Все величины, с которыми нам приходится встречаться в физике и, в частности, в одном из ее разделов механики, можно разделить на два типа:
а) скалярные, которые определяются одним действительным положительным или отрицательным числом. Примером таких величин могут служить время, температура;
б) векторные, которые определяются направленным пространственным отрезком прямой (или тремя скалярными величинами) и обладают свойствами, приведенными ниже.
Нулевой вектор или нулевой вектор является вектором с величиной нуля. Оно написано как 0 в этой статье. Векторы, как правило, ориентированы на систему координат, наиболее популярной из которых является двумерная декартова плоскость. Эта статья будет посвящена в основном двумерной системе, хотя концепции могут быть расширены с некоторой осторожностью до трех измерений без особых проблем. Векторы в многоразмерных системах координат могут быть разбиты на их компонентные векторы. Рисунок справа - пример вектора Силы, разбитого на его компоненты.
Примером векторных величин служат сила, скорость, ускорение.
Декартова система координат
Когда речь идет о направленных отрезках, то следует указать объект, по отношению к которому это направление определяется. В качестве такого объекта принимается декартова система координат, составляющими которой являются оси.
Осью называется прямая, на которой указано направление. Три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в точке О, названные соответственно образуют прямоугольную декартову систему координат. Декартова система координат может быть правой (рис. 1) или левой (рис. 2). Эти системы являются зеркальным изображением друг друга и не могут быть совмещены каким-либо перемещением.
При разбиении вектора на его компоненты вектор представляет собой сумму компонентов. В течение многих лет единственная математика, которую изучает ученик, является скалярной математикой. Если вы путешествуете в 5 милях к северу и в 5 милях к востоку, вы проехали 10 миль. Добавление скалярных величин игнорирует всю информацию о направлениях.
Векторы манипулируют несколько иначе. Когда вы добавляете два вектора, это как если бы вы взяли векторы и поместили их в конец, и создали новый вектор, начиная от начальной точки до конечной точки, как показано на рисунке справа. Если векторы имеют одно и то же направление, то это просто означает добавление величин, но если они имеют разные направления, это может стать более сложным.
Во всем дальнейшем изложении всюду принимается правая система координат. В правой системе координат положительное направление отсчета всех углов принимается против часовой стрелки.
Задача с разделением тела на части
Вы добавляете векторы, разбивая их на свои компоненты и добавляя компоненты, как показано ниже. Порядок, в котором вы добавляете векторы, не имеет значения. На самом деле для сложения вектора сохраняются некоторые свойства скалярного сложения. Простейшей операцией, которую можно выполнить на векторе, является ее умножение на скаляр. Это скалярное умножение изменяет величину вектора. Другими словами, он делает вектор длиннее или короче.
При умножении времени на отрицательный скаляр результирующий вектор будет указывать в противоположном направлении. Примеры скалярного умножения на 2 и -1 можно увидеть на диаграмме справа. Скалярное произведение двух векторов является способом их умножения для получения скалярной величины. Это записывается как умножение двух векторов с точкой в середине, представляющей умножение. Таким образом, его часто называют точечным произведением двух векторов.
Это соответствует направлению совмещения осей х с у, если глядеть с положительного направления оси
Свободные векторы
Вектор, характеризуемый только длиной и направлением в заданной системе координат, носит название свободного. Свободный вектор изображается отрезком заданной длины и направления, начало которого расположено в любой точке пространства. На чертеже вектор изображается стрелкой (рис. 3).
Для вычисления точечного произведения двух векторов вы рассматриваете угол между ними, как показано на диаграмме. Другими словами, если бы они разделили одну и ту же начальную точку, каково было бы измерение угла между ними. Точечный продукт определяется как.
Поэтому точечное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю. В этом случае мы умножаем векторы и вместо получения скалярной величины получим векторную величину. Опять же, мы рассмотрим два вектора, взятых из одной и той же точки, с углом между ними. Величина полученного вектора определяется следующим образом. Векторное произведение будет перпендикулярно плоскости, созданной из этих двух векторов. Если вы изображаете плоскость как плоскую на столе, возникает вопрос, будет ли результирующий вектор идти вверх или вниз?
