Главное значение полученной Карно формулы (5.12.2) для КПД идеальной машины состоит в том, что она определяет максимально возможный КПД любой тепловой машины.
Карно доказал, основываясь на втором законе термодинамики*, следующую теорему: любая реальная тепловая машина, работающая с нагревателем температуры Т 1 и холодильником температуры Т 2 , не может иметь коэффициент полезного действия, превышающий КПД идеальной тепловой машины.
* Карно фактически установил второй закон термодинамики до Клаузиуса и Кельвина, когда еще первый закон термодинамики не был сформулирован строго.
Рассмотрим вначале тепловую машину, работающую по обратимому циклу с реальным газом. Цикл может быть любым, важно лишь, чтобы температуры нагревателя и холодильника были Т 1 и Т 2 .
Допустим, что КПД другой тепловой машины (не работающей по циклу Карно) η’ > η. Машины работают с общим нагревателем и общим холодильником. Пусть машина Карно работает по обратному циклу (как холодильная машина), а другая машина - по прямому циклу (рис. 5.18). Тепловая машина совершает работу, равную согласно формулам (5.12.3) и (5.12.5):
Холодильную
машину всегда можно сконструировать
так, чтобы она брала от холодильника
количество теплоты Q
2
= |
|
Тогда согласно формуле (5.12.7) над ней будет совершаться работа
(5.12.12)
Так как по условию η" > η, то А" > А. Поэтому тепловая машина может привести в действие холодильную машину, да еще останется избыток работы. Эта избыточная работа совершается за счет теплоты, взятой от одного источника. Ведь холодильнику при действии сразу двух машин теплота не передается. Но это противоречит второму закону термодинамики.
Если допустить, что η > η", то можно другую машину заставить работать по обратному циклу, а машину Карно - по прямому. Мы опять придем к противоречию со вторым законом термодинамики. Следовательно, две машины, работающие по обратимым циклам, имеют одинаковые КПД: η" = η.
Иное
дело, если вторая машина работает по
необратимому циклу. Если допустить η"
>
η,
то
мы опять придем к противоречию со вторым
законом термодинамики. Однако допущение
т|" < г| не противоречит второму закону
термодинамики, так как необратимая
тепловая машина не может работать как
холодильная машина. Следовательно, КПД
любой тепловой машины η"
≤
η,
или
Это и есть основной результат:
(5.12.13)
Кпд реальных тепловых машин
Формула (5.12.13) дает теоретический предел для максимального значения КПД тепловых двигателей. Она показывает, что тепловой двигатель тем эффективнее, чем выше температура нагревателя и ниже температура холодильника. Лишь при температуре холодильника, равной абсолютному нулю, η = 1.
Но температура холодильника практически не может быть намного ниже температуры окружающего воздуха. Повышать температуру нагревателя можно. Однако любой материал (твердое тело) обладает ограниченной теплостойкостью, или жаропрочностью. При нагревании он постепенно утрачивает свои упругие свойства, а при достаточно высокой температуре плавится.
Сейчас основные усилия инженеров направлены на повышение КПД двигателей за счет уменьшения трения их частей, потерь топлива вследствие его неполного сгорания и т. д. Реальные возможности для повышения КПД здесь все еще остаются большими. Так, для паровой турбины начальные и конечные температуры пара примерно таковы: Т 1 = 800 К и Т 2 = 300 К. При этих температурах максимальное значение коэффициента полезного действия равно:
Действительное же значение КПД из-за различного рода энергетических потерь приблизительно равно 40%. Максимальный КПД - около 44% - имеют двигатели внутреннего сгорания.
Коэффициент
полезного действия любого теплового
двигателя не может превышать максимально
возможного значения
,
где
Т
1
-
абсолютная
температура нагревателя, а Т
2
-
абсолютная
температура холодильника.
Повышение КПД тепловых двигателей и приближение его к максимально возможному - важнейшая техническая задача.
Определение
Математически определение КПД может быть записано в виде:
η = A Q , {\displaystyle \eta ={\frac {A}{Q}},}где А - полезная работа (энергия), а Q - затраченная энергия.
Если КПД выражается в процентах, то он вычисляется по формуле:
η = A Q × 100 % {\displaystyle \eta ={\frac {A}{Q}}\times 100\%} ε X = Q X / A {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {X} }=Q_{\mathrm {X} }/A} ,где Q X {\displaystyle Q_{\mathrm {X} }} - тепло, отбираемое от холодного конца (в холодильных машинах холодопроизводительность); A {\displaystyle A}
Для тепловых насосов используют термин коэффициент трансформации
ε Γ = Q Γ / A {\displaystyle \varepsilon _{\Gamma }=Q_{\Gamma }/A} ,где Q Γ {\displaystyle Q_{\Gamma }} - тепло конденсации, передаваемое теплоносителю; A {\displaystyle A} - затрачиваемая на этот процесс работа (или электроэнергия).
