусник» вручил его председателю.
– Извольте получить задуманное вами число. Правильно?
– Совершенно верно! – с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. – Именно это я и задумал… А теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.

РАЗВЯЗКА ЗАВТРАКА

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 1-12

1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.

2. Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по гривеннику за полено. Деньги эти уплачены только за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80 х 3, т. е. в 2 руб. 40 коп., и цена одного полена – 30 коп.
Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятеркиной за ее 5 поленьев следует 150 коп.; но она сама воспользовалась плитой на 80 коп.; значит, ей остается дополучить еще 150 – 80, т. е. 70 коп. Тройкина за 3 своих полена должна получить 90 коп.; а если вычесть 80 коп., причитающиеся с нее за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 90–80, т. е. 10 коп.
Итак, при правильном дележе Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.

3. На первый вопрос – через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков – мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберется снова 5 кружков: политический – через 30 двухдневных промежутков, военный – через 20 трехдневных, фотокружок – через 15 четырехдневных, шахматный – через 12 пятидневок и хоровой – через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет еще через 60 дней, т. е. уже во втором квартале.
Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.
Труднее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы политкружка, т. е. числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы военного кружка: 4-й, 10-й и т. д. После того как зачеркнем затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачеркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.
Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно 2, 8,12,14,18, 20, 24 и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте – 9.

4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

5. С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.
Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX столетии: первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине от 132, т. е. 66. Дед родился в 1866 г., и ему теперь 66 лет.
Таким образом, и внуку, и деду в 1932 г. столько лет, сколько выражают последние два числа годов их рождения.

6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т. е. на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25 х 24 = 600 образцов.

7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что дирижабль летел по контуру квадрата: надо принять в расчет шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются (рис. 6); поэтому, пройдя 500 км по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, дирижабль отошел к востоку на большее число градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате дирижабль, закончив полет, оказался восточнее Ленинграда.
На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 6 вы видите маршрут дирижабля: ABCDE. Точка N– северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ и DC. Дирижабль пролетел сначала 500 км на север, т. е. по меридиану AN. Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500:111 = 4,5°. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В находится на 60° + 4,5° = 64,5°. Затем дирижабль летел к востоку, т. е. по параллели ВС, и прошел по ней 500 км.

Рис. 6. Как летел дирижабль задачи 7

Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел дирижабль на восток: 500: 48 = 10,4°. Далее воздушный корабль летел в южном направлении, т. е. по меридиану CD, и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, т. е. по DA; 500 км этого пути явно короче расстояния AD. В расстоянии AD заключается столько же градусов, сколько и в ВС, т. е. 10,4°. Но длина 1° на широте 60° равна 55,5 км. Следовательно, между А и D расстояние равно 55,5 х 10,4 = 577,2 км. Мы видим, что дирижабль не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, т. е. спустился на Ладожском озере.
8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля так мала по сравнению с расстоянием ее от солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть ее поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда при так называемом «иззаоблачном сиянии» (рис. 5 – лучи солнца, расходящиеся веером), – не более как следствие перспективы.
В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов (рис. 7) или вид длинной аллеи.
Однако из того, что лучи солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень дирижабля равна по длине самому дирижаблю. Взглянув на рис. 8, вы поймете, что полная тень дирижабля в пространстве сужается по направлению к земле и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть короче самого дирижабля: CD меньше, чем АВ.
Если знать высоту дирижабля, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть дирижабль летит на высоте 1000 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми АС м. ВD между собою, равен тому углу, под которым усматривается солнце с земли; угол этот известен: около 1 / 2 °. С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в 1 / 2 °> удален от глаза на 115 своих поперечников. Значит, избыток длины дирижабля над длиною тени (этот избыток усматривается с земной поверхности под углом в 1 / 2 °) должен составлять 115-ю долю от АС.

Рис. 7. Рельсы, уходящие вдаль

Рис. 8. Как падает тень от дирижабля

Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте дирижабля 1000 м) составляет около 1400 м, и, следовательно, тень короче дирижабля на 1400: 115 = 12 м.
Все сказанное относится к полной тени дирижабля – черной и резкой – и не имеет отношения к так называемой полутени, слабой и размытой.
Расчет наш показывает, между прочим, что будь на месте дирижабля небольшой воздушный шар диаметром меньше 12 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.

9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.
Итак, имеем в самом конце:

Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16 + 8 = 24 спички. Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:
Далее, мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 – это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания (т. е. до того, как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) распределение спичек было таково:
Таковы первоначальные числа спичек в кучках.

10. Эту головоломку также проще решить с конца. Мы знаем, что после третьего удвоения в кошельке оказалось 1 руб. 20 коп. (Деньги эти получил старик в последний раз.) Сколько же было до этого удвоения? Конечно, 60 коп. Остались эти 60 коп. после уплаты старику вторых 1 руб. 20 коп., а до уплаты было в кошельке
1 руб. 20 коп. + 60 коп. = 1 руб. 80 коп.
Далее: 1 руб. 80 коп. оказались в кошельке после второго удвоения; до того было всего 90 коп., оставшиеся после уплаты старику первых 1 руб. 20 коп. Отсюда узнаем, что до уплаты находились в кошельке 90 коп. + + 1 руб. 20 коп. = 2 руб. 10 коп. Столько денег имелось в кошельке после первого удвоения; раньше же было вдвое меньше – 1 руб. 5 коп. Это и есть те деньги, с которыми крестьянин приступил к своим неудачным финансовым операциям.

Проверим ответ:
Деньги в кошельке
После 1-го удвоения 1 руб. 5 коп. х 2 = 2 руб. 10 коп.
« 1-й уплаты…..2 руб. 10 коп. – 1 руб. 20 коп. = 90 коп.
« 2-го удвоения……..90 коп. х 2 = 1 руб. 80 коп.
« 2-й уплаты…..1 руб. 80 коп. – 1 руб. 20 коп. = 60 коп.
« 3-го удвоения……..60 коп. х 2 = 1 руб. 20 коп.
« 3-й уплаты…..1 руб. 20 коп. – 1 руб. 20 коп. = 0.

11. Наш календарь ведет свое начало от календаря древних римлян. Римляне же (до Юлия Цезаря) считали началом года не 1 января, а 1 марта. Декабрь тогда был, следовательно, десятый месяц. С перенесением начала года на 1 января названия месяцев изменены не были. Отсюда и произошло то несоответствие между названием и порядковым номером, которое существует теперь для ряда месяцев:

12. Проследим за тем, что проделано было с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трехзначное число еще раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например:
872 872 = 872 000 + 872.
Теперь ясно, что, собственно, проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать – умножили число на 1001.
Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В конечном счете, значит, разделили его на 7 х 11 х 13, т. е. на 1001.
Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в результате получилось то же самое число?
______________________________
Прежде чем закончить главу о головоломках в доме отдыха, расскажу еще о трех арифметических фокусах, которыми вы можете занять досуг ваших товарищей. Два состоят в отгадывании чисел, третий – в отгадывании владельцев вещей.
Это старые, быть может, даже и известные вам фокусы, но едва ли все знают, на чем они основаны. А без знания теоретической основы фокуса нельзя сознательно и уверенно его выполнять. Обоснование первых двух фокусов потребует от нас весьма скромной и ничуть не утомительной экскурсии в область начальной алгебры.

13. Зачеркнутая цифра

Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+ 4 + 7 = 19) и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется
847 – 19 = 828.
В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру – безразлично какую – и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса? Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщены цифры 2 и 8, то, сложив 2 + 8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18, не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.
Почему так получается? Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то должно остаться число, делящееся на 9, – иначе говоря, такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе цифра сотен – а , цифра десятков – Ь и цифра единиц – с. Значит, всего в этом числе содержится единиц
100а + 10b + с.
Отнимаем от этого числа сумму его цифр а + b + с.
Получим
100a + 10b + c – (a + b + c ) = 99a + 9b = 9(11a + b ).
Но 9 (11 а + Ь) конечно, делится на 9; значит, при вычитании из числа суммы его цифр всегда должно получиться число, делящееся на 9 без остатка.
При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9 (например, 4 и 5). Это показывает, что зачеркнутая цифра есть либо
О, либо 9. Так вы и должны ответить: «О или 9».
Вот видоизменение того же фокуса: вместо того чтобы из задуманного числа вычитать сумму его цифр, можно вычесть число, полученное из данного какой-либо перестановкой его цифр. Например, из числа 8247 можно вычесть 2748 (если получается число большее задуманного, то вычитают меньшее из большего). Дальше поступают, как раньше сказано:
8247 – 2748 = 5499;
если зачеркнута цифра 4, то, зная цифры 5,9,9, вы соображаете, что ближайшее к 5 + 9 + 9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит, зачеркнутая цифра 27–23 = 4.

13а. Отгадать число, ничего не спрашивая

Вы предлагаете товарищу задумать трехзначное число, не оканчивающееся нулем, такое, в котором крайние цифры разнятся больше чем на 1, и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав это, он должен вычесть меньшее число из большего и полученную разность сложить с нею же, но написанною в обратной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него получилось в конечном счете.
Если, например, было задумано 467, то загадчик должен выполнять следующие действия:

Этот окончательный результат – 1089 – вы и объявляете загадчику. Как вы можете его узнать?
Рассмотрим задачу в общем виде. Возьмем число с цифрами а, b, с. Оно изобразится так:

100а + 10 b + с.

Число с обратным расположением имеет вид:

100с + 10 b + а.

Разность между первым и вторым равна:

99а – 99с.

Делаем следующие преобразования:
99 а – 99 с = 99 (а – с) = 100 {а – с) – а + с = 100(а – с) - 100 + 100 – 10 + 10 – а с = 100 (а – с - 1) + 90 + (10 – а + с).

Значит, разность состоит из следующих трех цифр:
цифра сотен: а – с - 1,
« десятков: 9,
« единиц: 10 + с – а.

Число с обратным расположением цифр изображается так:
100(10 + с – а) + 90 + (а – с - 1).

Сложив оба выражения

100 (а – с - 1) + 90 + 10 + с – а 100(10 + с – а) + 90 + а – с - 1,

Получаем

100 х 9 + 180 + 9 = 1089.

Каковы бы ни были цифры а, Ь, с , в итоге выкладок всегда получается одно и то же число: 1089. Нетрудно поэтому отгадать результат этих вычислений: вы знали его заранее. Понятно, что показывать этот фокус одному лицу дважды нельзя – секрет будет раскрыт.

14. Кто что взял?

Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо подготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, поставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением орехов годятся шашки, кости домино, спички и т. п.
Троим товарищам вы предлагаете во время вашего отсутствия в комнате спрятать в карман карандаш, ключ или ножик, кто какую вещь хочет. Вы беретесь отгадать, в чьем кармане какая вещь.
Процедура отгадывания проводится так. Возвратившись в комнату после того, как вещи спрятаны в карманах товарищей, вы начинаете с того, что вручаете им на сохранение орехи из тарелки.
Первому даете один орех, второму – два, третьему – три. Затем снова удаляетесь из комнаты, оставив товарищам следующую инструкцию. Каждый должен взять себе из тарелки еще орехов, а именно: обладатель карандаша берет столько орехов, сколько ему было вручено; обладатель ключа берет вдвое больше того числа орехов, какое ему было вручено; обладатель ножа берет вчетверо больше того числа орехов, какое ему было вручено.
Прочие орехи остаются на тарелке.
Когда все это проделано и вам дан сигнал возвратиться, вы, входя в комнату, бросаете взгляд на тарелку и объявляете, у кого в кармане какая вещь.
Фокус тем более озадачивает, что выполняется без участия тайного сообщника, подающего вам незаметные сигналы. В нем нет никакого обмана: он целиком основан на арифметическом расчете. Вы разыскиваете обладателя каждой вещи единственно лишь по числу оставшихся орехов. Остается их на тарелке немного – от 1 до 7, и счесть их можно одним взглядом.
Как же, однако, узнать по остатку орехов, кто взял какую вещь?
Очень просто: каждому случаю распределения вещей между товарищами отвечает иное число остающихся орехов. Мы сейчас в этом убедимся.
Пусть имена ваших товарищей Владимир, Георгий, Константин; обозначим их начальными буквами: В, Г, К Вещи также обозначим буквами: карандаш – а, ключ – Ь, нож – с. Как могут три вещи распределиться между тремя обладателями? На 6 ладов:

Других случаев, очевидно, быть не может; наша табличка систематически исчерпывает все комбинации.
Посмотрим теперь, какие остатки отвечают каждому из этих 6 случаев:

Вы видите, что остаток орехов всякий раз получается иной. Поэтому, зная остаток, вы легко устанавливаете, каково распределение вещей между вашими товарищами. Вы снова – в третий раз – удаляетесь из комнаты и заглядываете там в свою записную книжку, где записана сейчас воспроизведенная табличка (собственно, нужны вам только первая и последняя графы); запомнить ее наизусть трудно, да и нет надобности. Табличка скажет вам, в чьем кармане какая вещь. Если, например, на тарелке осталось 5 орехов, то это означает (случай b, с, а ), что
ключ – у Владимира;
нож – у Георгия;
карандаш – у Константина.
Чтобы фокус удался, вы должны твердо помнить, сколько орехов вы дали каждому товарищу (раздавайте орехи поэтому всегда по алфавиту, как и было сделано в нашем случае).
Как может он это знать? И почему он уверен, что из всяких 27 костей домино составится непрерывная цепь?

18. Рамка

Рис. 9 изображает квадратную рамку, выложенную из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки равны по длине, но не одинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда – 59 и 32.

Рис. 9. Рамка из домино

Можете ли вы выложить такую квадратную рамку, все стороны которой заключали бы одинаковую сумму очков – именно 44?

19. Семь квадратов

Четыре кости домино можно выбрать так, чтобы из них составился квадратик с равной суммой очков на каждой стороне. Образчик вы видите на рис. 10: сложив очки на каждой стороне квадратика, во всех случаях получите 11.

Рис. 10

Рис. 11. Магический квадрат из домино

Можете ли вы из полного набора домино составить одновременно семь таких квадратов? Не требуется, чтобы сумма очков на одной стороне получалась у всех квадратов одна и та же; надо лишь, чтобы каждый квадрат имел на своих четырех сторонах одинаковую сумму очков.

20. Магические квадраты из домино

На рис. 11 показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда – продольного, поперечного или диагонального – одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются «магическими».
Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду.
13 – наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма – 23.

21. Прогрессия из домино

Вы видите на рис. 12. шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на 1: начинаясь с 4, ряд состоит из следующих чисел очков:
4; 5; 6; 7; 8; 9.
Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая «разность».

Рис. 12. Прогрессия на костяшках домино
Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых прогрессий.

ИГРА В «15», или ТАКЕН

Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр – математика В. Аренса.
«Около полувека назад – в конце 70-х годов – вынырнула в Соединенных Штатах игра в «15»; она быстро распространилась и, благодаря несчетному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие.
То же наблюдалось по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пассажиров коробочки с 15 шашками. В конторах и магазинах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынуждены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраивали большие игорные турниры. Игра проникла даже в торжественные залы германского рейхстага.

1. Число 365

Это число, прежде всего, замечательно тем, что определяет число дней в не високосном году. При делении на 7 оно даёт в остатке 1, эта особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.

Существует ещё одна особенность числа 365:

365=10x10x11x11x12x12, то есть 365 равно в сумме квадратов трёх последовательных чисел, начиная с 10:

10²+11²+12²=100+121+144=365.

Но и это ещё не всё. Число 365 равно сумме квадратов двух следующих чисел, 13 и 14:

13²+14²=169+196=365.

Если человек не знает выше изложенных свойств числа 365, то он при решении примера:

10²+11²+12²+13²+14²

365 начнёт выполнять громоздкие вычисления.

Например:

10²+11²+12²+13²+14² ‗ 100+121+144+169+196 ‗ 221+313+196 ‗ 730

Человек же знающий решит этот пример в уме моментально и получит в ответе 2.

10²+11²+12²+13²+14² ‗ 365+365 ‗ 730

2. Число 999

Следующее число, которое я буду описывать - это 999.

Оно намного удивительнее, чем его перевёрнутое изображение - 666 - > Апокалипсиса, вселяющее страх в суеверных людей, но оно по своим арифметическим свойствам ничем не выделяется среди других чисел.

Особенность числа 999 в том, что его можно легко умножить на трёхзначные числа. Тогда получится шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры являются дополнениями первых трех до

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

573x999=573x(1000-1)= 573

947x999=946053, 509x999=508491, 981x999=980019,

543x999=542457, 167x999=166833, 952x999=951048 и т. п.

А так как 999=9x111=3x3x3x37,то вы можете описать целые столбцы шестизначных чисел, кратных 37. Не знакомый же со свойствами числа 999, этого сделать не сможет.

3. Число 1001

Сначала рассмотрим число 1001. Это число сказок, которое царица Шехерезада рассказывала царю Шахрияру.

Число 1001 с первого взгляда кажется самым обыкновенным. Его можно разложить на три последовательных простых множителя 7, 11 и 13. Следовательно, оно является их произведением.

Но в том, что 1001=7x11x13 нет ничего интересного. Замечательно то, что если его умножить на любое трехзначное число, то в результате получится тоже самое число, записанное дважды. Нужно применить распределительный закон умножения.

Разложим 1001 на сумму 1000+1.

Например:

247x1001=247x(1000+1)=247x1000+247x1=247000+247=247247

4. Число 111111

Следующее число, о котором я хочу рассказать - это 111 111.

Благодаря знакомству со свойствами числа 1001 мы сразу видим, что

111 111=111x1001

Но мы знаем, что

111=3x37, 1001=7x11x13.

Отсюда следует, что наша новая числовая диковинка, состоящая из одних единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число, 111 111.

3x(7x11x13x37)=3x37037=111 111

7x(3x11x13x37)=7x15873=111 111

11x(3x7x13x37)=11x10101=111 111

13x(3x7x11x37)=13x8547=111 111

37x(3x7x11x13)=37x3003=111 111

(3x7)x(11x13x37)=21x5291=111 111

(3x11)x(7x13x37)=33x3367=111 111

(3x13)x(7x11x37)=39x2849=111 111

(3x37)x(7x13x11)=111x1001=111 111

(7x3)x(11x13x37)=21x5291=111 111

(7x11)x(3x13x37)=77x1443=111 111

(7x13)x(11x3x37)=91x1221=111 111

(7x37)x(11x3x13)=259x429=111 111

(11x13)x(7x37x3)=143x777=111 111

(37x11)x(13x7x3)=407x273=111 111

Глава II >:

Арифметические фокусы - честные, добросовестные фокусы. Здесь никто никого не стремится обмануть, ввести транс или усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить такой фокус, не нужны, ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие - либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений. Кружок товарищей, не посвящённых в математические тайны можно поразить следующими фокусами.

§1. Фокус № 1.

Запишите число 365 два раза: 365 365.

Разделите полученное число на 5: 365 365/5=73 0 73.

Разделите полученное частное на 73: 73 0 73/73=1001.

У вас получится число Шехерезады, то есть 1001.

Разгадка фокуса, очень проста: число 365=5x73. То есть число 365365 мы делим на 365 и получаем в ответе 1001.

§2. Фокус № 2.

Пусть кто-нибудь напишет любое трехзначное число, и затем к нему припишет еще раз это же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из повторяющихся цифр.

Предложите своему товарищу разделить это число в тайне от вас на 7. Результат нужно передать соседу, который должен разделить его на 11. Полученный результат передается следующему ученику, которого вы просите разделить это число на 13.

Результат третьего деления вы, не глядя, вручаете первому товарищу. Это и есть задуманное число.

Этот фокус объясняется очень просто. Если приписать к трехзначному числу его само - значит умножить его на 1001, или на произведение 7x11x13=1001. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к заданному числу его само, должно будет делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13.

§3. Фокус № 3.

Запишите любую цифру три раза подряд. Полученное число разделите на 37 и на 3. И у вас получится в ответе ваша цифра.

Разгадка: когда мы делим трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами вначале на 37, а затем на 3,то мы, не замечая, делим на 111.

§4. Фокус № 4.

Число 111 111 так же можно использовать для проделывания фокусов, как и число 1001. В данном случае надо предлагать товарищу число однозначное, и попросить записать его уже шесть раз подряд. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. п. Это дает возможность очень разнообразить выполнение фокуса.

Например: предложите своим товарищам задумать любую цифру, кроме нуля. Нужно умножить ее на 37. Затем умножить на 3. Результат приписать еще раз справа. Полученное число разделить на первоначально задуманную цифру.

Получилось число 111 111.

Разгадка фокуса основана на свойстве числа 111 111. Когда мы умножаем его на 1001 (со свойствами числа 1001 мы познакомились в предыдущей главе) и получилось задуманное число, записанное в начале. Далее при делении на задуманное число явно получается шесть единиц.

§5. Фокус № 5.

Пусть ваш товарищ запишет любое трехзначное число. Справа к нему нужно приписать три нуля. От шестизначного числа предложите отнять первоначальное трехзначное. Затем попросите товарища разделить на задуманное, полученный результат. Частное нужно разделить на 37.

Получилось число 27.

Секрет фокуса понять просто. Он основан на свойствах числа 999.

Число 999 является произведением четырех простых множителей:

3x3x3x37=999, а, следовательно, 999/37=27

Когда умножают на него трехзначное число, получается результат, состоящий из двух половин: первая - это умножаемое число, уменьшенное на единицу, а вторая - результат вычитания первой половины из множителя.

§6. Фокус № 6.

Число 111 111 111: можно также использовать для наших числовых фокусов:

Спросим у одноклассника его любимую цифру (от 1 до 9).

Попросим эту цифру умножить на 9, а затем полученное произведение умножить на число 123456789. В результате получится число, состоящее из любимых цифр одноклассника.

Например:

5 - это любимая цифра ученика, тогда

45x123456789=555 555 555 т. е. 9x123456789=111 111 111

Заключение:

Описать все эти числа, я поняла, что они не обладают никакими сверхъестественными особенностями. А то, что я описала, это всего лишь способы мгновенного деления и умножения в уме, к которым может прийти почти каждый человек, стоит лишь задуматься на некоторое время.

Мы живем в XXI веке, в век информационных технологий, и как я сказала во введении, появились компьютеры, калькуляторы, и т. п. , на которых можно моментально складывать, вычитать, умножать и делить многозначные числа. Но если, скажем, вам надо будет найти результат: 999x694, и у вас не будет под рукой калькулятора, то вы просто-напросто >, в то время как кто-нибудь сразу скажет ответ этого действия - 693306.

Эти интересные способы вычисления чисел очень могут помочь в школе, в вузе, на работе, и вообще в жизни. Так как в кругу товарищей можно загадывать интересные арифметические фокусы без обманов и волшебства. Исходя из всего вышесказанного, я делаю вывод, что эти и многие другие числовые диковинки желательно знать каждому. Эти знания обязательно понадобятся в жизни!!!

Математическая шкатулка

Угадайте задуманное число. В своей книге «Арифметика» Леонтий Филиппович Магницкий привел следующий способ отгадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число». Почему так получается?

Ответ: 10 а + b - задуманное число. Получается: (2а + 5)5 + 10+ b = 10а + b + 35

Угадайте сумму цифр задуманного числа. Предложите своим товарищам каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр. Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел. Спросите у любого участника этого развлечения, какая сумма получилась. Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного твоим товарищем числа.