Векторы обозначаются одной жирной буквой или двумя буквами, соответствующими началу и концу стрелки с черточкой над ними или
Величину вектора называют его модулем и обозначают одним из указанных способов
Чтобы понять это, вы должны применить так называемое правое правило. Другими словами, вы пытаетесь сделать угол тета между ладонью и четырьмя пальцами правой руки. Большой палец, в этом случае, будет торчать прямо вверх. Ваши суставы будут грубо выровнены с начальной точкой двух векторов. Мы ежедневно вступаем в контакт со многими физическими величинами в естественном мире. Например, такие вещи, как время, масса, вес, сила и электрический заряд, являются физическими величинами, с которыми мы все знакомы.
Что представляет собой векторная величина?
Мы знаем, что время проходит, а физические объекты имеют массу. Вещи имеют вес из-за силы тяжести. Мы прилагаем силы, когда открываем двери, гуляем по улице и пинаем мячи. Мы испытываем электрический заряд непосредственно через статические удары зимой и используя все, что работает на электричестве.
Равенство векторов
Так как основными характеристиками вектора считаются его длина и направление, то векторы называются равными, если их направления и величины совпадают. В частном случае равные векторы могут быть направлены вдоль одной прямой. Равенство векторов, например а и b (рис. 4), записывается в виде:
Если векторы (а и b) равны по модулю, но диаметрально противо положны по направлению (рис. 5), то это записывается в виде:
Обозначение векторных величин
В природе существует много физических величин, и мы можем разделить их на две широкие группы, называемые векторами и скалярами. Скаляры - это физические величины, которые имеют только числовое значение или размер. Скаляр говорит вам, сколько чего-то есть.
Разложение вектора на составляющие
Скаляр является физической величиной, имеющей только величину. Масса ванны маргарина является скалярной величиной. Векторы различны, поскольку они представляют собой физические величины, которые имеют размер и направление. Вектор говорит вам, сколько чего-то есть и в каком направлении оно находится.
Векторы, имеющие одинаковое или диаметрально противоположное направление, называются коллинеарными.
Умножение вектора на скаляр
Произведение вектора а на скаляр К называется вектор по модулю, равный совпадающий по направлению с вектором а, если К положительно, и диаметрально ему противоположный, если К отрицательно.
Вектор представляет собой физическую величину, которая имеет как величину, так и направление. Например, автомобиль движется на восток вдоль автострады на 100 км ч -1. Здесь мы имеем вектор, называемый скоростью. Машина движется со скоростью 100 км ч -1, и мы знаем, куда она идет - на восток. Эти две величины, скорость и направление автомобиля, вместе образуют вектор, который мы называем скоростью.
Примеры скалярных величин. Массовый электрический заряд имеет только значение, никакого направления. . Примеры векторных величин. Вы нажимаете или тянете что-то с некоторой силой в определенном направлении веса, имеет значение и направление. Ваш вес пропорционален вашей массе и всегда находится в направлении к центру земли. Сила имеет значение и направление. . Векторы отличаются от скаляров и должны иметь собственные обозначения. Существует много способов написания символа для вектора. В этой книге векторы будут отображаться символами со стрелкой, указывающей справа над ней.
Единичный вектор
Вектор, у которого модуль равен единице и направление совпадает с заданным вектором а, называется единичным вектором данного вектора или его ортом. Орт обозначается . Всякий вектор через его орт можно представить в виде
Единичные векторы, расположенные вдоль положительных направлений координатных осей, обозначаются соответственно (рис. 6).
Иногда требуется только величина вектора. В этом случае стрелка опущена. Для случая вектора силы. Хорошо известно, что большинство физических величин, с которыми вы столкнетесь в физике, делятся на две категории. Это либо векторные величины, либо скалярные величины. Чтобы понять, что такое скалярное количество, полезно привести некоторые примеры. Время, скорость, температура и объем - лишь некоторые примеры скалярной величины.