В идеальной машине Q Γ = Q X + A {\displaystyle Q_{\Gamma }=Q_{\mathrm {X} }+A} , отсюда для идеальной машины ε Γ = ε X + 1 {\displaystyle \varepsilon _{\Gamma }=\varepsilon _{\mathrm {X} }+1}
Наилучшими показателями производительности для холодильных машин обладает обратный цикл Карно : в нём холодильный коэффициент
ε = T X T Γ − T X {\displaystyle \varepsilon ={T_{\mathrm {X} } \over {T_{\Gamma }-T_{\mathrm {X} }}}} ,где T Γ {\displaystyle T_{\Gamma }} , T X {\displaystyle T_{\mathrm {X} }} -
Содержание:В процессе перемещения зарядов внутри замкнутой цепи, источником тока совершается определенная работа. Она может быть полезной и полной. В первом случае источник тока перемещает заряды во внешней цепи, совершая при этом работу, а во втором случае - заряды перемещаются во всей цепи. В этом процессе большое значение имеет КПД источника тока, определяемого, как соотношение внешнего и полного сопротивления цепи. При равенстве внутреннего сопротивления источника и внешнего сопротивления нагрузки, половина всей мощности будет потеряна в самом источнике, а другая половина выделится на нагрузке. В этом случае коэффициент полезного действия составит 0,5 или 50%.
КПД электрической цепи
Рассматриваемый коэффициент полезного действия в первую очередь связан с физическими величинами, характеризующими скорость преобразования или передачи электроэнергии. Среди них на первом месте находится мощность, измеряемая в ваттах. Для ее определения существует несколько формул: P = U x I = U2/R = I2 x R.
В электрических цепях может быть различное значение напряжения и величина заряда, соответственно и выполняемая работа тоже отличается в каждом случае. Очень часто возникает необходимость оценить, с какой скоростью передается или преобразуется электроэнергия. Эта скорость представляет собой электрическую мощность, соответствующую выполненной работе за определенную единицу времени. В виде формулы данный параметр будет выглядеть следующим образом: P=A/∆t. Следовательно, работа отображается как произведение мощности и времени: A=P∙∆t. В качестве единицы измерения работы используется .
Для того чтобы определить, насколько эффективно какое-либо устройство, машина электрическая цепь или другая аналогичная система, в отношении мощности и работы используется КПД - коэффициент полезного действия. Данная величина определяется как отношение полезно израсходованной энергии, к общему количеству энергии, поступившей в систему. Обозначается КПД символом η, а математически определяется в виде формулы: η = A/Q x 100% = [Дж]/[Дж] х 100% = [%], в которой А - работа выполненная потребителем, Q - энергия, отданная источником. В соответствии с законом сохранения энергии, значение КПД всегда равно или ниже единицы. Это означает, что полезная работа не может превышать количество энергии, затраченной на ее совершение.
Таким образом, определяются потери мощности в какой-либо системе или устройстве, а также степень их полезности. Например, в проводниках потери мощности образуются, когда электрический ток частично превращается в тепловую энергию. Количество этих потерь зависит от сопротивления проводника, они не являются составной частью полезной работы.
Существует разница, выраженная формулой ∆Q=A-Q, наглядно отображающей потери мощности. Здесь очень хорошо просматривается зависимость между ростом потерь мощности и сопротивлением проводника. Наиболее ярким примером служит лампа накаливания, КПД у которой не превышает 15%. Остальные 85% мощности превращаются в тепловое, то есть в инфракрасное излучение.
Что такое КПД источника тока
Рассмотренный коэффициент полезного действия всей электрической цепи, позволяет лучше понять физическую суть КПД источника тока, формула которого также состоит из различных величин.
В процессе перемещения электрических зарядов по замкнутой электрической цепи, источником тока выполняется определенная работа, которая различается как полезная и полная. Во время совершения полезной работы, источника тока перемещает заряды во внешней цепи. При полной работе, заряды, под действием источника тока, перемещаются уже по всей цепи.
В виде формул они отображаются следующим образом:
- Полезная работа - Аполез = qU = IUt = I2Rt.
- Полная работа - Аполн = qε = Iεt = I2(R +r)t.
На основании этого, можно вывести формулы полезной и полной мощности источника тока:
- Полезная мощность - Рполез = Аполез /t = IU = I2R.
- Полная мощность - Рполн = Аполн/t = Iε = I2(R + r).
В результате, формула КПД источника тока приобретает следующий вид:
- η = Аполез/ Аполн = Рполез/ Рполн = U/ε = R/(R + r).
