12. Арифметический фокус
– Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет, тайно от меня, любое трехзначное число.
– Могут быть и нули в этом числе?
– Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете.
– Написал. Что теперь?
– Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.
– Есть. Шестизначное число.
– Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.
– Легко сказать: разделить на семь! Может, и не разделится.
– Не беспокойтесь, поделится без остатка.
– Числа не знаете, а уверены, что поделится.
– Сначала разделите, потом будем говорить.
– На ваше счастье – разделилось.
– Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.
– Думаете, опять повезет – разделится?
– Делите, остатка не получится.
– В самом деле, без остатка! Теперь что?
– Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.
– Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… ан нет, разделилось нацело. Везет же вам!
– Дайте мне бумажку с результатом; только сложите ее, чтобы я не видел числа.
Не развертывая листка бумаги, «фокусник» вручил его председателю.
– Извольте получить задуманное вами число. Правильно?
– Совершенно верно! – с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. – Именно это я и задумал… А теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.
РАЗВЯЗКА ЗАВТРАКА
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 1-12
1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.
2. Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по гривеннику за полено. Деньги эти уплачены только за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80 х 3, т. е. в 2 руб. 40 коп., и цена одного полена – 30 коп.
Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятеркиной за ее 5 поленьев следует 150 коп.; но она сама воспользовалась плитой на 80 коп.; значит, ей остается дополучить еще 150 – 80, т. е. 70 коп. Тройкина за 3 своих полена должна получить 90 коп.; а если вычесть 80 коп., причитающиеся с нее за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 90–80, т. е. 10 коп.
Итак, при правильном дележе Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.
3. На первый вопрос – через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков – мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберется снова 5 кружков: политический – через 30 двухдневных промежутков, военный – через 20 трехдневных, фотокружок – через 15 четырехдневных, шахматный – через 12 пятидневок и хоровой – через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет еще через 60 дней, т. е. уже во втором квартале.
Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.
Труднее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы политкружка, т. е. числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы военного кружка: 4-й, 10-й и т. д. После того как зачеркнем затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачеркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.
Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно 2, 8,12,14,18, 20, 24 и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте – 9.
4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.
5. С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.
Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX столетии: первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине от 132, т. е. 66. Дед родился в 1866 г., и ему теперь 66 лет.
Таким образом, и внуку, и деду в 1932 г. столько лет, сколько выражают последние два числа годов их рождения.
6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т. е. на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25 х 24 = 600 образцов.
7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что дирижабль летел по контуру квадрата: надо принять в расчет шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются (рис. 6);
поэтому, пройдя 500 км по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, дирижабль отошел к востоку на большее число градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате дирижабль, закончив полет, оказался восточнее Ленинграда.
На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 6
вы видите маршрут дирижабля: ABCDE.
Точка N– северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ
и DC.
Дирижабль пролетел сначала 500 км на север, т. е. по меридиану AN. Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500:111 = 4,5°. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В
находится на 60° + 4,5° = 64,5°. Затем дирижабль летел к востоку, т. е. по параллели ВС, и прошел по ней 500 км.
Рис. 6. Как летел дирижабль задачи 7
Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел дирижабль на восток: 500: 48 = 10,4°. Далее воздушный корабль летел в южном направлении, т. е. по меридиану CD, и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, т. е. по DA; 500 км этого пути явно короче расстояния AD. В расстоянии AD заключается столько же градусов, сколько и в ВС, т. е. 10,4°. Но длина 1° на широте 60° равна 55,5 км. Следовательно, между А и D расстояние равно 55,5 х 10,4 = 577,2 км. Мы видим, что дирижабль не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, т. е. спустился на Ладожском озере.
8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля
так мала по сравнению с расстоянием ее от солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть ее поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда при так называемом «иззаоблачном сиянии» (рис. 5
– лучи солнца, расходящиеся веером), – не более как следствие перспективы.
В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов (рис. 7)
или вид длинной аллеи.
Однако из того, что лучи солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень дирижабля равна по длине самому дирижаблю. Взглянув на рис. 8,
вы поймете, что полная тень дирижабля в пространстве сужается по направлению к земле и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть короче самого дирижабля: CD меньше, чем АВ.
Если знать высоту дирижабля, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть дирижабль летит на высоте 1000 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми АС м. ВD
между собою, равен тому углу, под которым усматривается солнце с земли; угол этот известен: около 1 / 2 °. С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в 1 / 2 °> удален от глаза на 115 своих поперечников. Значит, избыток длины дирижабля над длиною тени (этот избыток усматривается с земной поверхности под углом в 1 / 2 °) должен составлять 115-ю долю от АС.
Рис. 7. Рельсы, уходящие вдаль
Рис. 8. Как падает тень от дирижабля
Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте дирижабля 1000 м) составляет около 1400 м, и, следовательно, тень короче дирижабля на 1400: 115 = 12 м.
Все сказанное относится к полной тени дирижабля – черной и резкой – и не имеет отношения к так называемой полутени, слабой и размытой.
Расчет наш показывает, между прочим, что будь на месте дирижабля небольшой воздушный шар диаметром меньше 12 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.
9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.
Итак, имеем в самом конце:
Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16 + 8 = 24 спички. Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:
Далее, мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 – это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания (т. е. до того, как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) распределение спичек было таково:
Таковы первоначальные числа спичек в кучках.
