Колесо обозрения – самый популярный и безопасный аттракцион, выглядит в форме колеса по краям которого, установлены кабинки для посетителей. На самой высокой точки открывается прекрасный вид на прилегающую территорию. В настоящее время жители многих городов полюбили такой аттракцион и посещают его несколько раз за сезон.
Первое колесо обозрения в мире появилось в 1893 году в американском городе Чикаго. Диаметр первого колеса был огромен и составлял 75 метров. На таком аттракционе было установлено 36 кабинок для пассажиров, вместимость одной 60 человек, 20 из которых сидячих и 40 стоячих мест. Затем строительство колес обозрения начало распространяться по всему миру.
Виды колес обозрения
Аттракционы отличаются по внешнему виду кабинок и по диаметру колеса.
Виды кабинок колеса обозрения:
- Классические
- Закрытые
- Открытые
Диаметр обода колеса обозрения может быть от маленьких 5 метров (детских) до огромных 220 метров.
Крупнейшие колеса обозрения России
На момент написания статьи запущено в 2012 году в городе Сочи, расположенное в Лазаревском парке, верхняя точка находится на отметке 83 метра. Второй по размерам находится на Урале в Челябинске, диаметр колеса составляет 73 метра, расположено оно вблизи торгового центра и начало принимать первых посетителей в январе 2017 года. Топ-3 самых высоких колес обозрения замыкает аттракцион, расположенный в городе Казань высотой 65 метров. Среди лидеров по высоте от 65 до 50 метров попадают колеса обозрения расположенные в Ростове-на-Дону, Уфе, Санкт-Петербурге, Краснодаре и Кирове. Стоит отметить, одним из самых больших колес обозрения стояло в Москве, запущенное в эксплуатацию в 1995 году в честь 850-летия Москвы и закрыли его в 2016 году. Высота доходила до 73 метров (для справки высота 10 этажного дом 30 метров).
Колеса обозрения в мире
Самое известное колесо обозрения в Европе расположено в Лондоне и носит название Лондонский глаз. Высота 135 метров, а с 2000 по 2006 года было самым большим в мире. Затем на смену Лондонскому колесу появилось колесо обозрения в Сингапуре – 165 метров, с 2007 по 2014 было мировым рекордсменом. в настоящее время располагается в Лас-Вегасе, называется «HighRoller», и оно ровно на 2 метра выше (167 м), чем колесо в Сингапуре.
Задача 1
Колесо обозрения радиусом R = 60 м вращается с постоянной угловой скоростью в вертикальной плоскости, совершая полный оборот за время T = 2 мин. В момент, когда пол одной из кабинок находился на уровне центра колеса (показано стрелкой), пассажир этой кабинки положил на пол плоский предмет. При каком минимальном коэффициенте трения между предметом и полом предмет не начнёт скользить в тот же момент? Зависит ли ответ от того, в какую сторону вращается колесо? Размеры кабинок можно считать намного меньшими радиуса колеса.
Возможное решение
Так как размеры кабинок можно считать намного меньшими радиуса колеса, то, следовательно, центры колеса и окружности, по которой движется тело, почти совпадают, и в нашем случае вектор ускорения предмета можно считать направленным горизонтально.
Запишем второй закон Ньютона для тела в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси соответственно:
F тр = mω 2 R, ω = 2π/T.
Если тело не проскальзывает по поверхности, то F тр ≤ μN = μmg.
Следовательно,
и минимальный коэффициент трения
Критерии оценивания
Максимум за задачу – 10 баллов .
Задача 2
На наклонной плоскости с углом наклона α к горизонту находится система из двух небольших одинаковых шариков, закреплённых на лёгкой спице, верхний конец которой закреплён шарнирно на плоскости. Расстояния между шариками и от шарнира до ближайшего к нему шарика одинаковы и равны l . Систему выводят из положения равновесия, повернув спицу на 90° (при этом шарики касаются плоскости), и отпускают без сообщения начальной скорости. Найдите отношение модулей сил натяжения спицы на её свободных участках в момент прохождения спицей положения равновесия. Трением можно пренебречь.
Возможное решение
Пусть масса одного шарика равна m, T 1 – сила реакции, действующая со стороны верхней свободной части спицы на верхний шарик, T 2 – сила реакции, действующая со стороны нижней свободной части спицы на нижний шарик.