Когда вы рассматриваете единицы, которые определяют, что есть; часов, минут и секунд, они просто представляют собой время. Они не имеют возможности определять направление движения. Этот компонент полностью отсутствует. С другой стороны, когда вы работаете с векторным количеством, вы должны иметь способность представлять его с точки зрения направления.
Сложение векторов
Правило сложения векторов постулируется (оправданием для этого постулата служат наблюдения над реальными объектами векторной природы). Этот постулат заключается в том, что два вектора
Переносят в какую-либо точку пространства так, чтобы начала их совпадали (рис. 7). Направленная диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 7), называется суммой векторов сложение векторов записывается в виде
Скалярное произведение двух векторов
В течение многих лет векторные и скалярные количества были предметом многих дискуссий среди ученых. Для получения четких различий между этими двумя организациями потребовалось много исследований и документов. В настоящее время легко указать, что такое скалярная величина из векторной величины. Чтобы вы могли работать с векторами, вы должны иметь возможность представлять его с точки зрения направления.
Разница между векторной величиной и скалярной величиной достаточно ясна. Благодаря совершенствованию технологии поток стал довольно простым и доступным для всех, кого это интересует. Если вам нужно что-то узнать, все, что вам нужно сделать, это ввести ключевое слово, и оно отображается для вас.
и носит название сложения по правилу параллелограмма.
Указанное правило сложения векторов можно осуществить еще и следующим образом: в любой точке пространства откладывается вектор далее, от конца вектора откладывается вектор (рис. 8). Вектор а, начало которого совпадает с началом вектора а конец - с концом вектора будет суммой векторов
Есть два элемента, которые определяют, что такое векторная величина, без которой ничто не может быть определено как таковое. Точно так же скалярная величина определяется одним элементом. Если этого не хватает, то нет скалярной величины. Величина - единственное, что может определять скалярную величину.
Что представляет собой скалярная величина?
Поэтому основное различие между векторной величиной и скалярной величиной состоит в том, что векторная величина имеет как величину, так и направление, тогда как скалярная величина имеет только величину и направление. Некоторые дополнительные скалярные величины; энергии, массы и плотности. Они также отображают величину, но не могут определять конкретное направление.
Последнее правило сложения векторов удобно, если нужно сложить более чем два вектора. Действительно, если нужно сложить несколько векторов, то, используя указанное правило, следует построить ломаную, сторонами которой являются заданные векторы, причем начало какого-либо вектора совпадает с концом предыдущего вектора. Суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец совпадает с концом последнего вектора (рис. 9). Если заданные векторы образуют замкнутый многоугольник, то говорят, что сумма векторов равна нулю.
Разница между векторной величиной и скалярной величиной заключается в том, что величина в векторе должна быть способна двигаться в заданном направлении. Если он не может двигаться в этом направлении, наука лишает его возможности быть векторной величиной. На одном дыхании скалярная величина имеет только величину, с которой она считается скалярной величиной. Как только он начнет двигаться в заданном направлении, параметры изменяются, и это больше не является величиной в виде скаляра.
Разница между векторной величиной и скалярной величиной заключается в том, что в векторной величине длина вектора изображает величину. С другой стороны, стрелка показывает направление, в котором движется величина. Различия между векторной величиной и скалярной величиной.
Из правила построения суммы векторов следует, что сумма их не зависит от порядка, в котором взяты слагаемые, или сложение векторов коммутативно. Для двух векторов последнее может быть записано в виде:
Вычитание векторов
Вычитание вектора из вектора производится по следующему правилу: строится вектор и из конца его откладывается вектор - (рис. 10). Вектор а, начало которого совпадает с началом
Векторные и скалярные величины
Векторное значение имеет как величину, так и направление. Ричард Карденас преподавал физику в течение 15 лет. В этом уроке вы узнаете, что делает число скалярным. Вы узнаете, как идентифицировать величины, которые являются скалярами, из тех, которые не являются скалярными величинами. Вы также узнаете о числах, которые не похожи на скаляры, но на самом деле являются скалярами.