Максимальная полезная мощность достигается при определенном значении сопротивления внешней цепи, в зависимости от характеристик источника тока и нагрузки. Однако, следует обратить внимание на несовместимость максимальной полезной мощности и максимального коэффициента полезного действия.
Исследование мощности и КПД источника тока
Коэффициент полезного действия источника тока зависит от многих факторов, которые следует рассматривать в определенной последовательности.
Для определения , в соответствии с законом Ома, существует следующее уравнение: i = E/(R + r), в котором Е является электродвижущей силой источника тока, а r - его внутренним сопротивлением. Это постоянные величины, которые не зависят от переменного сопротивления R. С их помощью можно определить полезную мощность, потребляемую электрической цепью:
- W1 = i x U = i2 x R. Здесь R является сопротивлением потребителя электроэнергии, i - ток в цепи, определяемый предыдущим уравнением.
Таким образом, значение мощности с использованием конечных переменных будет отображаться в следующем виде: W1 = (E2 x R)/(R + r).
Поскольку представляет собой промежуточную переменную, то в этом случае функция W1(R) может быть проанализирована на экстремум. С этой целью нужно определить значение R, при котором величина первой производной полезной мощности, связанная с переменным сопротивлением (R) будет равной нулю: dW1/dR = E2 x [(R + r)2 - 2 x R x (R + r)] = E2 x (Ri + r) x (R + r - 2 x R) = E2(r - R) = 0 (R + r)4 (R + r)4 (R + r)3
Из данной формулы можно сделать вывод, что значение производной может быть нулевым лишь при одном условии: сопротивление приемника электроэнергии (R) от источника тока должно достичь величины внутреннего сопротивления самого источника (R => r). В этих условиях значение коэффициента полезного действия η будет определяться как соотношение полезной и полной мощности источника тока - W1/W2. Поскольку в максимальной точке полезной мощности сопротивление потребителя энергии источника тока будет таким же, как и внутреннее сопротивление самого источника тока, в этом случае КПД составит 0,5 или 50%.
Задачи на мощность тока и КПД
Общие положения
Коэффициент полезного действия определяется как отношение полезной, или отдаваемой, мощности P 2 к потребляемой мощности P 1:
Современные электрические машины имеют высокий коэффициент полезного действия (к. п. д.). Так, у машин постоянного тока мощностью 10 кВт к. п. д. составляет 83 – 87%, мощностью 100 кВт – 88 – 93% и мощностью 1000 кВт – 92 – 96%. Лишь малые машины имеют относительно низкие к. п. д.; например, у двигателя постоянного тока мощностью 10 Вт к. п. д. 30 – 40%.
Кривая к. п. д. электрической машины η = f (P 2) сначала быстро растет с увеличением нагрузки, затем к. п. д. достигает максимального значения (обычно при нагрузке, близкой к номинальной) и при больших нагрузках уменьшается (рисунок 1). Последнее объясняется тем, что отдельные виды потерь (электрические I а 2 r а и добавочные) растут быстрее, чем полезная мощность.
Прямой и косвенный методы определения коэффициента полезного действия
Прямой метод определения к. п. д. по экспериментальным значениям P 1 и P 2 согласно формуле (1) может дать существенную неточность, поскольку, во-первых, P 1 и P 2 являются близкими по значению и, во-вторых, их экспериментальное определение связано с погрешностями. Наибольшие трудности и погрешности вызывает измерение механической мощности.
Если, например, истинные значения мощности P 1 = 1000 кВт и P 2 = 950 кВт могут быть определены с точностью 2%, то вместо истинного значения к. п. д.
η = 950/1000 = 0,95
можно получить
Поэтому ГОСТ 25941-83, "Машины электрические вращающиеся. Методы определения потерь и коэффициента полезного действия", предписывает для машин с η% ≥ 85% косвенный метод определения к. п. д., при котором по экспериментальным данным определяется сумма потерь p Σ .
Подставив в формулу (1) P 2 = P 1 - p Σ , получим
| (3) |
Применив здесь подстановку P 1 = P 2 + p Σ , получим другой вид формулы:
  | (4) |
Так как более удобно и точно можно измерять электрические мощности (для двигателей P 1 и для генераторов P 2), то для двигателей более подходящей является формула (3) и для генераторов формула (4). Методы экспериментального определения отдельных потерь и суммы потерь p Σ описываются в стандартах на электрические машины и в руководствах по испытанию и исследованию электрических машин. Если даже p Σ определяется со значительно меньшей точностью, чем P 1 или P 2 , при использовании вместо выражения (1) формул (3) и (4) получаются все же значительно более точные результаты.