Пусть в момент прохождения спицей положения равновесия её угловая скорость равна ω. Запишем закон сохранения механической энергии:
Применим второй закон Ньютона для верхнего шарика в момент прохождения системой положения равновесия:
T 1 – T 2 – mg·sinα = mω 2 l = (6/5)·mg·sinα
и для нижнего шарика:
T 2 – mg·sinα = mω 2 ·2l = (12/5)·mg·sinα
Решая полученную систему уравнений, находим:
T 1 = (28/5)· mg·sinα, –T 2 = (17/5)·mg·sinα
откуда окончательно получаем:
T 1 /T 2 = 28/17
Критерии оценивания
Закон сохранения механической энергии: 4 балла
T 1 – T 2 – mg·sinα = mω 2 l: 2 балла
T 2 – mg·sinα = mω 2 ·2l: 2 балла
T 1 /T 2 = 28/17
Максимум за задачу – 10 баллов .
Задача 3
В вертикальном теплоизолированном цилиндре под тяжёлым подвижным поршнем находится одноатомный идеальный газ, занимающий объём V . На поршень ставят груз, имеющий массу вдвое большую, чем масса поршня. Найдите объём газа в новом положении равновесия. Давлением над поршнем и трением поршня о стенки цилиндра можно пренебречь.
Возможное решение
Запишем для начального состояния n молей газа уравнение Клапейрона‒ Менделеева:
(mg/S)·V = νRT 1
Здесь m – масса поршня, S – площадь его сечения, T 1 – начальная температура газа. Для конечного состояния, в котором газ занимает объём V 2 :
(3mg/S)·V 2 = νRT2
Из закона сохранения энергии, применённого для системы «газ + поршень + груз», следует:
3/2·νR(T 2 – T 1) = 3mg·(V – V 2)/S
Решая систему уравнений, получаем:
Критерии оценивания
- (mg/S)·V = νRT 1: 2 балла
- (3mg/S)·V 2 = νRT2: 2 балла
- Закон сохранения энергии: 4 балла
- V 2 = 3/5 · V: 2 балла
Максимум за задачу – 10 баллов .
Задача 4
Всё пространство между обкладками плоского конденсатора занимает непроводящая пластина с диэлектрической проницаемостью e = 2. Этот конденсатор через резистор с большим сопротивлением подключён к батарее с ЭДС E = 100 B. Пластину быстро вынимают так, что заряды пластин конденсатора за время удаления пластины не успевают измениться. Определите, какую минимальную работу необходимо совершить для такого удаления пластины. Какое количество теплоты выделится в цепи к моменту, когда система придёт в новое равновесное состояние? Электрическая ёмкость незаполненного конденсатора C 0 = 100 мкФ.
Возможное решение
До удаления пластины энергия конденсатора была равна:
q 2 /2C 0 ε, где q = εC 0 E – заряд на пластинах конденсатора.
При удалении пластины заряд конденсатора не успевает измениться. Это означает, что энергия конденсатора после удаления пластины стала равна q 2 /2C 0 .
Работа, которую необходимо совершить при удалении пластины, равна:
В новом равновесном состоянии заряд конденсатора будет равен C 0 E. Значит, через батарею протечёт заряд εC 0 E – C 0 E = (ε – 1)C 0 E (батарея при этом совершит отрицательную работу). Запишем закон сохранения энергии:
Критерии оценивания
- q = εC 0 E: 1 балл
- W 1 = q 2 /2C 0 ε: 1 балл
- W2 = q 2 /2C 0 ε: 1 балл
- A = W 2 –W 1: 1 балл
- A = 1Дж: 0.5 балла
- Протёкший заряд через батарейку (ε – 1)C 0 E: 2 балла
- Батарейка совершает отрицательную работу: 2 балла
- Закон сохранения энергии в виде W 1 + A б = W 2 + Q: 1 балл
- Q = 0.5 Дж: 0.5 балла
Максимум за задачу – 10 баллов .
1 . Колесо совершает за одну минуту:
а) 30 оборотов;
б) 1500 оборотов.
2 . Период вращения лопастей ветряной мельницы равен 5 с. Определите число оборотов лопастей за 1 ч.
3 . Определите частоту движения:
а) секундной;
б) минутной, – стрелок механических часов.
Секундная стрелка часов совершает один оборот за 1 мин, минутная стрелка – один оборот за 1 ч.
4 . Частота вращения воздушного винта самолета 25 Гц. За какое время винт совершает 3000 оборотов.
5 . Период вращения Земли вокруг своей оси равен 1 сут. Определите частоту ее вращения.
6 . Колесо совершило 15 полных оборотов. Определите его угловое перемещение.
7 . Колесо радиуса 0,5 м прокатилось 100 м. Определите угловое перемещение колеса.