10. Эту головоломку также проще решить с конца. Мы знаем, что после третьего удвоения в кошельке оказалось 1 руб. 20 коп. (Деньги эти получил старик в последний раз.) Сколько же было до этого удвоения? Конечно, 60 коп. Остались эти 60 коп. после уплаты старику вторых 1 руб. 20 коп., а до уплаты было в кошельке
1 руб. 20 коп. + 60 коп. = 1 руб. 80 коп.
Далее: 1 руб. 80 коп. оказались в кошельке после второго удвоения; до того было всего 90 коп., оставшиеся после уплаты старику первых 1 руб. 20 коп. Отсюда узнаем, что до уплаты находились в кошельке 90 коп. + + 1 руб. 20 коп. = 2 руб. 10 коп. Столько денег имелось в кошельке после первого удвоения; раньше же было вдвое меньше – 1 руб. 5 коп. Это и есть те деньги, с которыми крестьянин приступил к своим неудачным финансовым операциям.
Проверим ответ:
Деньги в кошельке
После 1-го удвоения 1 руб. 5 коп. х 2 = 2 руб. 10 коп.
« 1-й уплаты…..2 руб. 10 коп. – 1 руб. 20 коп. = 90 коп.
« 2-го удвоения……..90 коп. х 2 = 1 руб. 80 коп.
« 2-й уплаты…..1 руб. 80 коп. – 1 руб. 20 коп. = 60 коп.
« 3-го удвоения……..60 коп. х 2 = 1 руб. 20 коп.
« 3-й уплаты…..1 руб. 20 коп. – 1 руб. 20 коп. = 0.
11. Наш календарь ведет свое начало от календаря древних римлян. Римляне же (до Юлия Цезаря) считали началом года не 1 января, а 1 марта. Декабрь тогда был, следовательно, десятый месяц. С перенесением начала года на 1 января названия месяцев изменены не были. Отсюда и произошло то несоответствие между названием и порядковым номером, которое существует теперь для ряда месяцев:
12. Проследим за тем, что проделано было с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трехзначное число еще раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например:
872 872 = 872 000 + 872.
Теперь ясно, что, собственно, проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать – умножили число на 1001.
Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В конечном счете, значит, разделили его на 7 х 11 х 13, т. е. на 1001.
Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в результате получилось то же самое число?
______________________________
Прежде чем закончить главу о головоломках в доме отдыха, расскажу еще о трех арифметических фокусах, которыми вы можете занять досуг ваших товарищей. Два состоят в отгадывании чисел, третий – в отгадывании владельцев вещей.
Это старые, быть может, даже и известные вам фокусы, но едва ли все знают, на чем они основаны. А без знания теоретической основы фокуса нельзя сознательно и уверенно его выполнять. Обоснование первых двух фокусов потребует от нас весьма скромной и ничуть не утомительной экскурсии в область начальной алгебры.
13. Зачеркнутая цифра
Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+ 4 + 7 = 19) и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется
847 – 19 = 828.
В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру – безразлично какую – и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса? Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщены цифры 2 и 8, то, сложив 2 + 8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18, не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.
Почему так получается? Потому что если от какого-либо числа отнять сумму
его цифр, то должно остаться число, делящееся на 9, – иначе говоря, такое, сумма
цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе цифра сотен – а
, цифра десятков – Ь
и цифра единиц – с.
Значит, всего в этом числе содержится единиц
100а + 10b + с.
Отнимаем от этого числа сумму
его цифр а
+ b
+ с.
Получим
100a
+ 10b
+ c
– (a
+ b
+ c
) = 99a
+ 9b
= 9(11a
+ b
).
Но 9 (11 а + Ь)
конечно, делится на 9; значит, при вычитании из числа суммы его цифр всегда должно получиться число, делящееся на 9 без остатка.
При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9 (например, 4 и 5). Это показывает, что зачеркнутая цифра есть либо
О, либо 9. Так вы и должны ответить: «О или 9».
Вот видоизменение того же фокуса: вместо того чтобы из задуманного числа вычитать сумму его цифр, можно вычесть число, полученное из данного какой-либо перестановкой его цифр. Например, из числа 8247 можно вычесть 2748 (если получается число большее задуманного, то вычитают меньшее из большего). Дальше поступают, как раньше сказано:
8247 – 2748 = 5499;
если зачеркнута цифра 4, то, зная цифры 5,9,9, вы соображаете, что ближайшее к 5 + 9 + 9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит, зачеркнутая цифра 27–23 = 4.
13а. Отгадать число, ничего не спрашивая
Вы предлагаете товарищу задумать трехзначное число, не оканчивающееся нулем, такое, в котором крайние цифры разнятся больше чем на 1, и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав это, он должен вычесть меньшее число из большего и полученную разность сложить с нею же, но написанною в обратной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него получилось в конечном счете.
Если, например, было задумано 467, то загадчик должен выполнять следующие действия:
Этот окончательный результат – 1089 – вы и объявляете загадчику. Как вы можете его узнать?
Рассмотрим задачу в общем виде. Возьмем число с цифрами а, b, с. Оно изобразится так:
100а + 10 b + с.