Положительные и отрицательные величины
Все эти вопросы имеют одну общую черту. Все ответы на эти вопросы называются скалярными величинами. Скаляр представляет собой любую величину, которая требует только величины или размера, чтобы полностью описать ее. Скаляр представляет собой любое число, которое дает вам размер или величину количества, поэтому единицу измерения необходимо присоединить к числу, например, градусам или метрам. Любое случайное число не является скаляром. Например, число 42 бессмысленно, если вы не скажете нам, что 42 - это измерение чего-то вроде расстояния, времени или температуры.
вектора а конец - с концом вектора равен разности векторов и Проведенная операция может быть записана в виде:
Разложение вектора на составляющие
Разложить заданный вектор - это значит представить его как сумму нескольких векторов, которые называются его составляющими.
Что будем делать с полученным материалом
Вы идете в продуктовый магазин, чтобы купить половину авокадо для вашего салата. Вы помещаете авокадо по шкале, а шкала читает 9 граммов. Масштаб считывает массу авокадо, а масса - пример скалярной величины. Это дает вам представление о том, сколько авокадо вы покупаете.
Недоказанная и неопровергнутая гипотеза называется открытой проблемой
Другим примером скаляра является расстояние. Перед тем, как ехать в продуктовый магазин, вы обнулите счетчик поездки вашего автомобиля. Когда вы возвращаетесь домой из продуктового магазина, ваш счетчик пробега читает 5 миль. Счетчик пробега считывает расстояние, пройденное вашим автомобилем. Это дает вам представление о том, как далеко вы путешествовали во время поездки в продуктовый магазин.
Рассмотрим задачу о разложении вектора а, если задано, что составляющие его должны быть направлены по трем координатным осям. Для этого построим параллелепипед, диагональю которого является вектор а и ребра параллельны координатным осям (рис. 11). Тогда, как очевидно из чертежа, сумма векторов расположенных по ребрам этого параллелепипеда, дает вектор а:
Проекция вектора на ось
Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка, который ограничивают плоскости, перпендикулярные к оси, проходящие через начало и конец вектора (рис. 12). Точки пересечения указанных плоскостей с осью (А и В) называются проекцией соответственно начала и конца вектора.
Отсюда для модуля вектора а имеем выражение:
Так как задание вектора его проекциями однозначно, то два равных вектора будут иметь равные координаты.
Сложение векторов через их координаты
Как следует из рис. 13, проекция суммы векторов на ось равна алгебраической сумме их проекций. Следовательно, из векторного равенства:
вытекают три следующих скалярных равенства:
или координаты суммарного вектора равны алгебраической сумме координат составляющих векторов.
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение двух векторов обозначается а b и определяется произведением их модулей на косинус угла между ними:
Скалярное произведение двух векторов можно также определить как произведение модуля одного из векторов на проекцию другого вектора на направление первого вектора.
Из определения скалярного произведения следует, что
т. е. имеет место переместительный закон.
По отношению к сложению скалярное произведение обладает свойством распределительности:
что непосредственно следует из свойства - проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций.
Скалярное произведение через проекции векторов можно записать в виде:
Векторное произведение двух векторов
Векторное произведение двух векторов обозначается axb. Это есть вектор с, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:
Вектор с направлен перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами а и b так, что если смотреть с конца вектора с, то для кратчайшего совмещения вектора а с вектором b первый вектор надо было вращать в положительном направлении (против часовой стрелки; рис. 14). Вектор, представляющий собой векторное произведение двух векторов, называется аксиальным вектором (или псевдовектором). Его направление зависит от выбора системы координат или условия о положительности направления отсчета углов. Указанное направление вектора с соответствует правой системе декартовых осей координат, выбор которой был оговорен ранее.