Пусть, например, твой товарищ задумал число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14 + 15 + 45 + 41 + 51 + 54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 - сумму цифр задуманного числа. Почему так получается?

Ответ: Каждая цифра задуманного числа в записи шести двузначных чисел встретится 4 раза: 2 раза она будет показывать число десятков и 2 раза - число единиц. При делении суммы шести таких двузначных чисел на 22 получится сумма цифр задуманного числа.

Угадайте зачеркнутую цифру. Известен арифметический фокус. Состоит он в следующем. Предлагается написать

любое трехзначное или четырехзначное число, состоящее из

различных цифр. Какое именно число будет написано, отгадывающий не должен знать. Написавший число имеет право как угодно переставить цифры этого числа. Получатся два числа: записанное вначале и получившееся из него после перестановки цифр. Меньшее из этих чисел предлагается вычесть из большего, в полученной разности зачеркнуть одну цифру и вычислить сумму оставшихся. Эта сумма сообщается отгадывающему, и он говорит, какая цифра была вычеркнута.

Чтобы узнать, какая цифра была вычеркнута, отгадывающий поступает так: названную ему сумму цифр он дополняет до ближайшего большего кратного 9 (9, 18, 27, 36 и т. д.). Дополняющее число и дает вычеркнутую цифру. Если сумма сама окажется кратной 9, то зачеркнутая цифра была 0 или 9. Объясните этот фокус.

Ответ: Остатки от деления натурального числа и суммы его цифр на 9 равны. У двух чисел, записанных одними и теми же цифрами, остатки от деления на 9 равны и разность этих чисел делится на 9 без остатка. Чтобы найти вычеркнутую цифру, необходимо сумму оставшихся цифр дополнить до ближайшего большего числа, кратного 9.

Угадайте задуманное число. Предложите своему товарищу задумать какое-либо трехзначное число и приписать к нему точно такое же число. Получившееся шестизначное число попросите умножить на 2, результат разделить сначала на 7, затем то, что получится, разделить на 11 и наконец разделить на 13. Если ваш товарищ скажет, что деление нацело не выполняется, то уверенно заявите, что товарищ ошибся, и предложите ему исправить ошибку. Спросите, какой получился ответ, и вы немедленно назовете задуманное товарищем число, разделив названный ответ на 2.

Подумайте, почему так получается.

Вместо того чтобы умножать получающееся шестизначное число на 2, можно предложить умножить его на 3, 5, 10 и другие числа. Тогда для получения задуманного числа названное товарищем число придется делить соответственно на 3, 5, 10 и т. д.

Ответ: Приписывание к трехзначному числу такого же числа равносильно умножению этого трехзначного числа на 1001, а 1001 = 7*11*13.

Угадайте, сколько получится. Предложите своим товарищам: «Задумайте каждый какое-либо трехзначное число, но

обязательно такое, чтобы цифра сотен отличалась от цифры

единиц и не была бы на единицу меньше или больше ее. Напишите для задуманного числа обращенное, т. е. число, изображенное теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке. Из этих двух чисел (задуманного и обращенного) возьмите большее и вычтите из него меньшее. Для получившейся разности напишите снова обращенное число и вычислите сумму этой разности и обращенного для нее числа».

Когда все это будет сделано, предложите одному из своих товарищей к получившемуся у него числу прибавить 100, другому - 200, третьему - 300 и т. д.

Вы можете каждому из участвующих в игре сказать, какое именно число у него получилось. Для этого вам каждый раз нужно будет прибавлять к числу 1089 то число, которое вы просили прибавить в конце. Так, у первого должно получиться 1189, у второго 1289 и т. д.

Еще лучше будет, если вы эти числа заранее напишете на листочках бумаги, вложите эти листочки в конверты и на них напишете имена своих товарищей, участвующих в этой игре. Вам останется торжественно вручить эти конверты их адресатам. Постарайтесь понять, в чем тут дело, и потом объясните своим товарищам.

Ответ: Пусть задуманное число 100а + 10b + с и а> с. Обращенное число 100с + 10b + а и разность их 99а - 99с. Эта разность равна 100 (а - с - 1) + 90 + (10 - а + с), где а - с - 1 - число сотен, 10 - а + с - число единиц. Обращенное для разности число 100(10 - а + с) + 90 + а - с - 1. Сумма будет равна 100(а - с - 1) + 90 + (10 - а + с) + 100 (10 - а + с) + 90 + а - с - 1 = 100*9 + 180 + 9 = 1089.

Делимость на 11. Предложите товарищу написать на классной доске или бумаге любое многозначное число. К этому числу вы можете быстро приписать справа или слева одну цифру так, чтобы получившееся число разделилось на 11. Если, например, ваш товарищ напишет число 43 572, то вам нужно будет приписать справа или слева к этому числу 1. Получившееся число разделится на 11.

Знаете ли вы, какую цифру нужно приписать к числу, что бы получившееся после этого число делилось на 11? Чтобы разобраться в этом вопросе, воспользуйтесь признаком делимости на 11: на 11 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечетных местах, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо больше или меньше ее на число, делящееся на 11.

Прежде чем выступать с этим числовым фокусом, поупражняйтесь, а потом объясните его вашим товарищам.

Мгновенное суммирование. Пусть кто-нибудь из ваших товарищей молча запишет на доске разность двух чисел. Вычислять разность не нужно. Тот, кто записал первую разность, или другой должен будет далее написать новую разность так, чтобы вычитаемым во второй разности было уменьшаемое первой разности. Производить вычисления также не нужно. Затем записывается третья разность так, чтобы вычитаемое было равно уменьшаемому второй разности. Продолжая, можно записать на доске любое число таких разностей. Пока это делается, вам на доску смотреть не следует. Как только все разности будут записаны на доску, повернитесь к ней лицом, посмотрите на записи, и вы сразу же можете сказать, чему будет равна сумма всех записанных, но не вычисленных разностей. Для этого вам нужно будет из уменьшаемого последней разности вычесть вычитаемое первой разности. Пусть, например, на доске будут записаны такие разности: 340-80; 450-340; 620 - 450; 680 - 620; 700 - 680; 825 - 700; 900 - 825. Сумма всех этих разностей будет равна 900 - 80, т. е. 820. Пусть ваши товарищи проверят вас, вычислив каждую разность, а затем и сумму их. Конечно, можно записывать разности не только целых чисел, но обыкновенных и десятичных дробей, а также положительных и отрицательных чисел.

Почему так получается? Разберитесь сами и объясните товарищам.

Ответ: Пусть а - b - первая разность. Тогда вторая будет с - а, третья d - с, четвертая е - d и пятая f - е. Если ограничиться пятью разностями, то сумма их будет равна а - b + c - а + d - с + е - d + f - е = f - b

Удивительная память. Запишите заранее на классной доске или на листе бумаги 30 - 50, а можно и больше, многозначных чисел. При записи чисел нумеруйте их. Эти числа записывайте так. К номеру числа прибавьте 9, возьмите для получившегося числа обращенное. Это будет число миллионов. Дальше вычислите сумму цифр получившегося числа миллионов. Число единиц (только единиц) этой суммы даст число сотен тысяч. Чтобы найти число десятков тысяч, вычислите сумму двух последних цифр, т. е. числа миллионов и числа сотен тысяч, и возьмите опять только единицы этой суммы. Так же продолжайте дальше. Вот несколько примеров таких чисел, какие вы запишите. № 5 41561785; № 11 2246066; № 16 52796516. Подготовив все это, вы можете удивить своих товарищей замечательной памятью. Отвернитесь от доски и скажите товарищам, что вы запомнили все эти числа. Вам не поверят. Тогда предложите им проверить. Пусть кто-нибудь скажет вам номер числа. Вы, производя устно вычисления, будете читать число, как бы медленно вспоминая его. Делайте это так. Пусть вам назовут номер числа 32. Молча вычисляйте: 32 + 9 = 41, обращенное число 14, говорите: 14 миллионов, 1+4 = 5 - пятьсот, 4 + 5 = 9 - девяносто, 5 + 9 = 14 - 4 тысячи, 9 + + 4 = 13 - триста, 4 + 3 = 7 - семьдесят, 7 + 3 == 10 - единиц (14594370).

Угадайте возраст и дату рождения. Пообещайте своим товарищам угадать возраст и дату рождения каждого из них. Для этого заставьте каждого из них проделать следующие вычисления. Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Придется поступать так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая - число и третья - порядковый номер месяца рождения.

Разберитесь в «секрете» этого развлечения и объясните его товарищам.

Ответ: Пусть m - порядковый номер месяца рождения, t - число этого месяца и n - число лет. Тогда (((100m + t)2 + 8)5 + 4)10 + n + 4 = 10000m + 100t + n + 444.

Угадайте задуманное число. Приготовьте семь карточек. На первой из них напишите все числа, начиная от 1 до 100, через одно число, т. е. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99. На второй карточке напишите числа: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, ..., 98, 99. На третьей числа: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28,..., 92, 93, 94, 95. На четвертой- 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, ..., 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95. На пятой сначала напишите 16 последовательных натуральных чисел, начиная с 16, следующие 16 последовательных чисел, начиная с 32, не записывайте, затем запишите снова 16 чисел, начиная с 48, и т. д. На шестой сначала запишите 32 последовательных натуральных числа, начиная с 32, следующие 32 числа не записывайте и наконец припишите следующие числа с 96 до 100. На последующей карточке запишите все натуральные числа, начиная с 64 до 100.

Дайте вашему товарищу приготовленные таким образом карточки. Пусть он задумает какое-либо число от 1 до 100, выберет карточки, на которых это число записано. Только взглянув на эти карточки, вы можете угадать задуманное число. Для этого нужно найти сумму первых чисел, записанных на выбранных карточках. (Числа на карточках можно располагать в произвольном порядке, только нужно запомнить, какие места занимают первые числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.) Постарайтесь понять, почему так происходит.

Ответ: В основе этого развлечения лежит представление числа в двоичной системе счисления. Например, 2 в степени 3 = 2 в степени 4 + 2 в степени 2 + 2 в степени 1 + 2°. Такое представление единственно. Это число записано только на первой, второй, третьей и пятой карточках (см. показатели степеней). Значит, первые числа карточек - это те степени числа 2, которые входят в представление задуманного числа в виде суммы степеней 2 с разными показателями, (1 = 2°).

Любимая цифра. Спросите у ваших товарищей, кто какую цифру любит. Пусть один из них назовет вам цифру 4. Предложите ему 4 умножить на 9, а затем на получившееся произведение умножить число 12 345 679. В результате у него получится число 444 444 444, т. е. число, записанное с помощью только любимой им цифры. Если кто-нибудь скажет, что он любит 8, то предложите ему 8 умножить на 9, а затем умножить число 12 345 679 на получившееся произведение 72. У него получится число, записанное с помощью лишь любимой им цифры 8. Если же кто-нибудь назовет вам 0, то скажите, что 0, конечно, очень важная цифра, но лично вы ее недолюбливаете, и попросите назвать другую цифру.

Постарайтесь разгадать «секрет» этого развлечения и объясните его вашим товарищам.

Ответ: Используется равенство: 12 345 679*9 = 111111111

Как я узнаю? Номер дома, в котором вы живете, умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25, прибавьте к полученному произведению свой возраст (целое число ваших лет) и число 125. Скажите мне, какое у вас получилось число, и я назову вам номер дома, в котором вы живете, и сколько вам лет. Как я все это узнаю?

Ответ: Объяснение дает равенство: (4х + 7)25 + у +125 = 100 х + у + 300; х - номер дома, у - возраст.