Число с обратным расположением имеет вид:
100с + 10 b + а.
Разность между первым и вторым равна:
99а – 99с.
Делаем следующие преобразования:
99 а – 99 с = 99 (а – с) =
100 {а – с) – а + с =
100(а – с) -
100 + 100 – 10 + 10 – а с =
100 (а – с -
1) + 90 + (10 – а
+ с).
Значит, разность состоит из следующих трех цифр:
цифра сотен: а – с -
1,
« десятков: 9,
« единиц: 10 + с – а.
Число с обратным расположением цифр изображается так:
100(10 + с – а)
+ 90 + (а – с -
1).
Сложив оба выражения
100 (а – с - 1) + 90 + 10 + с – а 100(10 + с – а) + 90 + а – с - 1,
Получаем
100 х 9 + 180 + 9 = 1089.
Каковы бы ни были цифры а, Ь, с
, в итоге выкладок всегда получается одно и то же число: 1089. Нетрудно поэтому отгадать результат этих вычислений: вы знали его заранее. Понятно, что показывать этот фокус одному лицу дважды нельзя – секрет будет раскрыт.
14. Кто что взял?
Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо подготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, поставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением орехов годятся шашки, кости домино, спички и т. п.
Троим товарищам вы предлагаете во время вашего отсутствия в комнате спрятать в карман карандаш, ключ или ножик, кто какую вещь хочет. Вы беретесь отгадать, в чьем кармане какая вещь.
Процедура отгадывания проводится так. Возвратившись в комнату после того, как вещи спрятаны в карманах товарищей, вы начинаете с того, что вручаете им на сохранение орехи из тарелки.
Первому даете один орех, второму – два, третьему – три. Затем снова удаляетесь из комнаты, оставив товарищам следующую инструкцию. Каждый должен взять себе из тарелки еще орехов, а именно: обладатель карандаша берет столько орехов, сколько ему было вручено; обладатель ключа берет вдвое больше того числа орехов, какое ему было вручено; обладатель ножа берет вчетверо больше того числа орехов, какое ему было вручено.
Прочие орехи остаются на тарелке.
Когда все это проделано и вам дан сигнал возвратиться, вы, входя в комнату, бросаете взгляд на тарелку и объявляете, у кого в кармане какая вещь.
Фокус тем более озадачивает, что выполняется без участия тайного сообщника, подающего вам незаметные сигналы. В нем нет никакого обмана: он целиком основан на арифметическом расчете. Вы разыскиваете обладателя каждой вещи единственно лишь по числу оставшихся орехов. Остается их на тарелке немного – от 1 до 7, и счесть их можно одним взглядом.
Как же, однако, узнать по остатку орехов, кто взял какую вещь?
Очень просто: каждому случаю распределения вещей между товарищами отвечает иное число остающихся орехов. Мы сейчас в этом убедимся.
Пусть имена ваших товарищей Владимир, Георгий, Константин; обозначим их начальными буквами: В, Г, К Вещи также обозначим буквами: карандаш – а, ключ – Ь,
нож – с.
Как могут три вещи распределиться между тремя обладателями? На 6 ладов:
Других случаев, очевидно, быть не может; наша табличка систематически исчерпывает все комбинации.
Посмотрим теперь, какие остатки отвечают каждому из этих 6 случаев:
Вы видите, что остаток орехов всякий раз получается иной. Поэтому, зная остаток, вы легко устанавливаете, каково распределение вещей между вашими товарищами. Вы снова – в третий раз – удаляетесь из комнаты и заглядываете там в свою записную книжку, где записана сейчас воспроизведенная табличка (собственно, нужны вам только первая и последняя графы); запомнить ее наизусть трудно, да и нет надобности. Табличка скажет вам, в чьем кармане какая вещь. Если, например, на тарелке осталось 5 орехов, то это означает (случай b, с, а ), что
ключ – у Владимира;
нож – у Георгия;
карандаш – у Константина.
Чтобы фокус удался, вы должны твердо помнить, сколько орехов вы дали каждому товарищу (раздавайте орехи поэтому всегда по алфавиту, как и было сделано в нашем случае).
Как может он это знать? И почему он уверен, что из всяких 27 костей домино составится непрерывная цепь?
18. Рамка
Рис. 9 изображает квадратную рамку, выложенную из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки равны по длине, но не одинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда – 59 и 32.
Рис. 9. Рамка из домино
Можете ли вы выложить такую квадратную рамку, все стороны которой заключали бы одинаковую сумму очков – именно 44?
19. Семь квадратов
Четыре кости домино можно выбрать так, чтобы из них составился квадратик с равной суммой очков на каждой стороне. Образчик вы видите на рис. 10:
сложив очки на каждой стороне квадратика, во всех случаях получите 11.
Рис. 10
Рис. 11. Магический квадрат из домино
Можете ли вы из полного набора домино составить одновременно семь таких квадратов? Не требуется, чтобы сумма очков на одной стороне получалась у всех квадратов одна и та же; надо лишь, чтобы каждый квадрат имел на своих четырех сторонах одинаковую сумму
очков.
20. Магические квадраты из домино
На рис. 11 показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда – продольного, поперечного или диагонального – одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются «магическими».
Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду.
13 – наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма – 23.