Из определения векторного произведения следует:
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.
Также образуют стороны и диагональ параллелограмма, т. е.
Так как модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, то численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с. Из геометрической интерпретации векторно-скалярного произведения и его представления в виде детерминанта вытекают следующие свойства:
1. Если векторы а, b, с конпланарны (параллельны одной плоскости), то векторно-скалярное произведение равно нулю.
2. В векторно-скалярном произведении можно совершать циклическую перестановку множителей:
Векторно-векторное произведение трех векторов
Векторно-векторное произведение трех векторов имеет вид:
Пользуясь предыдущими формулами, оно может быть представлено так:
Раскрывая определитель, можно убедиться, что последнее равенство переписывается в виде.
Скорость тела можно определить как расстояние, которое это самое тело проходит за единицу времени. В системе СИ измеряется в м/с (метрах в секунду). Однако в физике скорость рассматривают как расстояние, которое тело проходит в определенном направлении за единицу времени. Так как указывается направление, то скорость становится векторной величиной.
Также нередко в физике понятие «скорость» заменяют на «вектор скорости». Однако часто в русском языке под просто «скоростью» понимают как раз векторную величину. В английском есть два понятия скорости: velocity - скорость как векторная величина, speed - скорость как скалярная величина, обозначающая быстроту перемещения.
Чтобы указать перемещение тела за единицу времени (т. е. его скорость), надо показать 1) насколько переместилось тело за единицу времени и 2) в каком направлении.
На графиках зависимости координаты тела от времени отражается не только скорость тела, но и направление скорости тела. Так, если координата с течением времени увеличивается, то тело движется в положительном направлении. Если координата с течением времени уменьшается, то тело движется в отрицательном направлении. В первом случае скорость будет положительной величиной, во втором отрицательной. Таким образом и отсюда следует, что скорость - векторная величина.
Для прямолинейного равномерного движения координата (x) тела в момент времени t определяется по формуле x = x 0 + vt. Здесь x 0 - координата тела в момент начала измерения (t 0), v - скорость тела, т. е. его перемещение за 1 единицу времени (обычно секунду). Если тело движется в отрицательном направлении оси X, то скорость будет иметь отрицательное значение, и тогда формула примет вид x = x 0 - vt.
Ниже в системе координат изображены графики движения трех тел. По графикам видно, как с течением времени менялись координаты тел. Тело, чей график изображен зеленым цветом, двигалось в положительном направлении оси X (которая изображена вертикально), так как чем больше секунд проходило, тем координата x тела становилась больше. То же самое можно сказать о движении тела, чей график синий. Оранжевый график показывает, что тело двигалось в отрицательном направлении оси X (по вертикали вниз), так как с каждой последующей секундой движения его координата уменьшалась.
«Синее» тело двигалось быстрее «зеленого», так как его график имеет более крутой подъем, т. е. координата с каждой секундой менялась сильнее. Это можно увидеть и по формулам. У одного тела v = 2 м/с, у другого v = 4 м/с. Векторная скорость «оранжевого» тела равна -1 м/с. Минус говорит, что оно двигалось в противоположном положительному направлению. Модуль же скорости равен 1 м/с.
Минус перед численным значением скорости вовсе не значит, что тело двигается медленнее, чем то, у которого плюс. Так тело, имеющее вектор скорости -10 м/с, движется быстрее, чем тело, у которого скорость равна 9 м/с. Минус отражает лишь то, что тело движется в обратном направлении.
То, что скорость в физике принимают за векторную величину, есть в том числе следствие того, что в зависимости от направления движения изменение координаты тела на графике может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Изменение координаты находится как разность между последующим и предыдущим моментом времени. Если, например, тело в момент времени через 5 с от начала измерения было в точке с координатой 12 м, а через 6 с - в точке с координатой 16 м, то изменение равно 16 - 12 = 4 м (величина положительная). Если же тело сначала было в точке 12 м, а потом 8 м, то 8 - 12 = -4 м (величина отрицательная).