Вначале рассмотрим несколько простейших методов прогнозирования, не учитывающих наличия сезонности во временном ряде. Предположим, что в журнале РБК приведена сводка за последние 12 дней (включая сегодняшний) цен на апельсины, сложившихся на момент закрытия биржи. Используя эти данные, нужно предсказать завтрашнюю цену на какао (также на момент закрытия биржи). Рассмотрим несколько способов сделать это.
Если последнее (сегодняшнее) значение наиболее значимо по сравнению с остальными, то оно является наилучшим прогнозом на завтра.
Возможно, из-за быстрого изменения цен на бирже первые шесть значений уже устарели и не актуальны, в то время как последние шесть значимы и имеют равную ценность для прогноза. Тогда в качестве прогноза на завтра можно взять среднее последних шести значений.
Если все значения существенны, но сегодняшнее 12-е значение наиболее значимо, а предыдущие 11-е, 10-е, 9-е и т.д. имеют все меньшую и меньшую значимость, следует найти взвешенное среднее всех 12 значений. Причем весовые коэффициенты для последних значений должны быть больше, чем для предыдущих, и сумма всех весовых коэффициентов должна равняться 1.
Первый способ называется «наивным» прогнозом и достаточно очевиден. Рассмотрим подробнее остальные способы.
Метод скользящего среднего
Одним из предположений, лежащих в основе данного метода, является то, что более точный прогноз на будущее можно получить, если использовались недавние наблюдения, причем, чем «новее» данные, тем их вес для прогноза должен быть больше. Удивительно, но такой «наивный» подход оказывается чрезвычайно полезным для практики. Например, многие авиакомпании используют частный тип скользящего среднего для создания прогнозов спроса на авиаперелеты, которые, в свою очередь, используются в сложных механизмах управления и оптимизации доходов. Более того, практически все программные пакеты управления запасами содержат модули, выполняющие прогнозы на основе того или иного типа скользящего среднего.
Рассмотрим следующий пример. Маркетологу нужно спрогнозировать спрос на производимые его компанией станки. Данные по объемам продаж за последний год работы компании находятся в файле «ЛР6.Пример 1.Станки.xls».
Простое скользящее среднее . В этом методе среднее фиксированного числа N последних наблюдений используется для оценки следующего значения временно ряда. Например, используя данные о продажах станков за первые три месяца года, менеджер получает для апреля значение, используя формулу, приведённую ниже:
Менеджер вычислил объем продаж на основе простого скользящего среднего за 3 и 4 месяца. Однако требуется определить, какое количество узлов даёт более точный прогноз. Для оценки точности прогнозов используются среднее абсолютных отклонений (САО) исреднее относительных ошибок , в процентах (СООП), вычисляемые по формулам (3) и (4).
|
| |
|
|
где x i –i -ое реальное значение переменной вi -й момент времени, аx ’ i –i -ое спрогнозированное значение переменной вi -й момент времени, N - количество прогнозов.
Согласно результатам, полученным на листе «Простое ск. среднее» рабочей книги «ЛР6.Пример 1.Станки.xls» (см. Рисунок 56), скользящее среднее за три месяца имеет значение САО равное 12,67 (ячейка D16 ), тогда как для скользящего среднего за 4 месяца значение САО равно 15,59 (ячейка F16 ). Тогда можно выдвинуть гипотезу, что использование большего количества статистических данных скорее ухудшает, чем улучшает точность прогноза методом скользящего среднего.
Рисунок 56. Пример 1 – результаты прогнозирования методом простого скользящего среднего
На графике (см. Рисунок 57), построенном по результатам наблюдений и прогнозов с интервалом 3 месяца, можно заметить ряд особенностей, общих для всех применений метода скользящего среднего.
Рисунок 57. Пример 1 – график кривой прогноза методом простого скользящего среднего и график реального объёма продаж
Значение прогноза, полученное методом простого скользящего среднего, всегда меньше фактического значения, если исходные данные монотонно возрастают, и больше фактического значения, если исходные данные монотонно убывают. Поэтому, если данные монотонно возрастают или убывают, то с помощью простого скользящего среднего нельзя получить точных прогнозов. Этот метод лучше всего подходит для данных с небольшими случайными отклонениями от некоторого постоянного или медленно меняющегося значения.