Быстрое извлечение кубического корня. Пусть ваш товарищ возведет в куб какое-нибудь двузначное число и сообщит вам результат. Вы можете быстро узнать, какое именно число возводилось в куб (извлечь кубический корень). Для этого вам понадобится таблица кубов однозначных чисел: 1 в степени 3 = 1, 2 в степени 3 = 8, 3 в степени 3 = 27, 4 в степени 3 = 64, 5 в степени 3 = 125, б в степени 3 = 216, 7 в степени 3 = 343, 8 в степени 3 = 512, 9 в степени 3 = 729. Вам достаточно запомнить цифровое окончание каждого из правых чисел и соответствующее основание куба. Поступайте так. Названное вам число мысленно разделите на грани по 3 знака справа налево (левая грань может содержать и меньше трех знаков). По окончанию правой грани вы легко найдете цифру единиц искомого кубического корня. Цифра десятков корня находится по левой грани, с помощью таблицы кубов однозначных чисел. Приведем пример. Пусть товарищ назовет вам число 571 787. Последняя цифра этого числа 7, следовательно, число единиц корня 3. Левая грань у нас 571, но число 571 заключено между числами нашей таблицы кубов 512 и 729, поэтому десятков в искомом корне 8. Товарищ возвел в куб число 83.

Прежде чем показывать свое умение извлекать кубические корни, потренируйтесь.

Угадайте. Сделайте из картона два круга, как показано на рисунке 66. Радиус большего круга пусть будет 20 см, а меньшего - 8 см. Меньший круг наложите на больший и скрепите их так, чтобы меньший круг мог поворачиваться вокруг общего центра их. С помощью двух этих скрепленных кругов вы можете отгадать, какого писателя задумает ваш товарищ.

Делается это так. Товарищ должен задумать одного из писателей, фамилии которых записаны в секторах большего круга; затем посмотреть, какое число стоит против этой фамилии на меньшем круге, и повернуть меньший круг в направлении, указанном стрелкой, на столько делений (частичных секторов), каково это число. Какое положение занимает вначале меньший круг - безразлично. На сколько делений повернет ваш товарищ меньший круг, вам также не нужно знать.

Чтобы угадать задуманного писателя, вам достаточно будет взглянуть, какое положение займет меньший круг. Против фамилии задуманного писателя будет стоять всегда число 12. Постарайтесь разгадать «секрет» этих удивительных кругов.

Вот еще один вариант таких кругов: с их помощью вы можете узнать, какие виды спорта любят ваши товарищи

Ответ: Весь «секрет» в подборе чисел, характеризующих повороты меньшего круга. Разгадайте его.

Сколько братьев и сколько сестер? Вы можете узнать, сколько братьев и сколько сестер у вашего товарища. Пусть он прибавит к числу братьев 3, полученное число умножит на 5, к полученному произведению прибавит 20, сумму умножит на 2, прибавит число сестер и еще 5. По названному результату этих вычислений вы можете легко установить, сколько братьев и сестер у вашего товарища. Как вам это сделать?

Ответ: ((а + 3) 5 + 20)* 2 + b + 5 = 10а + b + 75, а - число братьев, b - число сестер.

Угадайте задуманный час. Воспользуйтесь картонной моделью циферблата часов. Пусть ваш товарищ задумает, который час (1, 2, 3, .... 12). Объясните, что вы указкой будете показывать числа на циферблате. Каждый раз ваш товарищ должен прибавлять сначала к задуманному им часу единицу, затем к получившейся сумме единицу и так далее. Когда у него получится 20, он должен сказать «стоп». В этот момент ваша указка должна показать задуманный товарищем час. Чтобы это случилось, поступайте так. Первые 7 раз показывайте какие угодно числа на циферблате часов. В восьмой раз покажите 12, а дальше показывайте по порядку 11, 10, 9 и так далее. Найдите объяснение.

Нестандартные задачи по математике для 4 класса

1. Сколько разных нарядных костюмов у Андрея, если у него три пары нарядных брюк, два нарядных пиджака и два нарядных галстука и все эти предметы подходят друг другу?

Решение. К любой паре брюк можно подобрать любой из двух пиджаков и любой из двух галстуков. То есть к любой паре брюк можно подобрать четыре варианта "пиджак + галстук". А так как пар брюк имеется 3, то всего нарядных костюмов 12. Желательно начертить на доске такое дерево возможностей:

А еще лучше сделать такой рисунок.

2. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?

Решение. Разделим монеты на три группы: 9, 9 и 2 монеты. Первое взвешивание – сравниваем вес первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей группы, и мы вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче, – фальшивая. Если в первом взвешивании одна из групп окажется легче, то фальшивая монета в ней. Делим эту группу на три группы по три монеты. Вторым взвешиванием устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую монету в этой тройке.

3. Продолжи последовательность: 8, 6, 10, 6, 12, 6, ... .

Решение. Все четные члены последовательности равны 6, а все нечетные получаются прибавлением числа 2 к предыдущему нечетному члену.

Ответ: 8, 6, 10, 6, 12, 6, 14, 6, 16, 6, ... .

4. Разгадай ребус: 5* + **3 = **01.

Решение. Достаточно записать пример в столбик, и решение будет очевидным.

Ответ: 58 + 943 = 1001.

5. В одной бочке 50 л жидкого дегтя, в другой – 50 л жидкого меда. Ложку дегтя переливают в бочку меда, а потом ложку полученной смеси переливают в бочку дегтя. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде?

Решение. Это задача на тему поговорки "Ложкой дегтя можно испортить бочку меда". Но интересна она не этим, а тем, что даже взрослые люди часто дают на нее неверный ответ: дегтя в меде больше, так как дегтя перелили целую ложку, а меда перелили не целую ложку (ложку, в которой был также и деготь). После того как будут выслушаны разные ответы, нужно дать такое решение задачи.

В результате переливаний в первой бочке оказалось х миллилитров меда. Так как в ней всего 50000 мл, то дегтя в ней 50000 – х миллилитров. Во второй бочке осталось поэтому 50000 – х миллилитров меда. Значит, дегтя в ней тоже х мл.

И сопроводить решение таким рисунком:

Довод в пользу неверного ответа, который казался таким убедительным, теперь легко опровергнуть: во время второго переливания часть дегтя вернули обратно.

Ответ: поровну.

6. В двух кучах лежат камни. Двое играющих по очереди берут из любой кучи произвольное число камней. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число камней в кучах. Если один игрок уравняет их, то другой обязательно нарушит это равенство и т.д. Число камней все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число камней в кучах, доведет это равенство до 0–0, то есть выиграет.

Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Камни для этого иметь необязательно. Можно просто написать на доске:

В первом случае надо начинать первым, забирая из второй кучи 8 камней (уравнивая кучи). Во втором случае надо предоставить первый ход противнику и каждым своим ходом уравнивать кучи.

Ответ: Если число камней в кучах одинаково, нужно предоставить первый ход партнеру, а если неодинаково – начать игру, уравнивая число камней в кучах.

7. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь четыре" зашифруй фразу "Век живи – век учись".

Решение. Как мы писали в аналогичной книге для третьеклассников, шифр Юлия Цезаря состоит в следующем. Алфавит пишется по кругу (за буквой я следует буква а), и каждая буква шифруемой фразы заменяется другой, следующей за ней (или перед ней) на определенное число букв. Шифр "прибавь четыре" означает, что каждую букву фразы "век живи – век учись" нужно заменять четвертой от нее буквой.

Ответ: Ёио кмём – ёио чымха.

8. Известно, что a + b = 7. Чему равно (а + 8) + b?

Решение. Задачу можно изложить, например, так. У Вовы в двух карманах было 7 рублей. Он положил в левый карман еще 8 рублей. Сколько теперь у него денег в обоих карманах?

9. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным (это можно сделать двумя способами):

Решение. Надо воспользоваться тем, что в римской нумерации XI – это 11, а IX – это 9.

Ответ: 1-й способ

2-й способ

10. Друзья при прощании обменялись фотографиями. Фотографий понадобилось 20. Сколько было друзей?

Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то фотографий понадобилось бы всего две. Если бы их было трое, то понадобилось бы шесть фотографий, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из следующего рисунка видно, что фотографий нужно 12. А если друзей пятеро, то фотографий нужно 20 (см. последний рисунок). Можно рассуждать и более квалифицированно: каждый должен подарить на одну фотографию меньше, чем всего имеется друзей. Произведение двух последовательных чисел равно 20, если большее из чисел равно 5.

11. У Кати вдвое больше пятерок, чем у Вовы, а у него на 6 пятерок меньше, чем у Кати. Сколько пятерок у Вовы?

Решение. Эту задачу можно решить арифметически, а можно с помощью уравнения. Если в классе есть дети, которые могут сразу решить эту задачу, нужно попросить их придумать, как объяснить решение остальным. Это относится и к арифметическому, и к алгебраическому решению.

Арифметическое решение подсказывается рисунком:

Сразу видно, что у Вовы 6 пятерок, а у Кати их 12.

Может показаться, что если задача решается так просто, то это значит, что не нужно ее решать другим способом. Однако именно на легких задачах можно научиться новому методу решения. Данная задача очень для этого удобна. Мы вызываем к доске ученика и просим начать записывать уравнение. Что можно записать? Конечно, знак равенства:

Этим самым начат поиск следующих шагов: что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 6? Дописываем:

Многие догадаются, что шести равна разность числа Катиных и числа Вовиных пятерок. И мы так и запишем:

(число Катиных пятерок) – (число Вовиных пятерок) = 6.

Получилось уравнение. Но в нем слишком много неизвестных – два. Хорошо бы выразить эти неизвестные через один и тот же х. Кстати, вспоминаем, что спрашивается в задаче. И приходим к мысли обозначить через х именно эту величину:

(число Катиных пятерок) – х = 6.

Теперь уже многие догадаются, что число Катиных пятерок равно 2х, и уравнение примет вид:

12. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.

13. Известно, что a + b = 12. Чему равно а + (b + 5)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему (см. например, задачу 8).

14. У Саши втрое больше марок с портретами русских писателей, чем у Пети, а у него на 4 таких марки меньше, чем у Саши. Сколько таких марок у Пети?

Решение. Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Саши 6 таких марок, а у Пети их 2.

Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:

Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 4? Дописываем:

Многие догадаются, что четырем равна разность числа Сашиных и числа Петиных марок:

(число Сашиных марок) – (число Петиных марок) = 4.

«Серия «МГУ-школе» основана в 1999 году Потапов М. К. П Математика. Методические рекомендации. 5 класс: пособие для...»

-- [ Страница 4 ] --

694. а) Даны разложения чисел а и b на простые множители. Найдите НОД (а, b) и НОК (а, b): а = 23 34 5, b = 24 35 52.

Решение. НОД (а, b) = 23 34 5; НОК (а, b) = 24 35 52.

699. Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая - 28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать?

Решение. Так как НОК (16, 28) = 112, то первая шестерёнка должна сделать 112: 16 = 7 оборотов, а вторая шестерёнка - 112: 28 = 4 оборота.

Ответ. 7 оборотов и 4 оборота.

Промежуточный контроль. ДМ. С–12.

Дополнения к главе 3

1. Использование чётности при решении задач В данном пункте учебника рассмотрены решения задач, в которых используется идея чётности чисел. Здесь рассмотрена задача о рисовании так называемых уникурсальных фигур (которые рисуются без отрыва карандаша от бумаги).

Решения и комментарии

701. Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых - нечётные числа. Не ошибается ли он?

Решение. Ошибается, так как если произведение натуральных чисел нечётное, то все эти четыре числа нечётные, тогда их сумма должна быть чётной.

702. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?

Решение. Если рвать лист на 7 или 9 частей, то число кусков бумаги будет увеличиваться на 6 или на 8, т. е. на чётное число. Если к нечётному числу 9 прибавить несколько раз чётное число, то получится нечётное число. Число 100 получить невозможно. Поэтому имея 9 кусков (листов) бумаги и увеличивая их число на 6 или на 8, невозможно получить 100 кусков бумаги.

703. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных числа?

Решение. Прибавляя по 1 сразу к двум числам, мы на 2 увеличиваем первоначальную нечётную сумму 0 + 0 + 0 + 1 = 1. В результате каждой такой операции получится нечётное число. Четыре одинаковых числа (т. е. чётную сумму) получить невозможно.

711. Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возможных маршрутов (рис. 37).

Решение. Среди залов музея есть только два - 5-й и 8-й, имеющие нечётное число дверей. Следовательно, начать эксурсию в соответствии с условиями задачи можно в одном из них, а закончить в другом. В остальных залах чётное число дверей - они будут пройдены по одному разу, а 6-й и 7-й залы (в которых по 4 двери) - два раза. Возможный маршрут: 5, 1, 2, 6, 5, 9, 10, 6, 7, 11, 12, 8, 4, 3, 7, 8.

2. Исторические сведения В данном пункте учебника приведены сведения о простых числах, о решете Эратосфена, «формула» простых чисел Л. Эйлера, сформулированы некоторые решённые и нерешённые задачи, связанные с простыми числами.

3. Занимательные задачи Решения и комментарии

714. а) Почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа?

б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10 000 первых натуральных чисел?

Решение. а) Когда среди первых 100 натуральных чисел вычеркнули те, которые кратны простым числам 2, 3, 5, 7, вычеркнутыми оказались числа, кратные натуральным числам от 2 до 10. При этом в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 10, есть 11 11 = 121, но оно больше 100 и в таблице его нет.

б) Если чисел будет 150, то «просеивание» надо остановить на простом числе 11, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 12, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 12, есть 13 13 = 169, но оно больше 150 и в таблице его нет.

Если же чисел будет 10 000, то «просеивание» надо остановить на простом числе 97, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 100, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 100, есть 101 101 = 10 201, но оно больше 10 000 и в таблице его нет.

715. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел:

П2 + п + 41. Для любых ли натуральных п число Р простое?

Решение. Нет. Для простого числа 41 число Р = 412 + 41 + 41 делится на 1, на 41 и на Р, т. е. число Р составное.

718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Решение. Сначала надо убедиться, что получаемая разность всегда будет делиться на 9. Пусть дано трёхзначное число abc = 100a + 10b + c. Переставим цифры этого числа, например, так: bca = 100b + 10c + a. Если первое число больше второго, то их разность abc – bca = 100a + 10b + c – 100b – 10c – a = 99a – 90b – 9c - натуральное число, оно делится на 9. При других перестановках цифр разности 100a – a, 100a – 10a, 10a – a и др. делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9.

Теперь зачёркнутую цифру легко определить, так как сумма цифр разности должна делиться на 9.

Например, если задумали число 347, после перестановки цифр получили 473, тогда разность 473 – 347 = 126. Сумма цифр 1 + 2 + 6 делится на 9, а если зачеркнуть, например, 1, то сумма незачёркнутых цифр 2 + 6 = 8. Так как до ближайшего числа, кратного 9, не хватает 1, то зачёркнутая цифра 1.

721. Старший брат выписал из справочника число 15! (см. задачу 719), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось (рис. 38).

–  –  –

727. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 39). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо;

при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее? Решите задачу: а) для четырёх колец; б) для пяти колец.

Решение. Это пример задачи, имеющей большой воспитательный потенциал. На её примере можно показать, как математики решение следующей задачи умеют сводить к уже решённой.

Сначала решим задачу для двух колец. Очевидно, что пирамиду из двух колец можно перенести за три хода.

Чтобы перенести пирамиду из трёх колец, сначала перенесём на свободный штырёк пирамиду из двух колец. Для этого требуется 3 хода. Перенесём нижнее кольцо на свободный штырёк. Наконец, опять за три хода перенесем пирамиду из двух колец на тот штырёк, где уже находится большее кольцо. Пирамиду из трёх колец можно перенести за 3 + 1 + 3 = 7 ходов.

а) Рассуждая аналогично, пирамиду из четырёх колец перенесём за 7+1 + 7 = 15 ходов.

б) Пирамиду из пяти колец перенесём за 15 + 1 + 15 = 31 ход.

Глава 4. Обыкновенные дроби В этой главе изучаются в полном объёме обыкновенные дроби по плану, намеченному в главе 1.

Важно, чтобы каждый учащийся понял, что действия с обыкновенными дробями сводятся к нескольким действиям с натуральными числами. Здесь снова вводятся элементы доказательных рассуждений при изучении теоретического материала, а также решение текстовых задач арифметическими способами.

Цели изучения главы:

Сформировать у учащихся осознанные умения выполнять арифметические действия над обыкновенными дробями;

Продолжить развитие языка и логического мышления учащихся при изучении теоретического материала и при решении текстовых задач арифметическими методами.

4.1. Понятие дроби

В данном пункте учебника вводятся понятия обыкновенной дроби (коротко:

дроби), её числителя и знаменателя, рационального числа. Отмечается, что любое натуральное число считается дробью со знаменателем 1. Первый пункт нацелен на формирование понятия дроби и подготовки учащихся к изучению сравнения дробей и арифметических действий с ними. Здесь решаются простейшие задачи на дроби, ведётся подготовка к решению задач на совместную работу. Поэтому надо особенно внимательно отнестись ко всем заданиям пункта, даже если они кажутся простыми. Однако подводить учащихся к формулировкам правил решения таких задач рано, это можно будет сделать при изучении пункта 4.3. А пока главным объектом изучения является дробь, задачи лишь помогают лучше понять, что показывают её числитель и знаменатель.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 269–281.

Решения и комментарии

745. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете?

–  –  –

Решение. Путник пройдёт весь путь за 5 ч.

749. а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час?

–  –  –

сокращения дроби и несократимой дроби.

Обратим внимание, что эти разъяснения, данные для длин отрезков (можно было бы дать их для кругов, тортов и т.п.), не доказывают основное свойство дроби, а только иллюстрируют его. Тот факт, что дробь есть частное её числителя и знаменателя, устанавливается пока для того случая, когда числитель дроби делится нацело на знаменатель. Учащимся можно сказать, что позднее (после изучения деления дробей) будет доказано, например, что = 2: 3, поэтому дробь иногда читают «2, делённое на 3». Пытаться проиллюстрировать этот факт, например, с помощью двух яблок, которые хотят разделить на 3 равные части, сейчас не стоит, так как в данный момент ещё не известно, что есть результат деления натурального числа 2 на натуральное число 3. Рассуждения с яблоками можно рассматривать лишь как мотивацию предстоящего доказательства равенства 2: 3 =.

Заметим, что при сокращении дробей на первых порах лучше записывать числитель и знаменатель в виде произведения двух чисел (см. решение задания 775), затем делить числитель и знаменатель на их общий множитель. Такая запись позволяет донести до ученика суть выполняемого действия. Торопить переход ученика к свёрнутой записи сокращения дроби не следует, он сам её освоит, как только во всём разберётся. При этом не надо стремиться к поиску наибольшего общего делителя числителя и знаменателя, пусть ученик сокращает дробь поэтапно. Желание экономить время в конце концов заставит его сокращать числитель и знаменатель дроби на возможно больший множитель.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 282–289.

Решения и комментарии

775. а) Сократите дробь.

Решение. 3 = = = =.

4.3. Задачи на дроби По способам действия задачи, решаемые в данном пункте учебника, знакомы учащимся. Они уже решали такие задачи, знакомясь с понятием дроби.

Но в данном пункте они воспринимаются учащимися уже как объект изучения.

Для однотипных задач (найти часть целого…, найти целое по его части…) рассматриваются общие способы решения, формулируются правила их решения.

Задачи расположены по нарастанию сложности. Если задачи 776 и 777 на нахождение части числа, то следующие задачи для своего решения требуют дополнительных действий (чтобы узнать, сколько всего, сколько осталось и т. п.).

Если учащиеся испытывают затруднения в решении задач, то можно посоветовать им рисовать схематические рисунки, чтобы понять условие задачи и наметить свои действия для её решения. Здесь они могут опираться на умения рисовать отрезок, его часть, выраженную данной дробью и т. п.

Задания 788–790 на увеличение (уменьшение) данного числа на указанную его часть готовят учащихся к решению аналогичных задач на проценты (6 класс).

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 296–303.

Решения и комментарии

777. а) На ветке сидели 12 птиц; из них улетели. Сколько птиц улетело?

Решение. На примере этой задачи покажем применение схематического рисунка. Находим от 12 птиц. Эту величину изобразим отрезком (рис. 40).

–  –  –

4 2 = 8 (птиц).

Можно объединить эти два действия, записав решение задачи с помощью числового выражения:

12: 3 2 = 8 (птиц) - улетели.

Ответ. 8 птиц.

780. б) В коллекции 45 юбилейных рублёвых монет. Число трёх- и пятирублёвых монет составляет числа рублёвых монет. Сколько всего юбилейных монет достоинством в один, три и пять рублей в коллекции?

Решение. Здесь учащихся будет сбивать тот факт, что нельзя отдельно определить число трёх- и пятирублёвых монет в отдельности.

1) 45: 9 2 = 10 (монет) - число трёх- и пятирублёвых монет;

2) 45 + 10 = 55 (монет) - в один, три и пять рублей.

Ответ. 55 монет.

781. а) 12 р. составляют имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?

–  –  –

из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?

1) 48 000: 8 = 6000 (р.) - жене;

2) 48 000 – 6000 = 42 000 (р.) - детям;

3) 2 + 2 + 2 + 1 = 7 (частей) - приходится на 42 000 р.;

4) 42 000: 7 = 6000 (р.) - дочери;

5) 6000 2 = 12 000 (р.) - каждому сыну.

Ответ. 6000 р., 6000 р., 12 000 р., 12 000 р., 12 000 р.

791. Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н. э.). Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

Я привожу две трети от трети скота.

Сколько быков в стаде?

Решение. Начнём с замечания, что в те давние годы египтяне ещё не знали дробей, кроме аликвотных (имеющих в числителе единицу) и дроби. Только для таких дробей у них были соответствующие обозначения в виде иероглифов.

Поэтому дробь выражена в задаче как «две трети от трети».

–  –  –

2) 25: 5 11 = 55 (км) - длина дороги.

Ответ. 55 км.

303(РТ). Туристы проплыли на байдарках 125 км, и им осталось проплыть длины всего маршрута. Какова длина маршрута?

–  –  –

2) 125: 25 32 = 160 (км) - длина маршрута.

Ответ. 160 км.

Промежуточный контроль. ДМ. С–13.

4.4. Приведение дробей к общему знаменателю В данном пункте учебника вводятся понятия: общий знаменатель, приведение к общему знаменателю, дополнительный множитель. Умение приводить дроби к общему знаменателю лежит в основе сравнения, сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Поэтому это умение должно быть надёжно сформировано.

Прежде всего, отметим, что приведение дробей к наименьшему общему знаменателю не является обязательным требованием, поэтому отыскание НОК числителя и знаменателя не является обязательным элементом решения этой задачи. Другое дело, что решение без приведения дробей к наименьшему общему знаменателю может оказаться неэкономным и потребует сокращения полученных дробей. В примере 1 показано приведение дробей и к знаменателю 8 12 =

Для поиска наименьших дополнительных множителей двух дробей можно предложить учащимся такое решение (вычисления в простых случаях выполняются устно, а в сложных - на черновике). Разделим знаменатели 8 и 12 на их общий делитель 4, получим 2 и 3 соответственно. Так как 2 и 3 - взаимно простые числа, то 2 - дополнительный множитель второй дроби, а 3 - дополнительный множитель первой дроби.

