Импульсом тела (количеством движения) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела m на его скорость \(~\vec \upsilon\) и направленная так же, как и скорость (рис. 1):
\(~\vec p = m \vec \upsilon . \qquad (1)\)
Единицей импульса тела в СИ является килограмм-метр на секунду кг·м/с.
Пусть скорость тела под действием силы \(~\vec F\)изменяется за время Δt от \(~\vec \upsilon_0\) до \(~\vec \upsilon\). Согласно основному уравнению динамики \(~\vec F = m \vec a\). Учитывая, что \(~\vec a = \frac{\vec \upsilon - \vec \upsilon_0}{\Delta t}\), получим
\(~\vec F \Delta t = m \vec \upsilon - m \vec \upsilon_0 \Rightarrow \vec F \Delta t = \vec p - \vec p_0 = \Delta \vec p \Rightarrow \Delta \vec p = \vec F \Delta t. \qquad (2)\)
Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы : F Δt . Единицей импульса силы является ньютон-секунда (Н·с).
Формула (2) выражает второй закон Ньютона, который может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей сил, действующих на данное тело .
Отсюда видно, что импульс тела изменяется под действием данной силы одинаково у тел любой массы, если только время действия сил одинаково .
Импульс тела, как и скорость, зависит от выбора системы отсчета. Ускорение движения тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, сила, а значит, согласно (2) и изменение импульса тела не зависит от выбора системы отсчета. В любой инерциальной системе отсчета изменение импульса тела одинаково .
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 54.
Урок № 15
Тема. Импульс. Закон сохранения импульса
Цель: ознакомить учеников с понятиями «импульс тела» и «импульс силы»; дать представление о сущности закона сохранения импульса.
Тип урока: урок изучения нового материала.
План урока
Контроль знаний |
1. Каково соотношение между массами и ускорениями тел, которые взаимодействуют между собой? 2. Что характеризует ускорение в механическом движении? 3. Зависит от силы в механическом движении? |
|
Демонстрации |
1. Взаимодействие двух шаров, двух тележек. 2. Демонстрация сохранения импульса при взаимодействии тел |
|
Изучение нового материала |
1. Передача движения от одного тела к другому. Во время их взаимодействия. 2. Импульс тела и импульс силы. 3. Закон сохранения импульса |
|
Закрепление изученного материала |
Самостоятельная работа |
Изучение нового материала
2. Импульс тела и импульс силы
Пусть два шара массами m 1 и m 2 движутся со скоростями 0 и u 0. В определенный момент времени они начинают взаимодействие, что продолжается Δt . При этом механическое движение передается от одного шара к другой. В результате взаимодействия скорости шаров становятся одинаковыми 1 и u 1 .
В соответствии с третьим законом Ньютона F 12 = -F 21 . Но F12 = m1a1 , а F21 = m2a2. Итак, m1a1 = -m2a2. Ускорения, полученные пулями во время взаимодействия, равны:
Подставляя значения ускорения в предыдущее равенство, получим:
Из последнего равенства видно, что изменение скорости тел, которые взаимодействуют, будет разной, но изменение величины произведения будет одинаковой в обоих тел.
Величина m получила название импульса тела. Она является мерой механического движения. Во время взаимодействия происходит передача импульса от одного тела к другому.
Импульс тела - векторная величина, направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.
Единицей измерения импульса в СИ является = (кг·м)/с. Если на тело действует сила, скорость тела изменяется. Следовательно, изменяется и импульс тела p = m . Изменение импульса Δp = Δ(m ) = m Δ . Поскольку Δ = a ·Δt , получаем Δp = ma · Δt . Поскольку ma = F , можно записать: Δp = FΔt .
Произведение силы F на время ее действия Δt называется импульсом силы. Единица измерения импульса силы в СИ - H / c . Поскольку, [ H ] = (кг·м)/с2 единица измерения импульса силы совпадает с единицей измерения импульса тела.
Последнее уравнение показывает, что если импульс тела изменяется за очень короткий интервал времени, то при этом возникают большие силы (удар, толчок, столкновение).
Если же нужно избежать слишком больших сил, увеличивают время действия силы.