21. Прогрессия из домино
Вы видите на рис. 12.
шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на 1: начинаясь с 4, ряд состоит из следующих чисел очков:
4; 5; 6; 7; 8; 9.
Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая «разность».
Рис. 12. Прогрессия на костяшках домино
Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых прогрессий.
ИГРА В «15», или ТАКЕН
Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр – математика В. Аренса.
«Около полувека назад – в конце 70-х годов – вынырнула в Соединенных Штатах игра в «15»; она быстро распространилась и, благодаря несчетному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие.
То же наблюдалось по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пассажиров коробочки с 15 шашками. В конторах и магазинах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынуждены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраивали большие игорные турниры. Игра проникла даже в торжественные залы германского рейхстага.
1. Число 365
Это число, прежде всего, замечательно тем, что определяет число дней в не високосном году. При делении на 7 оно даёт в остатке 1, эта особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.
Существует ещё одна особенность числа 365:
365=10x10x11x11x12x12, то есть 365 равно в сумме квадратов трёх последовательных чисел, начиная с 10:
10²+11²+12²=100+121+144=365.
Но и это ещё не всё. Число 365 равно сумме квадратов двух следующих чисел, 13 и 14:
13²+14²=169+196=365.
Если человек не знает выше изложенных свойств числа 365, то он при решении примера:
10²+11²+12²+13²+14²
365 начнёт выполнять громоздкие вычисления.
Например:
10²+11²+12²+13²+14² ‗ 100+121+144+169+196 ‗ 221+313+196 ‗ 730
Человек же знающий решит этот пример в уме моментально и получит в ответе 2.
10²+11²+12²+13²+14² ‗ 365+365 ‗ 730
2. Число 999
Следующее число, которое я буду описывать - это 999.
Оно намного удивительнее, чем его перевёрнутое изображение - 666 - > Апокалипсиса, вселяющее страх в суеверных людей, но оно по своим арифметическим свойствам ничем не выделяется среди других чисел.
Особенность числа 999 в том, что его можно легко умножить на трёхзначные числа. Тогда получится шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры являются дополнениями первых трех до
Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:
573x999=573x(1000-1)= 573
947x999=946053, 509x999=508491, 981x999=980019,
543x999=542457, 167x999=166833, 952x999=951048 и т. п.
А так как 999=9x111=3x3x3x37,то вы можете описать целые столбцы шестизначных чисел, кратных 37. Не знакомый же со свойствами числа 999, этого сделать не сможет.
3. Число 1001
Сначала рассмотрим число 1001. Это число сказок, которое царица Шехерезада рассказывала царю Шахрияру.
Число 1001 с первого взгляда кажется самым обыкновенным. Его можно разложить на три последовательных простых множителя 7, 11 и 13. Следовательно, оно является их произведением.
Но в том, что 1001=7x11x13 нет ничего интересного. Замечательно то, что если его умножить на любое трехзначное число, то в результате получится тоже самое число, записанное дважды. Нужно применить распределительный закон умножения.
Разложим 1001 на сумму 1000+1.
Например:
247x1001=247x(1000+1)=247x1000+247x1=247000+247=247247
4. Число 111111
Следующее число, о котором я хочу рассказать - это 111 111.
Благодаря знакомству со свойствами числа 1001 мы сразу видим, что
111 111=111x1001
Но мы знаем, что
111=3x37, 1001=7x11x13.
Отсюда следует, что наша новая числовая диковинка, состоящая из одних единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число, 111 111.
3x(7x11x13x37)=3x37037=111 111
7x(3x11x13x37)=7x15873=111 111
11x(3x7x13x37)=11x10101=111 111
13x(3x7x11x37)=13x8547=111 111
37x(3x7x11x13)=37x3003=111 111
(3x7)x(11x13x37)=21x5291=111 111
(3x11)x(7x13x37)=33x3367=111 111
(3x13)x(7x11x37)=39x2849=111 111
(3x37)x(7x13x11)=111x1001=111 111
(7x3)x(11x13x37)=21x5291=111 111
(7x11)x(3x13x37)=77x1443=111 111
(7x13)x(11x3x37)=91x1221=111 111
(7x37)x(11x3x13)=259x429=111 111
(11x13)x(7x37x3)=143x777=111 111
(37x11)x(13x7x3)=407x273=111 111
Глава II >:
Арифметические фокусы - честные, добросовестные фокусы. Здесь никто никого не стремится обмануть, ввести транс или усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить такой фокус, не нужны, ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие - либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений. Кружок товарищей, не посвящённых в математические тайны можно поразить следующими фокусами.
§1. Фокус № 1.
Запишите число 365 два раза: 365 365.
Разделите полученное число на 5: 365 365/5=73 0 73.
Разделите полученное частное на 73: 73 0 73/73=1001.
У вас получится число Шехерезады, то есть 1001.
Разгадка фокуса, очень проста: число 365=5x73. То есть число 365365 мы делим на 365 и получаем в ответе 1001.
§2. Фокус № 2.
Пусть кто-нибудь напишет любое трехзначное число, и затем к нему припишет еще раз это же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из повторяющихся цифр.
Предложите своему товарищу разделить это число в тайне от вас на 7. Результат нужно передать соседу, который должен разделить его на 11. Полученный результат передается следующему ученику, которого вы просите разделить это число на 13.