8 . Определите угловую скорость вращения колеса, если за 60 с колесо поворачивается на 20π .
9 . Угловая скорость барабана сепаратора 900 рад/с. Определите угловое перемещение барабана за 15 с.
10 . Определите угловую скорость вала, вращающегося:
а) с периодом 10 с;
11 . Маховик вращается с постоянной угловой скоростью 9 рад/с. Определите:
а) частоту его вращения;
12 . Укажите направление скорости в точках А , В , С , D (рис. 1), если круг вращается:
а) по часовой стрелке;
б) против часовой стрелки.
13 . Колесо велосипеда имеет радиус 25 см. Определите линейную скорость точек обода колеса, если оно вращается с частотой 4 Гц.
14 . Точильный круг радиусом 10 см делает один оборот за 0,2 с. Найдите скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения.
15 . Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равна 2,0 км/с. Найдите период вращения Солнца вокруг своей оси, если радиус Солнца 6,96∙10 8 м.
16 . Тело движется по окружности радиусом 3 м со скоростью 12π м/с. Чему равна частота обращения?
17 . Тело движется по дуге окружности радиусом 50 м. Определите линейную скорость тела, если известно, что его угловая скорость равна π рад/с.
18 . Спортсмен бежит равномерно по окружности радиусом 100 м со скоростью 10 м/с. Определите его угловую скорость.
19 . Укажите направление ускорения в точках A , B , C , D при движении по окружности (рис. 2).
20 . Велосипедист движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 36 км/ч. С каким ускорением он проходит закругление?
21 . Каков радиус кривизны закругления дороги, если по ней автомобиль движется с центростремительным ускорением 1 м/с 2 при скорости 10 м/с?
22 . С какой скоростью велосипедист проходит закругление велотрека радиусом 50 м, если он имеет центростремительное ускорение 2 м/с 2 ?
23 . Шкив вращается с угловой скоростью 50 рад/с. Определите центростремительное ускорение точек находящихся на расстоянии 20 мм от оси вращения.
24 . Земля вращается вокруг своей оси с центростремительным ускорением 0,034 м/с 2 . Определите угловую скорость вращения, если радиус Земли 6400 км.
Уровень B
1 . Может ли тело двигаться по окружности без ускорения?
2 . Первая в мире орбитальная космическая станция, образованная в результате стыковки космических кораблей «Союз-4» и «Союз-5» 16 января 1969 г., имела период вращения 88,85 мин и среднюю высоту над поверхностью Земли 230 км (считайте орбиту круговой). Найдите среднюю скорость движения станции. Радиус Земли принять равным 6400 км.
3 . Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по круговой орбите со скоростью 8,0 км/с с периодом вращения 96 мин. Определите высоту полета спутника над поверхностью Земли. Радиус Земли принять равным 6400 км.
4 . Какова линейная скорость точек Земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60°) при суточном вращении Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.
5 . Допустимо ли насадить точильный круг на вал двигателя, делающего 2850 оборотов в минуту, если на круге имеется штамп завода «35 м/с, Ø 250 мм»?
6 . Скорость поезда 72 км/ч. Сколько оборотов в минуту делают колеса локомотива, радиус которых 1,2 м?
7 . Какова угловая скорость вращения колеса ветродвигателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов?
8 . За какое время колесо, имеющее угловую скорость 4π рад/с, сделает 100 оборотов?
9 . Диск диаметром 50 см равномерно перекатывают на расстояние 2 м за 4 с. Какова угловая скорость вращения диска?
10 . Тело движется по дуге окружности радиусом 50 м. Определите линейную скорость движения тела и пройденный им путь, если известно, что его угловое перемещение за 10 с равно 1,57 рад.
11 . Как изменится линейная скорость вращения материальной точки по окружности, если угловую скорость точки увеличить в 2 раза, а расстояние от точки до оси вращения уменьшить в 4 раза?
14 . Период вращения первого пилотируемого корабля-спутника «Восток» вокруг Земли был равен 90 мин. С каким ускорением двигался корабль, если его средняя высота над Землей 320 км? Радиус Земли принять равным 6400 км.
15 . Угловая скорость вращения лопастей колеса ветродвигателя 6 рад/с. Найдите центростремительное ускорение концов лопастей, если линейная скорость концов лопастей 20 м/с.
16 R 1 = 10 см и R 2 = 30 см с одинаковыми скоростями 0,20 м/с. Во сколько раз отличаются их центростремительные ускорения?
17 . Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R 1 = 0,2 м и R 2 = 0,4 м с одинаковыми периодами. Найдите отношение их центростремительных ускорений.