Основной недостаток метода простого скользящего среднего возникает в результате того, что при вычислении прогнозируемого значения самое последнее наблюдение имеет такой же вес (т. е. значимость), как и предыдущие. Это происходит потому, что вес всех N последних наблюдений, участвующих в вычислении скользящего среднего, равен 1/N. Присвоение равного веса противоречит интуитивному представлению о том, что во многих случаях последние данные могут больше сказать о том, что произойдет в ближайшем будущем, чем предыдущие.
Взвешенное скользящее среднее . Вклад различных моментов времени можно учесть, вводя вес для каждого значения показателя в скользящем интервале. В результате получается метод взвешенного скользящего среднего, который математически можно записать так:
|
|
где - вес, с которым используется показательпри расчете.
Вес - это всегда положительное число. В случае, когда все веса одинаковы, вырождается метод простого скользящего среднего.
Теперь маркетолог может использовать метод взвешенного скользящего среднего за 3 месяца. Но прежде требуется понять, как выбрать веса. Используя средство Поиск решения, можно определить оптимальный вес узлов. Чтобы определить вес узлов с помощью средства Поиск решения, при котором значение среднего абсолютных отклонений было бы минимально, выполните следующие действия:
Выберите команду Сервис -> Поиск решения.
В диалоговом окне Поиска решения установите ячейку G16 целевой (см. лист «Веса»), минимизируя её.
Изменяемыми ячейками укажите диапазон В1:В3.
Установите ограничения В4 = 1,0; В1:ВЗ ≥ 0; В1:В3 ≤ 1; B1 ≤ В2 и В2 ≤ В3.
Запустите поиск решения (результат отображает).
Рисунок 58. Пример 1 – результат поиска весов значений показателей при использовании метода взвешенного скользящего среднего
Полученные результаты показывают, что оптимальное распределение весов таково, что весь вес сосредоточен на самом последнем наблюдении, при этом значение среднего абсолютных отклонений равно 7,56 (см. также Рисунок 59). Этот результат подтверждает предположение о том, что более поздние наблюдения должны иметь больший вес.
Рисунок 59. Пример 1 – график кривой прогноза методом взвешенного скользящего среднего и график реального объёма продаж
Средние линии – это графические построения на графике, которые строятся на основе средних значений цены за определенный промежуток времени. Moving Average встроен в торговую платформу МТ4, с его помощью можно осуществлять сглаживание скользящих средних, именно об этом мы и поговорим в этой статье.
Сглаживание скользящих средних
Moving Average позволяет осуществлять сглаживание скользящих средних. В чем преимущества этой функции? Дело в том, что при построении простой экспоненциальной средней (SMA) используются цены, обладающие одинаковой важностью, в то время как экспоненциальные скользящие средние больше полагаются на последние котировки. Последние строятся по определенной формуле, где большую роль играют последние события на рынке, а не те изменения, которые происходили ранее.
Разновидности средних линий
Всего Moving Average предлагает построение четырех линий, которые строятся по определенному принципу.
- Simple – простая скользящая средняя. Это самая простая линия, которая строится по формуле, где все цены обладают равнозначными значениями. 2. Exponential – экспоненциальная скользящая средняя, которая строится по формуле, в которой главную роль играет последний бар. Она подходит для ведения краткосрочной торговли.
- Smoothed – сглаженная скользящая средняя. Данная скользящая используется для долгосрочной торговли. Для того чтобы она изменила свое направление, необходим существенный скачок.
- Linear Weighted – взвешенная скользящая средняя, при построении которой большее значение уделяется более новым изменениям на рынке.
Что лучше: простая скользящая средняя или сглаженная
Увеличив период скользящей средней, в расчете будет принимать участие больше значений стоимости. Чем больше период, тем менее чувствительная скользящая средняя и наоборот. Но что же лучше: простая скользящая средняя или сглаженная?
Для примера возьмем значение периода 15. Для построения линий будут учитываться значения баров от 1 до 15, как только появится 16 бар, в расчетах будут принимать участие бары в диапазоне 2-16. При этом, при построении обычной скользящей средней цены будут обладать одинаковым значениям, в то время как в сглаженной все будет зависеть от последнего бара.