Результат третьего деления вы, не глядя, вручаете первому товарищу. Это и есть задуманное число.
Этот фокус объясняется очень просто. Если приписать к трехзначному числу его само - значит умножить его на 1001, или на произведение 7x11x13=1001. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к заданному числу его само, должно будет делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13.
§3. Фокус № 3.
Запишите любую цифру три раза подряд. Полученное число разделите на 37 и на 3. И у вас получится в ответе ваша цифра.
Разгадка: когда мы делим трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами вначале на 37, а затем на 3,то мы, не замечая, делим на 111.
§4. Фокус № 4.
Число 111 111 так же можно использовать для проделывания фокусов, как и число 1001. В данном случае надо предлагать товарищу число однозначное, и попросить записать его уже шесть раз подряд. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. п. Это дает возможность очень разнообразить выполнение фокуса.
Например: предложите своим товарищам задумать любую цифру, кроме нуля. Нужно умножить ее на 37. Затем умножить на 3. Результат приписать еще раз справа. Полученное число разделить на первоначально задуманную цифру.
Получилось число 111 111.
Разгадка фокуса основана на свойстве числа 111 111. Когда мы умножаем его на 1001 (со свойствами числа 1001 мы познакомились в предыдущей главе) и получилось задуманное число, записанное в начале. Далее при делении на задуманное число явно получается шесть единиц.
§5. Фокус № 5.
Пусть ваш товарищ запишет любое трехзначное число. Справа к нему нужно приписать три нуля. От шестизначного числа предложите отнять первоначальное трехзначное. Затем попросите товарища разделить на задуманное, полученный результат. Частное нужно разделить на 37.
Получилось число 27.
Секрет фокуса понять просто. Он основан на свойствах числа 999.
Число 999 является произведением четырех простых множителей:
3x3x3x37=999, а, следовательно, 999/37=27
Когда умножают на него трехзначное число, получается результат, состоящий из двух половин: первая - это умножаемое число, уменьшенное на единицу, а вторая - результат вычитания первой половины из множителя.
§6. Фокус № 6.
Число 111 111 111: можно также использовать для наших числовых фокусов:
Спросим у одноклассника его любимую цифру (от 1 до 9).
Попросим эту цифру умножить на 9, а затем полученное произведение умножить на число 123456789. В результате получится число, состоящее из любимых цифр одноклассника.
Например:
5 - это любимая цифра ученика, тогда
45x123456789=555 555 555 т. е. 9x123456789=111 111 111
Заключение:
Описать все эти числа, я поняла, что они не обладают никакими сверхъестественными особенностями. А то, что я описала, это всего лишь способы мгновенного деления и умножения в уме, к которым может прийти почти каждый человек, стоит лишь задуматься на некоторое время.
Мы живем в XXI веке, в век информационных технологий, и как я сказала во введении, появились компьютеры, калькуляторы, и т. п. , на которых можно моментально складывать, вычитать, умножать и делить многозначные числа. Но если, скажем, вам надо будет найти результат: 999x694, и у вас не будет под рукой калькулятора, то вы просто-напросто >, в то время как кто-нибудь сразу скажет ответ этого действия - 693306.
Эти интересные способы вычисления чисел очень могут помочь в школе, в вузе, на работе, и вообще в жизни. Так как в кругу товарищей можно загадывать интересные арифметические фокусы без обманов и волшебства. Исходя из всего вышесказанного, я делаю вывод, что эти и многие другие числовые диковинки желательно знать каждому. Эти знания обязательно понадобятся в жизни!!!
104. Чему равно частное?
Попросите своего товарища написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры гличались друг от друга на число, которое вы укаете. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Предложите вашему товарищу вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и вы можете всегда сказать наперед, какое будет частное от деления этой разности на 9. Чему же равняется частное?
Решение. Частное равняется указанной вами разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если взять сначала число 845, то 845 - 548 = 279, 279: 9 = 33 = (8-5)*11.
Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100а + 10b + с, где 0
Эту задачу можно предлагать в следующем более занимательном (особенно для детей) варианте.
Число 1089. Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к его удивлению, и есть полученное им число. Почему так произошло?
Решение. Из решения предыдущей задачи мы знаем, что разность между любым трехзначным числом и числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100k + 10l + m (0
Фокус “Феноменальная память”.
Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер каточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число. Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия - прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки - 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры - получим 15, будем складывать цифры, следующая - 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.
Фокус “Угадать задуманное число”.
Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем передать листочек “фокуснику”. Он может назвать задуманное число. Разгадка фокуса:
Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.
Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”.
Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет цифру - безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 - не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.
Почему так получается?
Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а - цифра сотен, в - цифра десятков, с - цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т. е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.
Фокус “Любимая цифра”.
Любой из присутствующих задумывает свою любимую цифру. Фокусник предлагает ему выполнить умножение числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то пусть умножит на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой. Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45. Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.
Фокус “Угадать задуманное число, ничего не спрашивая”.
