Площадь и периметр – две численные характеристики, часто используемые в геометрии. Для их вычисления применяют одни и те же параметры, но смысл конечных величин имеет принципиальные различия. На упаковке многих товаров указывается площадь или размеры сторон в виде A х B (если речь идет о товаре, одна из сторон которого имеет форму прямоугольника).
Поэтому он предлагает следующие приближения. В результате формулы, предложенной Бодхаяной, и с учетом ошибки в приближении, которую можно считать пренебрежимо малой. В рамках концепции мира, в которой был джайнизм, земля стала круговым островом с диаметром в 000 йоджанн. Поскольку астрономического развития еще не было, как будет известно позже, это, вероятно, является причиной дальнейшего изучения в окружности и ее основных элементов, таких как круговой сегмент или длина струны, которые, похоже, не появляются строительства алтарей, вопрос, который, с другой стороны, в то время снижался в процентах.
Определение
Площадь – величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура.
Периметр – размер границ (контура) геометрической фигуры.
Понятия применимы для каждой геометрической фигуры и выражаются в различных единицах. Расчет периметра и площади определяется единицами измерения параметров, используемых для их вычисления: длин сторон, диаметра, высоты. В геометрии указанные параметры чаще всего измеряются в мм, см, м.
Этот математик Умасвати предлагает ряд отношений между этими элементами окружности. Принимая сначала равенство, его вычет относительно прост, учитывая прямоугольник треугольника, образованный полуторкой и двумя радиостанциями, как показано на рисунке. По теореме Пифагора будет установлено, что выполняется равенство.
Который когда-то был разрешен, приводит к равенству. Происхождение этого числа может быть в надписи экзагона в пределах круга, классической формы, уже к тому времени приближающейся к длине окружности. Так что общий периметр додекагона, приближение к длине окружности, будет следующим.
Сравнение
Периметр обозначается заглавной буквой P , используется при измерении многоугольников и определяется как сумма длин его сторон. Площадь обозначается буквой S и может быть использована как численная характеристика поверхности, имеющей различный контур, в том числе искривленный. Понятие «квадратура» частично отражает смысл площади, в основе которой положено измерение квадрата поверхности.
Из этого приближения следует, что дуга отрезка совпадает в этом частном случае с полукруг. Придя к выражению, которое может быть обобщено. Он сделал третью часть своих наличных денег и оставил столько золотых фишек, сколько у него было пятьсот долларов до этого, и у него было целых пятьсот долларов, прежде чем он получил грабеж.
Сколько золота вышло из дома Гау? Первая и последняя цифра цифры, представляющая общую стоимость индюков, заменяется звездой, потому что счет погашен и становится неразборчивым. Какова была цена одной индейки? О том, где была начата встреча, если в это время минуты и час изменились местами.
Простейший случай – квадрат. Длины его сторон равны, поэтому для вычисления периметра достаточно умножить одну сторону на 4. Формула выглядит так:
Р = a + a + a + a = a х 4, где а – сторона квадрата.
Для вычисления площади квадрата используется другая формула:
S = a х a = a 2 .
Выводы сайт
- В случае с периметром речь идет о размерах контура, в случае площади – о размерах поверхности.
- Единица измерения S определяется как квадрат единицы измерения характеристик поверхности, для периметра она равна единице измерения сторон многоугольника.
- Периметр характеризует размеры многоугольника, площадь – более широкое понятие, применимое для поверхностей с различным контуром.
- Формулы для определения площадей сильно различаются, а для определения периметра достаточно просто сложить стороны многоугольника.
Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «периметр». Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром. Решение изопериметрической задачи является также решением и другой задачи, а именно: найти фигуру наименьшего периметра среди всех равновеликих фигур.
Задача 125 Решение. В прямоугольнике одна сторона - две трети другой. От гребня прямоугольника до центра длинной стороны была проведена секция. Он делит прямоугольник на две фигуры: тройную с окружностью 12 и трапецию с равной окружностью. Какова окружность этого прямоугольника?
Задача 126 Решение. Все три возможных номера записываются с использованием трех разных цифр. Сколько стоит сумма этих трех разных фигур? Задача 127 Решение Три пастбища покрыты травой с одинаковой плотностью и быстро растут. Они имеют следующие области: 5 5 6 га, 2 6 7 га и 8 га. Трава на первом пастбище 70 была съедена через 12 недель, трава на втором пастбище 30 съела за 14 недель. Сколько вы питаетесь на третьем пастбище в течение 21 недели?
В самом деле, пусть среди фигур, имеющих периметр наибольшая площадь – у фигуры и эта площадь равна Рассмотрим произвольную другую фигуру той же площади. Пусть ее периметр равен Рассмотрим подобную ей фигуру с периметром Площади фигур и относятся так же, как квадраты периметров, то есть как к , поэтому площадь фигуры равна Поскольку ее периметр, по предположению, равен ее площадь меньше, чем у фигуры то есть меньше А значит, откуда Получается, что фигура имеет меньший периметр, чем любая другая равновеликая ей фигура.
Задача 128 Моторная лодка от Торуни до Гда-Ска переходит в Висла ± 5 часов и обратно до 7 часов. Сколько часов - поплавки по дереву из Торуна в Гданьск? Какова окружность тройки, вершина которой является центром этих кругов? Задача 131 Решение Мальчик был убит в лесу, который имеет треугольную форму. Он не знает размеров леса, но при использовании специального устройства он обнаружил, что он находится в 6 км от одной из вершин, в 8 км от вершины и в 10 км от третьей вершины. Какова поверхность этого леса?