У каждой скользящей свои плюсы и минусы, которые обязательно стоит учитывать при выборе наиболее подходящего для торговли вида. Выбор скользящей средней напрямую зависит от используемой валютной пары, тайм-фрейма и торговой стратегии. У всех скользящих линий есть один общий недостаток, который заключается в небольшом запаздывании.
Применение скользящих средних
Самый простой способ использования данного инструмента заключается в построении двух скользящих средних с разными периодами. Линия с небольшим периодом будет более подвижной. В момент, когда на рынке происходит смена господствующего тренда, быстрая скользящая линия пересекает медленную, что, в свою очередь, является сигналом для создания ордера.
На представленной ниже картинке вы можете увидеть, как описанная выше ситуация выглядит на валютном графике.
Углубленный анализ временных рядов требует использования более сложных методик математической статистики. При наличии в динамических рядах значительной случайной ошибки (шума) применяют один из двух простых приемов - сглаживание или выравнивание путем укрупнения интервалови вычисления групповых средних. Этот метод позволяет повысить наглядность ряда, если большинство «шумовых» составляющих находятся внутри интервалов. Однако, если «шум» не согласуется с периодичностью, распределение уровней показателей становится грубым, что ограничивает возможности детального анализа изменения явления во времени.
Более точные характеристики получаются, если используют скользящие средние - широко применяемый способ для сглаживания показателей среднего ряда. Он основан на переходе от начальных значений ряда к средним в определенном интервале времени. В этом случае интервал времени при вычислении каждого последующего показателя как бы скользит по временному ряду.
Применение скользящего среднего полезно при неопределенных тенденциях динамического ряда или при сильном воздействии на показатели циклически повторяющихся выбросов (резко выделяющиеся варианты или интервенция).
Чем больше интервал сглаживания, тем более плавный вид имеет диаграмма скользящих средних. При выборе величины интервала сглаживания необходимо исходить из величины динамического ряда и содержательного смысла отражаемой динамики. Большая величина динамического ряда с большим числом исходных точек позволяет использовать более крупные временные интервалы сглаживания (5, 7, 10 и т.д.). Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания не сезонного ряда, то чаще всего величину интервала сглаживания принимают равной 3 или 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - отличная возможность выбрать авиакомпанию на перелет из Москвы в Нью-Йорк
Приведем пример вычисления скользящего среднего числа хозяйств с высокой урожайностью (более 30 ц/га) (табл. 10.3).
Таблица 10.3 Сглаживание динамического ряда укрупнением интервалов искользящим средним
|
Учетный год |
Число хозяйств с высокой урожайностью |
Суммы за три года |
Скользящие за три года |
Скользящие средние |
|
90,0 |
89,7 |
|||
| 1984 |
88,7 |
|||
|
87,3 |
||||
|
87,3 |
87,0 |
|||
|
86,7 |
||||
|
83,0 |
||||
|
83,0 |
82,3 |
|||
|
82,3 |
||||
|
82,6 |
||||
|
82,7 |
82,7 |
|||
Примеры вычисления скользящего среднего:
1982 г.(84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;
1983 г. (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;
1984 г.(92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;
1985 г.(83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.
Составляется график. На оси абсцисс указываются годы, на оси ординат - число хозяйств с высокой урожайностью. Указываются координаты числа хозяйств на графике и соединяют полученные точки ломаной линией. Затем указываются координаты скользящей средней по годам на графике и соединяются точки плавной полужирной линией.
Более сложным и результативным методом является сглаживание (выравнивание) рядов динамики с помощью различных функций аппроксимации. Они позволяют формировать плавный уровень общей тенденции и основную ось динамики.
Наиболее эффективным методом сглаживания с помощью математических функций является простое экспоненциальное сглаживание. Этим методом учитываются все предшествующие наблюдения ряда по формуле:
S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,
где S t - каждое новое сглаживание в момент времени t ; S t - 1 - сглаженное значение в предыдущий момент времени t -1; X t - фактическое значение ряда в момент времени t ; α - параметр сглаживания.