При записи приведения дробей к общему знаменателю рекомендуем преобразование каждой дроби писать в отдельной строке:

–  –  –

перехода к следующему этапу рассуждения, что в дальнейшем будет приводить к ошибочным записям решений при сравнении дробей. Образец правильной записи решения приведён в задании 290 (РТ).

В простых случаях наименьший общий знаменатель двух дробей можно искать так. Разделить больший знаменатель на меньший. Если деление выполняется нацело, то делимое и есть наименьший общий знаменатель двух дробей. Если нет, то больший знаменатель умножают на 2, 3, 4, 5, …, проверяя каждый раз, делится ли произведение на второй знаменатель. Как только произведение разделится на второй знаменатель, то оно и есть наименьший общий знаменатель двух дробей.

В приведённом выше примере 12 не делится на 8, а 12 2 = 24 делится на 8, 24: 8 = 3 - дополнительный множитель первой дроби, а 2 - дополнительный множитель второй дроби.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задание 290.

–  –  –

Замечание. Можно ограничиться доказательством для дробей с одинаковым числителем 1 (если обе дроби имеют одинаковые числители k, то из неравенства m n следует неравенство mk nk, но это свойство неравенств в учебнике не доказано). Если учащиеся класса ещё не готовы к восприятию доказательства в общем виде, то можно отметить, что та дробь, у которой знаменатель меньше, получит больший дополнительный множитель, поэтому после приведения дробей к общему знаменателю из неё получится большая дробь.

816. В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби и. Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньше:. Следовательно, вторая дробь больше:.

–  –  –

Промежуточный контроль. ДМ. С–15.

4.6. Сложение дробей В данном пункте учебника вводятся правила сложения для дробей с общим знаменателем и дробей с разными знаменателями.

Обратим внимание на то, что если знаменатели двух дробей - взаимно простые числа, то общим знаменателем этих дробей будет произведение их знаменателей и сложение дробей выполняется по формуле p r ps + rq +=. (1) qs qs Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами (имеют общий делитель, отличный от 1), то по формуле (1) также можно получить верный ответ, но полученная дробь обязательно будет сократимой.

Мы не считаем необходимым требовать от слабого ученика приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, но если он вычисляет сумму по формуле (1), то должен не забывать сокращать полученную дробь.

Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами, то при отыскании общего знаменателя этих дробей можно поступать разными способами. Покажем это на примерах.

4/ 5/ 2) + = + =.

В первом случае один знаменатель делится на другой и является общим знаменателем этих дробей, дополнительный множитель первой дроби находим делением: 24: 3 = 8.

Во втором случае для нахождения общего знаменателя данных дробей можно убедиться, что 30 не делится на 24, 30 2 = 60 не делится на 24, 30 3= = 90 не делится на 24, а 30 4 = 120 делится на 24 и 120: 24 = 5 - дополнительный множитель второй дроби, а 120: 30 = 4 - дополнительный множитель первой дроби.

Но можно начать с отыскания дополнительных множителей дробей.

Разделим знаменатели дробей 30 и 24 на их общий делитель 2, получим числа 15 и 12. Теперь разделим числа 15 и 12 на их общий делитель 3, получим 5 и 4 - взаимно простые числа. Они и являются дополнительными множителями данных дробей. Если ученик сразу заметит, что 30 и 24 имеют общий делитель 6, то он быстрее придёт к нужному результату. Чтобы этим вычислениям добавить опору на зрительное восприятие, можно в сторонке или под знаменателями данных дробей делать запись, необходимость в которой после достаточной тренировки отпадёт. Числа 15, 12, 5 и 4 удобно писать на черновике, приложенном под знаменатели написанных дробей (рис. 42).

–  –  –

Обратим внимание, что применение законов сложения и сокращения дробей позволило приводить дроби к знаменателю 120, а не 360.

860. Отпили полчашки чёрного кофе и долили ее молоком. Потом отпили чашки и долили её молоком. Потом отпили чашки и долили её молоком.

Наконец, допили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока?

Решение. При решении этой задачи учащиеся часто путаются в ненужных промежуточных подсчётах. Надо посоветовать им подсчитать, сколько молока

–  –  –

Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами (имеют общий делитель, отличный от 1), то по формуле (1) также можно получить верный ответ, но полученная дробь обязательно будет сократимой.

Мы не считаем необходимым требовать от слабого ученика приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, но если он вычисляет разность по формуле (1), то он должен не забывать сокращать полученную дробь.

Обратим внимание на задание 870, где требуется найти число x, для которого верно равенство. В учебнике такие задания не формулируются как задания на решение уравнений, так как уравнения будут изучаться позже, но если учащиеся класса владеют терминами «корень уравнения», «решить уравнение», если они решали в начальной школе многоходовые задания по поиску корня уравнения (например, такого 98 – (49 – x) = 50), то аналогичные задачи можно давать сильным учащимся и для дробей. Только следует иметь в виду, что использовать шесть правил нахождения компонентов арифметических действий (неизвестного слагаемого, …) имеет смысл лишь для развития речи учащихся, а с точки зрения решения уравнений они находят применение на короткое время - до изучения правил раскрытия скобок, правила переноса слагаемого в другую часть уравнения с противоположным знаком. Поэтому увлекаться заданиями такого рода и перегружать ими слабых учащихся не следует.

Что касается текстовых задач, то они усложняются: в одних случаях для решения задачи придётся из единицы вычитать дробь, в других - к единице прибавлять дробь. Часто лучшему восприятию условий задачи помогают схематические рисунки. Делать их полезно, но не обязательно, если ученик и без рисунка справляется с задачей.

Задание 881 готовит учащихся к решению задач на совместную работу.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 308–311.

–  –  –

второй день оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?

г) Сейчас у Васи в коллекции 200 марок. Известно, что за последний год число марок в коллекции увеличилось на. Сколько марок было в коллекции год

–  –  –

2) 6: 3 10 = 20 (р.) - стоит 1 м тесьмы.

Ответ. 20 р.

882. Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

–  –  –

совместной работы.

Ответ. часть бассейна.

4.10. Законы умножения. Распределительный закон В данном пункте учебника вводятся переместительный и сочетательный законы умножения и распределительный закон для дробей. Обратим внимание на то, что два первых закона доказываются для конкретных дробей, но так, что если вместо чисел в числителях и знаменателях поставить буквы, то получится их полное доказательство со ссылкой на соответствующие законы для натуральных чисел и правило (определение) умножения дробей. Распределительный закон доказан в общем виде для дробей, приведённых к общему знаменателю. Первые два закона сильные учащиеся также могут доказать в общем виде.

В учебном тексте не упоминается терминология, применяемая при использовании распределительного закона: «раскроем скобки, применяя распределительный закон», «вынесем общий множитель за скобки», но при выполнении заданий учитель должен её активно использовать и просить учащихся комментировать свои действия при выполнении заданий, применяя эту терминологию.

Отметим, что изучение законов умножения для дробей даёт учителю дополнительные возможности для усиления мотивации учения, так как на нескольких выигрышных примерах можно показать, что не владея этими законами, ученик обречён на долгие и, возможно, ошибочные вычисления, а применение законов позволяет ему в ряде случаев проводить вычисления устно (задание 919 и др.). Однако начинать вычисления с использованием законов надо с подробной записи всех шагов, чтобы исключить их непонимание.

Решения и комментарии Вычислите, используя законы умножения (918–919).

–  –  –

921. Дано выражение.

а) Каким натуральным числом надо заменить букву a, чтобы можно было устно найти значение этого выражения?

б) Какое натуральное число a можно взять, чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем13? со знаменателем17? натуральным числом? нулём?

Решение. Очевидно, что если вместо a подставить любое число, то значение выражения не всегда можно вычислить устно.

Вынесем общий множитель за скобки:

–  –  –

для обсуждения и проверки понимания усвоенного теоретического материала.

Можно спросить учащихся, верный ли ответ получился в результате. Как это проверить? Учащиеся обычно предлагают перемножить частное и делитель - дроби и. В результате получится. Учащихся можно спросить, во всех ли случаях удобно пользоваться таким приёмом вычисления. А в каких удобно? Дети ответят: в тех случаях, когда числитель первой дроби делится на числитель второй, и знаменатель первой дроби делится на знаменатель второй. Очевидно, что такие обсуждения улучшают понимание теоретического материала и развивают мышление учащихся. Рассмотрим примеры.

937. г) Вычислите: :.

Решение. Заменим деление на умножением на обратную дробь и

–  –  –

Замечание. В рассмотренных примерах большого упрощения вычислений не получилось, но польза для учащихся от такой работы несомненна.

Промежуточный контроль. ДМ. С–17.

4.12. Нахождение части целого и целого по его части В данном пункте учебника вводится новый способ решения задач на дроби, связанный с умножением (делением) на дробь. При решении задач можно использовать схематические рисунки, чтобы наглядно показать величину, от которой находят часть, саму эту часть, что известно и что требуется найти.

Использование рисунков особенно эффективно при решении более сложных задач, в которых требуется находить часть не только от данного числа, но и от остатка.

Для успешного решения задач, в которых дана часть неизвестного числа, полезно показать, почему то число, часть которого выражена дробью, удобно принимать за единицу (см. решение задачи 944).

Решения и комментарии этой суммы.

944. а) Уменьшите 900 р. на

б) Увеличьте 150 р. на этой суммы.

Решение. а) 1) 900 = 300 (р.) - на такую сумму уменьшили 900 р.;

–  –  –

решения задач на совместную работу с помощью уравнения с неизвестным в знаменателе.

В предыдущих пунктах учебника уделено достаточно внимания подготовке учащихся к решению задач данного типа.

В учебнике приведены способы решения задач на совместную работу с помощью дробей - это должен быть основной способ решения задач такого типа.

Однако для развития мышления учащихся полезно рассматривать и другие способы. Поэтому для задачи про кадь пития в учебнике приведён ещё и старинный способ решения - без дробей. В сильном классе можно показать третий способ решения той же задачи.

Старинная задача. Муж выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, за сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.

Решение. «Работая» с мужем, жена выпивает за 10 дней столько пития, сколько муж выпивает за 14 – 10 = 4 дня, значит, жена в день выпивает в 10: 4 раза меньше, чем муж, поэтому на всю кадь она затратит времени в раза = больше, чем муж, т. е. 14 = 35 дней.

–  –  –

Промежуточный контроль. ДМ. С–21.

4.15. Сложение смешанных дробей В данном пункте учебника рассматривается операция сложения смешанных дробей, сводящаяся к отдельному сложению целых и дробных частей. При этом подразумевается, что результат сложения должен быть записан в виде смешанной дроби или целого числа.

Отметим, что любое натуральное число и любую правильную дробь обычно не называют смешанными дробями. Однако при сложении (а в дальнейшем и при вычитании) удобно считать, что у каждого натурального числа целая часть есть само это число, а дробная часть есть нуль, а у каждой правильной дроби целая часть есть нуль, а дробная часть есть сама эта дробь. Тогда складывать натуральные числа и правильные дроби со смешанными дробями можно по правилу сложения смешанных дробей: 1 + 1 1 = 2 1 ; 21 + 1 =2.

–  –  –

При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь.

15 + 28 = 3 + = 3 + 14 = 44.

–  –  –

4.16. Вычитание смешанных дробей В данном пункте учебника рассматривается операция вычитания смешанных дробей, сводящаяся к отдельному вычитанию целых и дробных частей. Сначала можно рассмотреть лишь случаи вычитания из смешанной дроби целого числа, затем дроби, потом смешанной дроби (с общим знаменателем).

Только когда учащиеся освоят эти действия, задания можно усложнить, рассматривая дроби с разными знаменателями.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то вычисления усложняются.

В этом случае в учебнике принята запись, как в следующем примере:

–  –  –

4 4 – 2 8 = 3 13 – 2 8 = 1 5.