Если переписать равенство m 11 - m 10 = m 2u 0 - m 2u 1 в виде m 11 + m 2u 1 = m 10 + m 2u 0, то станет понятным, что сумма импульсов двух тел после взаимодействия равна сумме импульсов этих тел до взаимодействия.
Этот вывод можно обобщить и для случая взаимодействия нескольких тел - важно лишь, чтобы система этих тел была замкнутой, то есть чтобы тела взаимодействовали только друг с другом и не взаимодействующих с другими телами.
Итак, формулируем закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействий тел друг с другом:
Качественные задачи
1. Или на одинаковое расстояние можно бросить камень вперед: а) стоя на земле; б) стоя на коньках на льду?
2. Метеорит сгорает в атмосфере, не достигая поверхности Земли. Что происходит при этом с его импульсом?
3. Почему человек может бежать по очень тонкому льду, но не может стоять на нем, не проваливаясь?
4. Может ли человек, стоящий на идеально ровном горизонтальном ледовой площадке, сдвинуть с места, не упираясь острыми предметами в лед?
5. Почему пуля, вылетев из ружья, не разбивает оконное стекло на осколки, а образует в нем круглое отверстие?
6. Чтобы сойти на берег, лодочник направился от кормы лодки к ее носовой части. Почему при этом лодка отошел от берега?
Расчетные задачи
1. Тележка массой m 1 = 120 кг катится со скоростью 1 = 6 м/c . Человек, которая бежала навстречу тележке со скоростью 2 = 9 км/ч., прыгает в тележку. С какой скоростью v движется после этого тележка, если масса человека m 2 = 60 кг?
Дано: m 1 = 120 кг, 1 = 6 м/ c , m 2 = 60 кг, 2 = 9 км/ч. = 2,5 м/ c .
Найти: - ?
Возьмем ось Ox в направлении движения тележки, тогда
Внешними силами, действующими на систему «тележка + человек» в направлении оси Ox , можно пренебречь. Следовательно, проекция полного импульса системы на эту ось сохраняется:
Ответ: = 3,2 м/ c .
Самостоятельная работа «Импульс тела»
Начальный уровень
1. Которой является масса тела, если его импульс равен 500 кг(м/c ), а скорость 20 м/c ?
2. Шарик массой 500 г равномерно катится со скоростью 2 м/ c . Чему равен импульс тела?
Средний уровень
1. С какой скоростью должна лететь хоккейная шайба массой 160 г, чтобы ее импульс был равен импульсу пули массой 8 г, летящей со скоростью 600 м/ c ?
2. С какой силой действует молоток массой 0,5 кг на гвоздь во время удара, если скорость молотка перед ударом 2 м/ c ? Считайте, что удар длился 0,01 с.
Достаточный уровень
1. Движение материальной точки, масса которой 3 кг, описывается уравнением: x = 25 - 10t + 2t 2. Найдите изменение импульса тела за первые 8 с ее движения. Найдите импульс силы, вызвавшей это изменение, за это же время.
2. Стальной шарик массой 0,05 кг падает с высоты 5 м на стальную плиту. После столкновения шарик отскакивает от плиты с такой же по модулю скоростью. Найдите силу, действующую на плиту во время удара, считая ее постоянной. Время столкновения равна 0,01 с.
Высокий уровень
1. а) можно Ли утверждать, что импульс тела является относительным? Ответ обоснуйте.
б) Шарик массой 200 г, падала вертикально, ударилась об пол со скоростью 5 м/ c и подпрыгнула на высоту 46 см. Найдите изменение импульса шарика при ударе.
2. а) Почему пуля, вылетев из ружья, не может отворить дверь, но пробивает в них отверстие, тогда как давлением пальца дверь отворить легко, но проделать отверстие невозможно?
б) Мяч массой 150 г ударяется о гладкую стенку под углом 30° к ней и отскакивает без потери скорости. Найдите среднюю силу, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча 10 м/c , а продолжительность удара 0,1 с.
Домашнее задание
С высоты 80 м без начальной скорости отпустили чугунное ядро массой 20 кг. На какой высоте его импульс равен 400 кг(м/c )?