Фокусник предлагает учащимся следующие действия:
Первый ученик задумывает какое-нибудь двузначное число, второй - приписывает к нему справа и слева такое же число, третий - делит полученное шестизначное число на 7, четвертый - на 3, пятый - на 13, шестой - на 37 и передает свой ответ задумавшему, который видит, что к нему вернулось его число. Секрет фокуса: если к любому двузначному числу приписать справа и слева такое же число, то двузначное число при этом увеличится в 10101 раз. Число 10101 равно произведению чисел 3, 7, 13 и 37, поэтому после деления мы и получаем задуманное число.
Конкурс болельщиков - “Веселый счет”. От каждой команды приглашается представитель. На доске две таблицы, на которых в беспорядке отмечены числа от 1 до 25. По сигналу ведущего учащиеся должны найти на таблице все числа по порядку, кто это сделает быстрее, тот и выиграл.
Фокус “Число в конверте”
Фокусник пишет на бумажке число 1089, вкладывает бумажку в конверт и заклеивает его. Предлагает кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга больше, чем на 1. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он снова переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности двух первых. Когда он получит сумму, фокусник предлагает ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое у него и получилось.
Фокус “Угадывание дня, месяца и года рождения”
Фокусник предлагает учащимся выполнить следующие действия: “Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось”. Теперь “фокуснику” осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна - номер месяца, а последние две цифры - число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.
Фокус “Угадать задуманный день недели”.
Пронумеруем все дни недели: понедельник - первый, вторник - второй и т. д. Пусть кто-нибудь задумает любой день недели. Фокусник предлагает ему следующие действия: умножить номер задуманного дня на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце 0, результат сообщить фокуснику. Из этого числа он вычитает 250 и число сотен будет номером задуманного дня. Разгадка фокуса: допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4×2+5)*5)*10=650, 650 - 250=400.
Фокус “Угадать возраст”.
Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся умножить число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков - получится число лет.
Правило 3. За один ход берут один, два или три камня.
а) k = 8; б)k = 9; в)k = 10; г)k = 11;
д) k =4 п; е) k =4 п +1; ж) k =4 п +2; з) k =4 п +3.
Решение. Правило 1. При игре по этому правилу у каждого из игроков нет выбора - они каждый раз берут по одному камню. Исход игры здесь зависит не от ходов игроков, а только от того, кто из них первый делает ход.
Если камней 6, 20, 2п (п - натуральное число), то после каждого хода первого игрока остаётся нечётное число камней, поэтому завершающим ходом второй выиграет партию. В этих случаях первый игрок не сможет выиграть партию.
Если же камней 7, 19, 2п + 1 (п - натуральное число), то после каждого хода первого игрока остаётся чётное число камней, поэтому завершающим ходом он выиграет партию. В этих случаях первый игрок выиграет партию.
Правило 2. Если камней 6, 3п (п - натуральное число), то первый игрок не может выиграть при правильной игре второго. Сколько бы камней (1 или 2) не брал первый игрок, второй всегда может своим ходом оставить число камней, делящееся на 3. Поэтому перед последним ходом первого игрока второй может оставить 3 камня и закончить игру после любого хода первого игрока.
Во всех остальных случаях первый игрок первым ходом должен оставить число камней, делящееся на 3. А дальше после каждого хода второго игрока он может оставлять число камней, делящееся на 3. После того как останется 3 камня, второй возьмёт 1 или 2 камня, а первый закончит игру. В этих случаях первый игрок может выиграть при любой игре второго. В таких случаях говорят, что у первого игрока имеется выигрышная стратегия.
Правило 3. Если камней 8, 4п (п - натуральное число), то первый игрок не может выиграть при правильной игре второго. Сколько бы камней (1, 2 или 3) не
брал первый игрок, второй всегда может своим ходом оставить число камней, делящееся на 4. Поэтому перед последним ходом первого игрока второй может оставить 4 камня и закончить игру после любого хода первого игрока.
Во всех остальных случаях первый игрок первым ходом должен оставить число камней, делящееся на 4. А дальше после каждого хода второго игрока он может оставлять число камней, делящееся на 4. После того как останется 4 камня, второй возьмёт 1, 2 или 3 камня, а первый закончит игру. В этих случаях первый игрок может выиграть при любой игре второго. В таких случаях говорят, что у первого игрока имеется выигрышная стратегия.
3.5. Наибольший общий делитель
В данном пункте учебника вводятся понятия общего делителя двух натуральных чисел, наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, взаимно простых чисел. Учащиеся лучше усвоят сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, если уже сейчас научатся устанавливать, какие два натуральных числа являются взаимно простыми. В учебнике утверждается, что два различных простых числа, а также два соседних натуральных числа взаимно простые. Можно добавить, что если из двух натуральных чисел одно простое, а другое на него не делится, то эти числа взаимно простые. Доказательства этих утверждений просты. Приведём их.
У любых двух простых чисел имеется только один общий делитель - число 1. Поэтому эти числа взаимно простые. (Это решение задания 670 .)
Разность двух соседних натуральных чисел равна 1. Если предположить, что эти числа имеют общий делитель, отличный от 1, то на него должно делиться число 1. Но 1 не делится ни на одно натуральное число, отличное от 1. Поэтому два соседних натуральных числа взаимно простые. (Это решение задания 671 .)
Если из двух натуральных чисел одно простое, а другое на него не делится, то у этих чисел есть только один общий делитель - число 1. Поэтому эти числа взаимно простые.