Возможна и другая запись вычитания:

44 – 28 = 24 – 8 8 =15.

–  –  –

Промежуточный контроль. ДМ. С–22.

4.17. Умножение и деление смешанных дробей В данном пункте учебника вводятся операции умножения и деления смешанных дробей, выполняемые с помощью записи каждой смешанной дроби в виде неправильной дроби (основной прием вычисления). Вместе с тем в учебнике рассмотрены примеры упрощения вычислений с помощью распределительного закона в особых случаях. Для всех таких случаев в учебнике проведены подробная и краткая записи вычислений.

Добавим ещё один пример применения распределительного закона.

Найдём значение числового выражения: 13 7 9 11 – 12 7 9 11.

Если выполнять вычисления, применяя основной приём, то эта работа потребует много сил и времени. Если же заметить, что общий множитель 9 11 можно вынести за скобки, а разность в скобках окажется равной единице, то вычисления можно выполнить устно.

–  –  –

3) : = = 4) 2 – 1 =1+ –1 = ;

17 12 = 17 12 ;

48 = 5) = 6) = = = = 5;

9) : = = = = = 8;

10) 1 7 + 8 = 9 7.

–  –  –

рациональных точек, среднего арифметического нескольких чисел, определяется расстояние между точками, координата середины отрезка, показано, что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна точка.

Заметим, что для изображения на координатном луче неправильной дроби лучше выделить её целую часть.

Решения и комментарии

1036. а) Найдите координаты точек, делящих отрезок АВ на три равные части: А (5), В (9 1).

Решение. Пусть точки М (a) и N (b) делят отрезок АВ на три равные части, а точка O (0) - начало отсчёта (рис. 48).

–  –  –

1041. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год.

Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся игроков оказался равным года. Сколько лет игроку, получившему травму?

Решение. Сумма возрастов всех игроков команды равна 21 11 = 231 год.

Сумма возрастов оставшихся на поле игроков равна 20 4 10 = 208 лет. Значит, возраст игрока, получившего травму, равен 231– 208 = 23 года.

1042. Дети спросили своего учителя математики:

Сколько лет учителю математики?

Решение. Сумма возрастов всех учащихся класса равна 32 10 1 = 336 лет.

Сумма возрастов всех учащихся и их учителя математики равна 11 33 = = 363 года. Значит, возраст учителя математики равен 363 – 336 = 27 лет.

4.19. Площадь прямоугольника. Объём прямоугольного параллелепипеда В данном пункте учебника на конкретных примерах показывается, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле a b, где a и b - длина и ширина прямоугольника, выраженные рациональными числами, а объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле a b c, где a, b и c - измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные рациональными числами.

Решения и комментарии

1048. Сколько банок краски потребуется для покраски железной крыши дома, если содержимого одной банки хватает на покраску 10 м2 поверхности?

(Размеры крыши указаны на рисунке 50.) Решение. 1) 2 3 7 = 42 (м2) - площадь поверхности крыши;

–  –  –

Следовательно, потребуется 5 банок краски.

Ответ. 5 банок.

1049. Необходимо покрыть кафельной плиткой пол, имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется, если в каждом ящике 50 плиток?

Решение. 4 м 50 см = 450 см, 2 м 40 см = 240 см.

1) 450: 15 = 30 (плиток) - укладывется в один ряд в длину;

2) 240: 15 = 16 (рядов) - укладывется в ширину;

3) 30 16 = 480 (плиток) - потребуется всего.

4) 480: 50 = 9 3 (ящиков) - плитки потребуется.

–  –  –

Ответ. а) За 3 ч; б) за 6 ч.

Разумеется, в этом решении применяются, по сути дела, действия с алгебраическими дробями, которые изучаются в курсе 7 класса. Но учащиеся понимают суть выполняемых действий, так как для них это ещё не алгебраические дроби, а обыкновенные дроби, в которых числителем служит известное, но не названное число (расстояние между пунктами А и В, выраженное в указанных единицах). Поэтому такое «забегание» вперёд можно считать оправданным, оно готовит учащихся к изучению алгебры.

РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 344–348.

Решения и комментарии

1062. Расстояние между пристанями А и В на реке плот проплывает за 15 мин, а катер проплывает расстояние АВ против течения реки за 30 мин. За сколько минут катер проплывёт расстояние АВ: а) по озеру; б) по течению реки?

Решение. 1) 1: 15 = (расстояния) - проплывает плот за 1 мин по

–  –  –

течению реки.

Ответ. а) За 10 мин; б) за 6 мин.

1066. а) Теплоход от Киева до Херсона идёт трое суток, а от Херсона до Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?

Решение. I способ.

–  –  –

Ответ. 24 дня.

Замечание. Использование «вспомогательного неизвестного x» упрощает пояснения к выполняемым действиям в решении задач рассматриваемого типа и готовит учащихся к изучению алгебры.

Промежуточный контроль. ДМ. С–24.

2. Исторические сведения В данном пункте приведена информация о древнем вавилонском способе записи дробей без знаменателя, о индийском способе записи дробей и смешанных чисел, об использовании сложения дробей в нотной записи. Задачи 1068-1070 в разделе «Занимательные задачи» также связаны со старинными способами записи и чтения дробей.

3. Занимательные задачи С помощью задач из данного пункта можно продолжить работу по развитию у учащихся интереса к решению задач.

Решения и комментарии

1070. Ананий из Ширака (Армения, VII в.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, - за два часа, третья, ещё более тонкая, - за три часа.

Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.

Примечание. Ананий дал такой ответ: Используйте его для.

–  –  –

немцев знала английский язык. Кого в делегации больше: немцев или англичан?

Можно ли ответить на вопрос задачи?

Решение. а) Как видно из рисунка 51, одна и та же группа учащихся класса составляет от всех поющих и от всех танцующих, следовательно, поющих в классе было больше.

–  –  –

Поэтому ответить на вопрос нельзя. Ответы будут разными при разных количествах англичан и немцев. Так, условию задачи удовлетворяют и 1) 8 англичан и 7 немцев, и 2) 8 англичан и 14 немцев, и 3) 16 англичан и 7 немцев.

1085. Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют, золото и олово -, золото и железо - общего веса.

–  –  –

учащихся может быть в классе?

Решение. а) 35 не делится на 3. Поэтому Вася ошибся.

б) Число учащихся делится на 15 - это 15 или 30 учащихся (можно считать, что классов по 45 учащихся не бывает).

г) Число учащихся делится на 5 и на 7. Наименьшее такое число 35 (классов по 70 учащихся уж точно не бывает).

1087. а) В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков?

Решение. В классе имеются послушные девочки (ПД) и непослушные девочки (НД), послушные мальчики (ПМ) и непослушные мальчики (НМ).

Требуется сравнить число послушных детей и число мальчиков:

ПМ + ПД и ПМ + НМ.

По условию задачи послушных девочек (ПД) столько же, сколько непослушных мальчиков (НМ), поэтому в классе послушных детей (ПМ + ПД) столько же, сколько мальчиков (ПМ + НМ).

Повторение В этом разделе имеются задачи для повторения изученного в начальной школе и в 5 классе. Учитель может использовать приведённые задания для организации повторения в случае обнаружения пробелов по какой-либо теме, а также для текущего и итогового повторения.

Решения и комментарии

1139. Задачи С. А. Рачинского. а) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

б) В школе равное число девочек и мальчиков. Я принёс 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке - по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принёс столько орехов, что всем досталось по

6. Сколько орехов я принёс?

Решение. а) I способ. Чтобы каждому ученику досталось по 4 ореха и 15 орехов осталось, можно забрать по 1 ореху у 15 учащихся, у которых по 5 орехов, ещё 1 орех взять у 16-го ученика, у которого также было 5 орехов, и отдать 17-му, у которого было 3 ореха. Следовательно, у 16 учащихся было по 5 орехов и у одного - 3. Всего орехов было 1 3 + 16 5 = 83.

II способ. Представим, что сначала раздали всем учащимся по 4 ореха и 15 орехов осталось. Раздадим по 1 ореху 15 учащимся, ещё 1 орех возьмём у 16-го ученика и отдадим 17-му. У 16 учащихся станет по 5 орехов и у одного - 3.

Орехов было 1 3 + 16 5 = 83.

б) 1) 234: (5 + 4) = 26 (пар) - мальчиков и девочек;

2) 26 (2 6) = 312 (орехов) - я принёс во второй раз.

Ответ. а) 83 ореха; б) 312 орехов.

1140. Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Решение. 1) 3 800 = 2400 (р.) - дали старшие братья;

2) 2400: 2 = 1200 (р.) - получил каждый младший брат.

Здесь учащиеся часто ошибаются, считая, что они нашли стоимость каждого дома. Это стоимость дома без 800 р.

3) 800 + 1200 = 2000 (р.) - стоил каждый дом.

Если возникнут сомнения в правильности решения, можно сделать проверку:

2000 3: 5 = 1200 (р.) - доля наследства каждого.

Младшие братья её получили, старшие тоже: 2000 – 800 = 1200 (р.).

Ответ. По 2000 р.

1143. а) Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. Чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватит. Сколько детей?

Решение. Представьте, что мама раздала детям по 4 конфеты. Сколько конфет у неё осталось? (3.) Скольким детям хватит ещё по одной (пятой) конфете? (Троим.) Скольким детям не хватит ещё по одной конфете? (Двоим.) Сколько всего детей? (3 + 2 = 5.) Ответ. 5 детей.

1145. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динаров больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных?

Решение. Пусть сначала некто раздавал по 2 динара, и у него осталось 3 динара. Если бы у него было ещё 8 динаров, то он смог бы дать ещё по 1 динару 11 бедным (3 + 8 = 11). Итак, было 11 бедных.

Ответ. 11 бедных.

1146. а) Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких - по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько больших пирамид?

Решение. Если бы все 20 пирамид имели по 5 колец, то всех колец было бы 20 5 = 100, а по условию их 128. Лишние 128 – 100 = 28 колец - это кольца (сверх пяти) от больших пирамид, которых было 28: 2 = 14.

Ответ. 14 больших пирамид.

1148. Древнекитайская задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Решение. Задачу можно решить аналогично задаче 1146. Если бы в клетке сидели одни фазаны, то ног было бы 2 35 = 70, но их на 94 – 70 = 24 больше.

Разница образовалась за счёт того, что у каждого кролика на 2 лапы больше, чем у фазана. Кроликов 24: 2 = 12, а фазанов 35 – 12 = 23.

Не менее интересно рассуждение, найденное нами у старых мастеров методики математики и вызывающее у детей живейшее участие в решении задачи. Опишем примерный диалог учителя с классом (в скобках показаны действия, с помощью которых получен результат).

Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапы, чтобы дотянуться до морковки. Сколько лап в этот момент будет стоять на земле?

70 лап (35 2 = 70).

Но в условии задачи даны 94 лапы, где же остальные?

Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.

Сколько их?

24 (94 – 70 = 24).

Сколько же кроликов?

12 (24: 2 = 12).

А фазанов?

23 (35 – 12 = 23).

После завершения диалога можно предложить учащимся записать решение задачи в тетрадях «с пояснениями». Разумеется, здесь трудно кратко и точно пояснить первое действие.

Ответ. 23 фазана и 12 кроликов.

1150. Старинная задача. а) Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 рублей, а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 110 рублей.

Сколько стоит лошадь?

Решение. Продав 20 – 15 = 5 (ц) ржи, крестьянин заплатит недостающие 80 р. и у него останется 110 р., т. е. 1 ц ржи стоит (80 + 110) : 5 = 38 (р.). Тогда лошадь стоит 15 38 + 80 = 650 (р.).

Ответ. 650 р.

1151. а) Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы - по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?