Условия максимума коэффициента полезного действия
Различные виды потерь различным образом зависят от нагрузки. Обычно можно считать, что одни виды потерь остаются постоянными при изменении нагрузки, а другие являются переменными. Например, если генератор постоянного тока работает с постоянной скоростью вращения и постоянным потоком возбуждения, то механические и магнитные потери являются также постоянными. Наоборот, электрические потери в обмотках якоря, добавочных полюсов и компенсационной изменяются пропорционально I а ², а в щеточных контактах – пропорционально I а. Напряжение генератора при этом также приблизительно постоянно, и поэтому с определенной степенью точности P 2 ∼ I а.
Таким образом, в общем, несколько идеализированном случае можно положить, что
где p 0 – постоянные потери, не зависящие от нагрузки; p 1 – значение потерь, зависящих от первой степени k нг при номинальной нагрузке; p 2 – значение потерь, зависящих от квадрата k нг, при номинальной нагрузке.
Подставим P 2 из (5) и p Σ из (7) в формулу к. п. д.
| (8) |
Установим, при каком значении k нг к. п. д. достигает максимального значения, для чего определим производную d η/dk нг по формуле (8) и приравняем ее к нулю:
Это уравнение удовлетворяется, когда его знаменатель равен бесконечности, т. е. при k нг = ∞. Этот случай не представляет интереса. Поэтому необходимо положить равным нулю числитель. При этом получим
Таким образом, к. п. д. будет максимальным при такой нагрузке, при которой переменные потери k нг ² × p 2 , зависящие от квадрата нагрузки, становятся равными постоянным потерям p 0 .
Значение коэффициента нагрузки при максимуме к. п. д., согласно формуле (9),
| (10) |
Если машина проектируется для заданного значения η макс, то, поскольку потери k нг × p 1 обычно относительно малы, можно считать, что
p 0 + p 2 ≈ p Σ = const.
Изменяя при этом соотношение потерь p 0 и p 2 , можно достичь максимального значения к. п. д. при различных нагрузках. Если машина работает большей частью при нагрузках, близких к номинальной, то выгодно, чтобы значение k нг [смотрите формулу (10)] было близко к единице. Если машина работает в основном при малых нагрузках, то выгодно, чтобы значение k нг [смотрите формулу (10)] было соответственно меньше.
Допустим, мы отдыхаем на даче, и нам нужно принести из колодца воды. Мы опускаем в него ведро, зачерпываем воду и начинаем поднимать. Не забыли, какова наша цель? Правильно: набрать воды. Но взгляните: мы поднимаем не только воду, но и само ведро, а также тяжёлую цепь, на которой оно висит. Это символизирует двухцветная стрелка: вес поднимаемого нами груза складывается из веса воды и веса ведра и цепи.
Рассматривая ситуацию качественно , мы скажем: наряду с полезной работой по подъёму воды мы совершаем и другую работу – подъём ведра и цепи. Разумеется, без цепи и ведра мы не смогли бы набрать воды, однако, с точки зрения конечной цели, их вес «вредит» нам. Если бы этот вес был бы меньше, то и полная совершённая работа тоже была бы меньше (при той же полезной).
Теперь перейдём к количественному изучению этих работ и введём физическую величину, называемую коэффициентом полезного действия .
Задача. Яблоки, отобранные для переработки, грузчик высыпает из корзин в грузовик. Масса пустой корзины 2 кг, а яблок в ней – 18 кг. Чему равна доля полезной работы грузчика от его полной работы?
Решение. Полной работой является перемещение яблок в корзинах. Эта работа складывается из подъёма яблок и подъёма корзин. Важно: поднятие яблок – полезная работа, а поднятие корзин – «бесполезная», потому что цель работы грузчика – переместить только яблоки.
Введём обозначения: Fя – сила, с которой руки поднимают вверх только яблоки, а Fк – сила, с которой руки поднимают вверх только корзину. Каждая из этих сил равна соответствующей силе тяжести: F=mg.
Пользуясь формулой A = ±(F||· l) , «распишем» работы этих двух сил:
Aполезн = +Fя · lя = mя g · h и Aбесполезн = +Fк · lк = mк g · h
Полная работа складывается из двух работ, то есть равна их сумме:
Aполн = Aполезн + Aбесполезн = mя g h + mк g h = (mя + mк) · g h
В задаче нас просят вычислить долю полезной работы грузчика от его полной работы. Сделаем это, поделив полезную работу на полную:
В физике такие доли принято выражать в процентах и обозначать греческой буквой «η» (читается: «эта»). В итоге получим:
η = 0,9 или η = 0,9 ·100% = 90% , что то же самое.
Это число показывает, что из 100% полной работы грузчика доля его полезной работы составляет 90%. Задача решена.
Физическая величина, равная отношению полезной работы к полной совершённой работе, в физике имеет собственное название – КПД – коэффициент полезного действия :
После вычисления КПД по этой формуле его принято умножать на 100%. И наоборот: для подстановки КПД в эту формулу его значение нужно перевести из процентов в десятичную дробь, поделив на 100%.