Отметим, что увлекаться решением сложных задач на нахождение НОД двух (и более) чисел не следует, так как это умение будет применяться редко. Но
учащиеся должны хорошо усвоить, что:
если натуральные числа а иb взаимно простые, то НОД (а ,b ) = 1; если натуральное числоа делится наb , то НОД (а ,b ) =b .
РТ. При изучении этой темы можно использовать задания253−259 .
Решения и комментарии
676. а) Даны разложения чисела иb на простые множители. Найдите НОД
(а ,b ):а = 23 34 5 72 ,b = 22 35 52 7.
Решение. НОД (а ,b ) должен содержать все общие делители чисела иb , поэтому НОД (а ,b ) = 22 34 5 7 (вычислять это произведение не нужно).
678. Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?
Решение. НОД (36, 24) = 12, поэтому 12 - наибольшее число участников в каждой команде. Получится 36: 12 + 24: 12 = 5 команд с наибольшим числом участников.
3.6. Наименьшее общее кратное
В данном пункте учебника вводятся понятия общего кратного двух натуральных чисел, наименьшего общего кратного двух натуральных чисел.
Отметим, что увлекаться решением сложных задач на нахождение НОК двух (и более) чисел не следует, так как это умение будет применяться редко. Но учащиеся должны хорошо усвоить, что:
если натуральные числа а иb взаимно простые, то НОК (а ;b ) =аb ; если натуральное числоа делится наb , то НОК (а ;b ) =а .
РТ. При изучении этой темы можно использовать задания 260–268.
Решения и комментарии
694. а) Даны разложения чисела иb на простые множители. Найдите НОД (а ,b ) и НОК (а ,b ):а = 23 34 5,b = 24 35 52 .
Решение. НОД (а ,b ) = 23 34 5; НОК (а ,b ) = 24 35 52 .
699. Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая - 28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать?
Решение. Так как НОК (16, 28) = 112, то первая шестерёнка должна сделать 112: 16 = 7 оборотов, а вторая шестерёнка - 112: 28 = 4 оборота.
Ответ. 7 оборотов и 4 оборота.
Промежуточный контроль. ДМ. С–12.
Дополнения к главе 3
1. Использование чётности при решении задач
В данном пункте учебника рассмотрены решения задач, в которых используется идея чётности чисел. Здесь рассмотрена задача о рисовании так называемых уникурсальных фигур (которые рисуются без отрыва карандаша от бумаги).
Решения и комментарии
701. Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых - нечётные числа. Не ошибается ли он?
Решение. Ошибается, так как если произведение натуральных чисел нечётное, то все эти четыре числа нечётные, тогда их сумма должна быть чётной.
702. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?
Решение. Если рвать лист на 7 или 9 частей, то число кусков бумаги будет увеличиваться на 6 или на 8, т. е. на чётное число. Если к нечётному числу 9 прибавить несколько раз чётное число, то получится нечётное число. Число 100 получить невозможно. Поэтому имея 9 кусков (листов) бумаги и увеличивая их число на 6 или на 8, невозможно получить 100 кусков бумаги.
703. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1
к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных
Решение. Прибавляя по 1 сразу к двум числам, мы на 2 увеличиваем первоначальную нечётную сумму 0 + 0 + 0 + 1 = 1. В результате каждой такой операции получится нечётное число. Четыре одинаковых числа (т. е. чётную сумму) получить невозможно.
711. Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возможных маршрутов (рис. 37).
Решение. Среди залов музея есть только два - 5-й и 8-й, имеющие нечётное число дверей. Следовательно, начать эксурсию в соответствии с условиями задачи можно в одном из них, а закончить в другом. В остальных залах чётное число дверей - они будут пройдены по одному разу, а 6-й и 7-й залы (в которых по 4 двери) - два раза. Возможный маршрут: 5, 1, 2, 6, 5, 9, 10, 6, 7, 11,
12, 8, 4, 3, 7, 8.
2. Исторические сведения
В данном пункте учебника приведены сведения о простых числах, о решете Эратосфена, «формула» простых чисел Л. Эйлера, сформулированы некоторые решённые и нерешённые задачи, связанные с простыми числами.
3. Занимательные задачи Решения и комментарии
714. а) Почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице
натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа?
б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10 000 первых натуральных чисел?
Решение. а) Когда среди первых 100 натуральных чисел вычеркнули те, которые кратны простым числам 2, 3, 5, 7, вычеркнутыми оказались числа, кратные натуральным числам от 2 до 10. При этом в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 10, есть 11 11 = 121, но оно больше 100 и в таблице его нет.
б) Если чисел будет 150, то «просеивание» надо остановить на простом числе 11, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 12, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 12, есть 13 13 = 169, но оно больше 150 и в таблице его нет.
Если же чисел будет 10 000, то «просеивание» надо остановить на простом числе 97, так как при этом все числа, кратные натуральным числам от 2 до 100, окажутся вычеркнутыми. В этом случае в таблице будут вычеркнуты все составные числа, так как наименьшее составное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел от 2 до 100, есть 101 101 = 10 201, но оно больше 10000 и в таблице его нет.
715. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел: Р
П 2 + п + 41. Для любых ли натуральныхп числоР простое?