Решение. Если бы купили 44 коровы по 18 р., то заплатили бы 792 р., на самом деле заплатили на 1000 – 792 = 208 (р.) больше, так как за каждую более дорогую корову платили на 26 – 18 = 8 (р.) больше. Дорогих коров было 208: 8 = 26, дешёвых - 44 – 26 = 18.

Ответ. 18 коров по 18 р. и 26 коров по 26 р.

1153. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил 112 баранов, старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого он платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого - по 10 алтын; узнайте, сколько старых и сколько молодых баранов купил он.

Решение. После перевода всех сумм в копейки решение задачи можно объяснить так. Пусть сначала за всех баранов заплатили как за молодых - по 30 к. Это составило 112 30 = 3360 (к.). По условию задачи заплатили больше на 4960 – 3360 = 1600 (к.). Эта разность образовалась за счёт того, что за каждого старого барана платили на 46 – 30 = 16 (к.) больше, чем за молодого. Тогда старых баранов было 1600: 16 = 100, а молодых - 112 – 100 = 12.

В тетрадях учащихся это решение можно записать так:

1) 112 30 = 3360 (к.) - стоят 112 молодых баранов;

2) 4960 – 3360 = 1600 (к.) - надо доплатить за старых баранов;

3) 46 – 30 = 16 (к.) - на столько старый баран дороже молодого;

4) 1600: 16 = 100 (бар.) - купили старых баранов;

5) 112 – 100 = 12 (бар.) - купили молодых баранов.

Ответ. 100 старых и 12 молодых баранов.

1154. Старинная задача. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.

Решение. На 50 фунтах подмоченного табака купец имел убытка 2 50 = = 100 (р.), на оставшихся 110 – 50 = 60 (фунтах) он имел 3 60 = 180 (р.) прибыли.

Итого вся прибыль составила 180 – 100 = 80 (р.).

Ответ. 80 р.

1156. а) За краски и две кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть - 21 р.

72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?

б) За две тетради и ручку заплатили 6 р. 66 к., а за тетрадь и две ручки заплатили 9 р. 93 к. Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка?

Решение. а) В первом случае за лишнюю кисть заплатили 3219 – 2172 = = 1047 (к.). Краски стоят 2172 – 1047 = 1125 (к.). 1047 к. = 10 р. 47 к., 1125 к. = 11 р. 25 к.

б) За два раза купили 3 тетради и 3 ручки за 666 + 993 = 1659 (к.), тогда тетрадь и ручка стоят 1659: 3 = 553 (к.), тетрадь стоит 666 – 553 = 113 (к.), а ручка стоит 553 – 113 = 440 (к.). 113 к. = 1 р. 13 к., 440 к. = 4 р. 40 к.

Ответ. а) 11 р. 25 к., 10 р. 47 к.; б) 1 р. 13 к., 4 р. 40 к.

1160. Алёша и Боря вместе весят 82 кг, Алёша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алёша, Боря и Вова?

Решение. I способ. Сравнение двух первых условий показывает, что Боря легче Вовы на 1 кг, а вместе они весят 85 кг, т. е. Боря весит (85 – 1) : 2 = 42 (кг), а втроём они весят 42 + 83 = 125 (кг).

II способ. Если записать краткое условие задачи так:

А + Б = 82 А + В = 83 В + Б = 85 и сложить левые и правые части равенств, то получим 2(А + Б + В) = 250, откуда получим, что А + Б + В = 125, т. е. втроём они весят 125 кг. Здесь А, Б, В - вес Алёши, Бори и Вовы соответственно.

1161. а) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег.

Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго,- 85 р.; сложившись без третьего,- 80 р.; сложившись без четвёртого,- 75 р. Сколько у кого денег?

Решение. I способ. Из двух первых условий следует, что у второго купца было на 5 р. больше, чем у первого. Из второго и третьего условий следует, что у третьего купца было на 5 р., больше, чем у второго. Если бы третий купец дал первому 5 р., то у первых трёх купцов денег стало бы поровну - по 75: 3 = 25 (р.). Значит, у первого купца было 25 – 5 = 20 (р.), у второго -25 р., у третьего - 25 + 5 = 30 (р.), а у четвёртого - 90 – 25 – 30 = 35 (р.).

«Флора Даурии. Том V Gastrolychnis (Fenzl) Reichb. – Гастролихнис 1. Нижние стеблевые листья продолговато-ланцетные, до 1,5–2 см шир. + Нижние стеблевые листья ланцетно-линейные, 0,3–1(1,5) см шир. 2. Лепестки венчиков темно-фиолетовые или черно-пурпуровые + Лепестки венчиков белые. G. saxatilis (Turcz.) Peschkova 3. Лепестки светло-пурпуровые или розовые, очень редко белые, но тогда лишь немного длиннее чашечки. Растения многолетние. Чашечки при плодах слегка вздутые, с малозаметными жилками....»

«6 ПРАВИТЕЛЬСТВО СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ ДЕПАРТАМЕНТ ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПРИКАЗ от 1lr.01?a~ 2· г. Екатеринбург О внесении изменений в лесохозяйственный регламент Тавдинского лесничества Свердловекой области, утвержденный приказом Министерства природныхресурсов Свердловекой области от 31.12.2008 М 1755 В соответствии с подпунктом пункта статьи пунктом статьи 1 1 83, 2 87 Лесного кодекса Российской Федерации, пунктом приказа Федерального 04.04.2012.N2 агентства лесного хозяйства...»

« понятия, предложенные в этом тексте касаются игры на длинном столе (8-10 игроков). В техаский безлимитный покер раньше больше играли в турнирном варианте, но в последнее время вслед за подъемом в турнирном виде, бурно развивается и вариант кеш-игры. Другая причина возросшей популярности в том, что по сравнению с публичными казино онлайновые...»

««УТВЕРЖДАЮ» директор Федерального государственного жетного учреждения науки леса Карельского научного й академии наук А.М. Крышень ОТЗЫВ ведущей организации Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института леса Карельского научного центра Российской академии наук на диссертацию Надежды Александровны Мясниковой «Трансформация элементов водного баланса под влиянием хозяйственной деятельности в различных климатических условиях», представленную на соискание ученой степени...»

«Репертуар 9 волны «АРТкино» на октябрь 2011 года Занятия проходят по адресу: м. Сокольники, ул. Сокольническая пл. 7 в здании Дома молодёжи «Сокольники», аудитория №12 КУРС МОЛОДОГО КИНОБОЙЦА Дата Время Расписание 01 октября Лекционное занятие 2011г. 14:30 Курс «Киноалфавит»: КОМПОЗИЦИЯ КАДРА (занятие проводит Дмитрий Куповых*) Перерыв на обед с 16:30 до 17:00 Практические упражнения Курс «Операторское мастерство» (съёмка киноэтюдов на элементы киноязыка): Тема: Композиция кадра Задание:...»

«Предисловие Будем хранить и помнить В реке памяти и времени воспоминания Ольги Владимировны Ольденборгер - лишь малая капелька, но капелька яркая и необычная. Любой человек, прожив долгую жизнь, любит делиться своими воспоминаниями и часто рассказывает много интересного о своей жизни детям и внукам, родным и близким, друзьям и просто знакомым. Но не все решаются записать свои рассказы. Ольга Владимировна оставила после себя удивительные по искренности воспоминания. Ее «Странички прошлого»...»

«Урок №7 Ураганы, бури, смерчи Основные понятия Ураган – это атмосферный вихрь большого размера со скоростью ветра до 120 км/ч, а в приземном слое до 200 км/ч. Ураган (тропический циклон) - тип циклона, или погодной системы низкого давления, возникающий над теплой морской поверхностью и сопровождаемый мощными грозами, выпадением ливневых осадков и ветрами штормовой силы. Тропические циклоны получают энергию от поднятия влажного воздуха вверх, конденсации водяных паров в виде дождей и опускания...»

«ПИСАТЕЛИ О ПИСАТЕЛЯХ A. M. ТУРКОВ ВАШ СУРОВЫЙ ДРУГ ИЗДАТЕЛЬСТВО «КНИГА» ПИСАТЕЛИ О ПИСАТЕЛЯХ A. M. ТУРКОВ ВАШ СУРОВЫЙ ДРУГ Повесть о M. Е. Салтыкове-Щедрине МОСКВА «КНИГА» 1988 ББК 84Р7-4 Т 88 Предисловие Л. Лиходеева Разработка серийного оформления Б. В. Трофимова, А. Т. Троянкера, Н. А. Ящука Иллюстрации художника С. А. Коваленкова Общественная редколлегия серии: Д. А. Гранин, А. М. Зверев, Ю. В. Манн, Э. В. Переслегина, Г. Е. Померанцева, А. М. Турков Вступительная статья, оформление ISBN...»

«Political sociology 33 Publishing House ANALITIKA RODIS ([email protected]) http://publishing-vak.ru/ УДК 355.018 Социальное обеспечение населения Республики Алтай в годы Великой отечественной войны Хабарова Елена Викторовна Старший преподаватель, Горно-Алтайский государственный университет, 649000, Российская Федерация, Республика Алтай, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1; е-mail: [email protected] Аннотация В статье представлены, проанализированы архивные документы, материалы...»

«СЕТЬ САЛОНОВ SILVER & SILVER Компания Silver & Silver основана в 2005 году и на сегодняшний день является одной из основных розничных сетей в России по продаже серебряных украшений. Компания является частью Группы компаний Ярра, более 10 лет занимающей первые позиции на оптовом ювелирном рынке и поставляющее свою продукцию в сотни магазинов по всей стране. Наличие богатого опыта работы, прямых поставок от зарубежных производителей, высокой компетенции персонала позволяют Silver & Silver не...»

«HUMAN RIGHTS IN MONTENEGRO 2010–2011 The publication of this Report was supported by the Foundation Open Society Institute. The translation of this Report into English language was supported by the British Embassy. The views expressed in this Report are those of the Human Rights Action.HUMAN RIGHTS IN MONTENEGRO 2010–2011 Tea Gorjanc Prelevi (editor) PODGORICA 2011 HUMAN RIGHTS IN MONTENEGRO Publisher The Human Rights Action Moskovska bb, 81 000 Podgorica, Montenegro Tel: +382 20 510 040,...»

«Зарегистрировано 11 сентября 201 2 г. государственный регистрационный номер 1–03– 33498–E–003D ФСФР России (указывается наименование регистрирующего органа) (подпись уполномоченного лица) (печать регистрирующего органа) РЕШЕНИЕ О ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ВЫПУСКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ Открытое акционерное общество ИНТЕР РАО ЕЭС акции обыкновенные именные бездокументарные номинальной стоимостью 0,02809767 рубля каждая в количестве 1 570 842 367 880 штук, размещаемые путем конвертации обыкновенных именных...»

« одним названием – средства массовой информации, люди узнают о нормах поведения, которое расценивается в данном обществе как соответствующее той или иной социальной группе. Таким образом, СМИ так или иначе формируют мировоззрение людей и их ценности. Наиболее ощутимое и целедостижимое воздействие СМИ оказывают на молодых людей как наиболее...»

«РЕГИОНАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ТАРИФАМ КИРОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПРОТОКОЛ заседания правления региональной службы по тарифам Кировской области № 22 26.06.2015 г. Киров Беляева Н.В.Председательствующий: Троян Г.В. Члены правлеМальков Н.В. ния: Вычегжанин А.В. Петухова Г.И. Юдинцева Н.Г. Кривошеина Т.Н. Никонова М.Л. по вопросам электроэнерОтсутствовали: гетики Владимиров Д.Ю. по вопросам электроэнергетики Трегубова Т.А. Секретарь: Зыков М.И., Черных А.О. Уполномоченные по делам: нет Приглашнные: Беляева Н.В.:...»

← Вернуться