Задача 132 Решение Какое сейчас время, если остаток дня составляет 25% от дня, который уже истек? Задача 133 Решение Первая гипотеза: вторая гипотеза ложна, третья гипотеза верна, вторая гипотеза: четвертая гипотеза верна, а шестая гипотеза ложна. Гипотеза 3: Гипотеза 4 ложна, гипотеза верна, гипотеза 4: Обе гипотезы верны, а гипотеза верна: гипотеза верна, а гипотеза ложна. гипотеза шесть: гипотеза четыре ложна, гипотеза верна.
Вообще, поскольку у подобных фигур площади пропорциональны квадратам периметров, у всех них одинакова величина S
/p
2 , а у фигур разной формы эта величина может отличаться. У фигур, представляющих решение изопериметрической задачи (независимо от размера), величина S
/p
2 должна быть наибольшей.
(В дальнейшем будем называть эту величину изопериметрическим частным
).
По крайней мере одна из этих гипотез верна. Задача 134 Решение Три миссионера и три людоеда хотят пересечь реку. У них есть кровать, в которую можно вместить не более двух человек одновременно. Если в какой-то момент на любом берегу реки каннибалы будут больше миссионеров, миссионеры будут съедены. Могут ли целые шесть безопасно перебраться на другой берег?
Задача 135 Решение Чтобы сделать перпендикулярный аквариум, основание которого составляет 40 см × 70 см, использовано стекло 138 дм 2. Сколько литров воды может соответствовать аквариуму? Какая часть площади лужайки является срезанной площадью после двух раундов газонокосилки вдоль берегов? Задача 137 Решение. Для выполнения конкретной работы было использовано несколько сотрудников. Если бы три сотрудника были наняты, они могли бы закончить работу 9 дней назад. Если один сотрудник был занят меньше, количество дней, необходимых для выполнения работы, увеличилось бы на одну четверть.
Заметим, что задача о наименьшей площади фигур с одним и тем же периметром особого смысла не имеет: например, при данном периметре p можно делать все меньше и меньше одну из сторон прямоугольника (a ), другая же его сторона, равная (p /2 – a ), ограничена сверху величиной p /2, а значит, площадь этой фигуры будет не больше ap /2. Даже если, например, p = 1 000 000 км, можно сделать площадь S < 0, 000 001 мм 2 , если положить a = 2∙10 –8 мм; если надо получить еще в 1000 раз меньшую площадь, надо и a уменьшить в 1000 раз, и т. д. Таким образом, минимальной площади при данном периоде не существует: площадь может сколь угодно мало отличаться от нуля.
По аналогии с указанной изопериметрической задачей на плоскости можно рассмотреть и пространственную изопериметрическую задачу: какое трехмерное тело среди всех тел той же площади поверхности имеет наибольший объем. Уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра (или равной площади поверхности). Посмотрите на зависимость изопериметрического частного от формы плоских фигур.
Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности. Характерно также, что кошки, когда холодно, спят, максимально сворачиваясь в клубок: так они уменьшают площадь поверхности тела, поскольку, чем меньше поверхность, тем меньше тепла они расходуют во внешнее пространство.
В третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой (она максимально симметрична, именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты). Это соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.
Но вот геометрически древние греки доказать этого не могли, хотя и пришли к ряду частных, но важных результатов на эту тему, в том числе, в решении разнообразных задач о том, у какой фигуры определенного типа с заданными условиями площадь имеет наибольшее значение. Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей кусков большого периметра и маленькой площади; периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка земли по периметру.
Наверное, один из самых простых результатов на тему изопериметрических фигур – теорема о том, что из всех прямоугольников одинакового периметра наибольшую площадь имеет квадрат. В самом деле, пусть периметр всех рассматриваемых прямоугольников равен 4 a , а у данного прямоугольника две большие стороны равны (a + x ) каждая, а две меньшие, соответственно, (a – x ) каждая. Тогда площадь прямоугольника равна (a + x ) (a – x ) = a 2 – x 2 , то есть она не меньше a 2 и достигает своего наибольшего значения тогда, когда прямоугольник является квадратом со стороной a .
В «Началах» Евклида имеется единственная задача на максимум площади. Требуется в данный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Попробуйте экспериментальным путем найти искомый параллелограмм.
Зенодор (II в. до н. э.) написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:
Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.
Нельзя не упомянуть об очень древней задаче, известной как задача Дидоны. Согласно древнему мифу, воспроизведенному в поэме Вергилия «Энеида», будущая основательница Карфагена – Дидона (вероятно, IX в. до н. э.) – бежала от преследований своего брата, тирана финикийского города Тир, на корабле с небольшим отрядом преданных ей людей. Они высадились на североафриканском побережье, принесли богатые подарки местному царю и попросили о выделении им участка; царь согласился отдать лишь «столько земли, сколько занимает воловья шкура». Тогда Дидона сделала из шкуры длинный тонкий ремень и огородила им значительную территорию на берегу моря, где и возник город Карфаген. Задачей Дидоны традиционно называется задача о том, какую форму должен иметь этот участок, чтобы занять наибольшую территорию при заданной длине ремня. Рассмотрим эту задачу для случая, когда берег прямолинеен. Пусть ремень имеет длину L и опоясывает некую фигуру Ф 1 . Отразим ее относительно берега. Тогда ремень и его отражение вместе являются границей (длины 2 L ) новой фигуры Ф 2 , составленной из фигуры Ф 1 и ее отражения. Если решение изопериметрической задачи – круг, то площадь Ф 2 (при данном периметре 2 L ) максимальна, когда Ф 2 – круг. Но поскольку площадь Ф 2 ровно в 2 раза больше, чем у Ф 1 , площадь Ф 1 тоже максимальна, если Ф 2 – круг, а ремень, соответственно, образует полуокружность.
 |
|
Рис. 7. Задача Дидоны |