Задачи, решаемые на уроке
1. Какое из тел имеет больший импульс: автобус массой 8 т, движущийся со скоростью 18 км/ч., или снаряд массой 6 кг, летящий со скоростью 500 м/ c ? (Ответ: автобус.)
2. Стальной шар движется со скоростью 2 м/ c , а алюминиевый шар такого же радиуса - со скоростью 6 м/ c . Какая из шаров имеет больший импульс? (Ответ: алюминиевая пуля.)
3. Координата тела изменяется по закону x = -6 + 3 t - 0,25 t 2 , а импульс - по закону px = 12 - 2 t . Найдите массу тела и силу, что действует на него.
4. На тело массой 2 кг, начальная скорость движения которого -2 м/c , действует в положительном направлении оси Ox стала сила 6 Н. Запишите закон изменения скорости x (и) и импульса px (t ) тела.
5 . Мальчик, стоя на роликовых коньках, отбил мяч, который летел горизонтально, так, что направление движения мяча изменился на противоположный. При этом мальчик вступил скорости 0,2 м/ c , а скорость мяча по модулю не изменилась. Какой скорости приобрел бы мальчик, если бы скорость мяча после удара удвоилось?
6 . Пустая железнодорожная платформа, которая двигалась со скоростью 1 м/ c , после столкновения с нагруженной платформой начала двигаться в обратном направлении со скоростью 0,6 м/c . Груженая платформа получила в результате удара скорости 0,4 м/c . С какой скоростью двигались платформы, если бы во время удара сработала автосцепка?
Вопросы.
1. Что называют импульсом тела?
2. Что можно сказать о направлениях векторов импульса и скорости движущегося тела?
Направление вектора скорости v совпадает с направлением вектора скорости v движущегося тела.
3. Что принимают за единицу импульса?
За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой 1 кг, движущегося со скоростью 1 м/с, т.е. 1 кг * м/с (килограмм-метр в секунду).
4. Как ставился опыт, изображенный на рисунке 42, и о чем он свидетельствует?
Описание опыта см. стр. 79-80. Вывод: Этот опыт свидетельствует, что импульс системы из двух шариков остается постоянным.
5. Что означает утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую систему?
Под замкнутой системой понимается такая система на которую не действуют внешние силы. Иными словами тела образуют замкнутую систему, если они взаимодействуют только друг с другом.
6. Сформулируйте закон сохранения импульса.
7. Для замкнутой системы, состоящей из двух тел, запишите закон сохранения импульса в виде уравнения, в которое входили бы масса и скорости этих тел. Поясните, что означает каждый символ в этом уравнении.
.jpg)
Упражнения.
1. Две игрушечные заводные машины, массой по 0,2 кг каждая, движутся прямолинейно навстречу друг другу. Скорость каждой машины относительно Земли равна 0,1 м/с. Равны ли векторы импульсов машин? модули векторов импульсов? Определите проекцию импульса каждой из машин на ось Х, параллельную их траектории.
.jpg)
2. На сколько изменится (по модулю) импульс автомобиля массой 1т при изменении его скорости от 54 км/ч до 72 км/ч?
.jpg)
3. Человек сидит в лодке, покоящейся на поверхности озера. В какой-то момент он встаёт и идёт с кормы на нос. Что произойдет при этом с лодкой? Объясните явление на основе закона сохранения импульса.
Так как импульс системы до начала движения человека p =0, то после его движения, по закону сохранения импульса лодка должна начать двигаться в противоположном направлении.
4. Железнодорожный вагон массой 35 т подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой 28 т и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью 0,5 м/с. Какова была скорость вагона массой 35 т перед сцепкой?
Произведение массы тела на его скорость называют импульсом или мерой движения тела. Он относится к векторным величинам. Его направление сонаправлено вектору скорости тела.
Вспомним второй закон механики:
Для ускорения верно соотношение: 
,
Где v0 и v - скорости тела в начале и конце некоторого временного отрезка Δt.
Перепишем второй закон следующим образом:
Можно увидеть, что - импульс тела в начале некоторого отрезка времени, а - импульс тела в конечный момент времени.
- альтернативная математическая запись второго закона Ньютона.
Выполним преобразование: 
Величину называют импульсом силы.