Решение. Нет. Для простого числа 41 числоР = 412 + 41+ 41 делится на 1, на 41 и наР , т. е. числоР составное.
718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу
легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.
Решение. Сначала надо убедиться, что получаемая разность всегда будет делиться на 9. Пусть дано трёхзначное числоabc = 100a + 10b +c . Переставим цифры этого числа, например, так:bca = 100b + 10c +a . Если первое число больше второго, то их разностьabc –bca = 100a + 10b +c – 100b – 10c –a = 99a – 90b – 9c
Натуральное число, оно делится на 9. При других перестановках цифр разности 100a –a , 100a – 10a , 10a –a и др. делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9.
Теперь зачёркнутую цифру легко определить, так как сумма цифр разности должна делиться на 9.
Например, если задумали число 347, после перестановки цифр получили 473, тогда разность 473 – 347 = 126. Сумма цифр 1 + 2 + 6 делится на 9, а если зачеркнуть, например, 1, то сумма незачёркнутых цифр 2 + 6 = 8. Так как до ближайшего числа, кратного 9, не хватает 1, то зачёркнутая цифра 1.
721. Старший брат выписал из справочника число 15! (см. задачу719 ), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось (рис. 38).
Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение 1 2 3 ... 15.
Решение. Число 15! делится на 9, так как содержит множитель 9. Сумма оставшихся без кляксы цифр равна
1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38.
Если под кляксой оказалась одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, то сумма
727. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 39). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее? Решите задачу: а) для четырёх колец; б) для пяти колец.
Решение. Это пример задачи, имеющей большой воспитательный потенциал. На её примере можно показать, как математики решение следующей задачи умеют сводить к уже решённой.
Сначала решим задачу для двух колец. Очевидно, что пирамиду из двух колец можно перенести за три хода.
Чтобы перенести пирамиду из трёх колец, сначала перенесём на свободный штырёк пирамиду из двух колец. Для этого требуется 3 хода. Перенесём нижнее кольцо на свободный штырёк. Наконец, опять за три хода перенесем пирамиду из двух колец на тот штырёк, где уже находится большее кольцо. Пирамиду из трёх колец можно перенести за 3 + 1 + 3 = 7 ходов.
а) Рассуждая аналогично, пирамиду из четырёх колец перенесём за 7 + 1
7 = 15 ходов.
б) Пирамиду из пяти колец перенесём за 15 + 1 + 15 = 31 ход.
Глава 4. Обыкновенные дроби
В этой главе изучаются в полном объёме обыкновенные дроби по плану, намеченному в главе 1. Важно, чтобы каждый учащийся понял, что действия с обыкновенными дробями сводятся к нескольким действиям с натуральными числами. Здесь снова вводятся элементы доказательных рассуждений при изучении теоретического материала, а также решение текстовых задач арифметическими способами.
Цели изучения главы:
сформировать у учащихся осознанные умения выполнять арифметические действия над обыкновенными дробями;
продолжить развитие языка и логического мышления учащихся при изучении теоретического материала и при решении текстовых задач арифметическими методами.
4.1. Понятие дроби
В данном пункте учебника вводятся понятия обыкновенной дроби (коротко: дроби), её числителя и знаменателя, рационального числа. Отмечается, что любое натуральное число считается дробью со знаменателем 1. Первый пункт нацелен на формирование понятия дроби и подготовки учащихся к изучению сравнения дробей и арифметических действий с ними. Здесь решаются простейшие задачи на дроби, ведётся подготовка к решению задач на совместную работу. Поэтому надо особенно внимательно отнестись ко всем заданиям пункта, даже если они кажутся простыми. Однако подводить учащихся к формулировкам правил решения таких задач рано, это можно будет сделать при изучении пункта 4.3. А пока главным объектом изучения является дробь, задачи лишь помогают лучше понять, что показывают её числитель и знаменатель.
РТ. При изучении данного пункта можно использовать задания 269–281 .
Решения и комментарии
745. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете?
Решение. В пакете осталось 3 – 1 = 2 кг картофеля, 2 кг составляют2 3 от 3
747. а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли за каждый
Решение. За каждый час выполняли1 часть работы.
748. а) Путник проходит в час1 5 пути. За сколько часов он пройдёт весь
Решение. Путник пройдёт весь путь за 5 ч.
749. а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час?
расстояния.
Замечание. Задания, аналогичные заданиям 747–749 , должны присутствовать в устной работе на ближайших уроках, ответы на них получаются с помощью рассуждений. Лишь после изучения всех действий с дробями эти ответы можно будет получить в результате действий с дробями.
4.2. Равенство дробей
В данном пункте учебника вводится понятие равенства дробей, на конкретных примерах разъясняется, почему, например, 1 2 =2 4 . Вводятся понятия
сокращения дроби и несократимой дроби.
Обратим внимание, что эти разъяснения, данные для длин отрезков (можно было бы дать их для кругов, тортов и т.п.), не доказывают основное свойство дроби, а только иллюстрируют его. Тот факт, что дробь есть частное её числителя и знаменателя, устанавливается пока для того случая, когда числитель дроби делится нацело на знаменатель. Учащимся можно сказать, что позднее (после
изучения деления дробей) будет доказано, например, что 2 3 = 2: 3, поэтому дробь