А формула, которую получили, показывает, что изменение импульса тела равно по величине импульсу действующей на него силы.
Эта формула особенно интересна тем, что ей можно воспользоваться в случае, когда масса движущегося под действием силы F тела меняется в процессе движения. Примером может служить реактивное движение.
Закон сохранения импульса
В физике часто встречаются ситуации, в которых одновременно рассматривается движение взаимодействующих между собой тел, называемых системой тел.
Системой тел можно назвать солнечную систему, соударяющиеся шары, молекулы тела или система «ружьё и пуля». Те тела, которые не участвуют во взаимодействии с телами системы, называются внешними по отношению к этой системе, а силы, с которыми они действуют на систему - внешними силами.
Изолированная система тел
Если на систему не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано, то её называют изолированной или замкнутой.
Если рассматривать движения тел в замкнутой системе, то следует учитывать силы, с которыми эти тела взаимодействуют между собой.
Если рассмотреть простейшую изолированную систему, состоящую из двух тел, массы которых m1 и m2. Тела движутся по одной прямой и их скорости совпадают по направлению, причём v1 > v2. Когда первое тело догонит второе, они начнут взаимодействовать посредством сил упругости, их скорости будут меняться, и тела начнут двигаться со скоростями. Запишем их взаимодействие с помощью третьего закона Ньютона и получим следующее соотношение:
или
.
Векторные суммы импульсов двух тел до и после удара равны между собой.
Полезной аналогией для понимания закона сохранения импульса является денежная сделка между двумя людьми. Предположим, что у двух людей до сделки была определённая сумма. У Ивана было 1000 рублей и Петр тоже обладал 1000 рублей. Общая сумма в их карманах составляет 2000 рублей. Во время сделки Иван платит Петру 500 рублей, осуществляется передача денег. У Петра в кармане теперь 1500 руб., а у Ивана - 500. Но общая сумма в их карманах не изменилась и также составляет 2000 рублей.
Полученное выражение справедливо для любого количества тел, принадлежащих изолированной системе, и является математической формулировкой закона сохранения импульса.
Суммарный импульс N-ного количества тел, образующих изолированную систему, не меняется с течением времени.
Когда система тел подвергается воздействию нескомпенсированных внешних сил (система незамкнутая), то суммарный импульс тел этой системы изменяется с течением времени. Но справедливым остаётся закон сохранения для суммы проекций импульсов этих тел на любое направление, перпендикулярное направлению результирующей внешней силы.
Движение ракеты
Движение, которое возникает при отделении от тела его части определённой массы с некоторой скоростью, называют реактивным.
Примером реактивного движения может служить движение ракеты, находящейся на значительном удалении от Солнца и планет. В этом случае ракета не испытывает гравитационного воздействия и может считаться изолированной системой.
Ракета состоит из оболочки и топлива. Они и являются взаимодействующими телами изолированной системы. В начальный момент времени скорость ракеты равна нулю. В этот момент равен нулю и импульс системы, и оболочки, и топлива. Если включить двигатель, то топливо ракеты сгорает и превращается в высокотемпературный газ, покидающий двигатель под высоким давлением и с большой скоростью.
Обозначим массу образующегося газа mг. Будем считать, что он вылетает из сопла ракеты моментально со скоростью vг. Массу и скорость оболочки обозначим соответственно mоб и vоб.
Закон сохранения импульса даёт право записать соотношение:
.Из этого равенства можем получить скорость движения оболочки:
Знак «минус» указывает на то, что скорость оболочки направлена в противоположную сторону от выбрасываемого газа.
Скорость оболочки пропорциональна скорости выброса газа и массе газа. И обратно пропорциональна массе оболочки.
Принцип реактивного движения позволяет рассчитывать перемещение ракет, самолётов и других тел в условиях, когда на них действуют внешние сила тяжести или сила сопротивления атмосферы. Конечно, в этом случае уравнение даёт завышенное значение скорости оболочки vоб. В реальных условиях и газ вытекает из ракеты не мгновенно, что влияет на итоговое значение vоб.
Действующие формулы, описывающее движение тела с реактивным двигателем получены русскими учёными И.В. Мещерским и К.Э. Циолковским.