Если α = 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются; при величине α = 0 игнорируются текущие наблюдения; значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Изменяя значения этого параметраможно подобрать наиболее приемлемый вариант выравнивания. Выбор оптимального значения α осуществляется путем анализа полученных графических изображений исходной и выравненной кривых, либо на основе учета суммы квадратов ошибок (погрешностей) вычисленных точек. Практическое использование этого метода следует проводить с использованием ЭВМ в программе MS Excel . Математическое выражение закономерности динамики данных можно получить с помощью функции экспоненциального сглаживания.
Здравствуйте, дорогие друзья!
В этой статье, как видно из ее названия, мы с Вами рассмотрим принцип работы одного из наиболее распространенных индикаторов технического анализа — скользящей средней (moving average или MA) , на жаргоне трейдеров ее еще называют просто «мувинг» или «машка».
Скользящая средняя — это способ, позволяющий сглаживать ценовые колебания во времени. Иными словами, скользящая средняя рассчитывает среднюю цену цены за определенный интервал времени. Скользящая средняя — это трендовый индикатор в чистом виде. С его помощью можно отследить начало нового тренда и завершение текущего, по углу наклона можно судить о силе тренда.
Скользящая средняя хоть и является примитивным индикатором, но я считаю его базовым индикатором технического анализа, он является основой для многих торговых стратегий и различных индикаторов, поэтому знать «устройство» и принцип работы этого индикатора обязан каждый трейдер.
Существует несколько методов построения скользящей средней :
- Простая (Simple).
- Линейно-взвешенная (Linear-Weighted).
- Экспоненциальная (Exponential).
- Сглаженная (Smoothed).
В основе всех методов лежат одни и те же принципы, отличаются лишь формулы, по которым они рассчитываются. Естественно у каждого метода есть свои плюсы и минусы. Остановимся на каждом методе более подробно.
ПРОСТАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Simple moving average, SMA)
Чаще всего, когда идет речь о скользящей средней, подразумевается именно этот метод построения. Это один из самых простых и примитивных индикаторов технического анализа.
Рассчитывается он по очень простой формуле:
Где, Pi — цена (чаще всего рассчитывают по ценам закрытия (close) свечи, но также можно применить к максимальной минимальной, цене открытия, средней цене и др.).
N — период скользящей средней. Это основной параметр при построении, его еще называют длина сглаживания.
Давайте рассмотрим на примере.
Допустим мы хотим построить скользящую среднюю с периодом 8 по ценам закрытия. Чтобы получить среднюю точку для текущего сформированного бара, необходимо взять цены закрытий предыдущих 8 баров (ни рисунке ниже они обозначены цифрами 1−8), сложить их цены закрытия и разделить на общее количество периодов (8). В результате мы получим среднее значение для текущего сформированного бара:
Соответственно, если нам необходимо построить мувинг с периодом 60, то будем рассчитывать среднюю по ценам закрытия 60 предыдущих баров.
Как видите, ничего сложного. Построение простой скользящей средней является обычным примером вычисления среднего арифметического из школьной программы математики.
Ниже на рисунке Вы можете видеть то, как простая скользящая средняя с разными периодами «сглаживает» цену:
Основным недостатком данного метода является то, что расчет ведется на основании данных за фиксированный промежуток времени, а не всех цен, и каждому значению цены в истории присваивается одинаковая значимость. Но, согласитесь, что цена, которая имела место быть 30 дней не так важна, как цена, которая была 5 дней назад?
Также, говоря о минусах простой средней, следует упомянуть о значительном запаздывании данного индикатора, поэтому при торговле, трейдер не сможет взять большую часть трендового движения.
К достоинствам можно отнести то, что SMA обладает низкой чувствительностью, по сравнению с другими видами и будет давать меньше ложных сигналов, но за это придется «заплатить» более поздним сигналом на вход в позицию.
ЛИНЕЙНО-ВЗВЕШЕННАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Linear- Weighted)
Как я писал выше, у простой МА есть существенный недостаток в том, что при расчете она придает одинаковый «удельный вес» цене, независимо от того, как близко или далеко она находится от настоящего момента. Этот недостаток был устранен в данном методе построения скользящей средней.
Формула для расчета взвешенной скользящей средней имеет следующий вид:
Где, Pi — значение цена за i-периодов назад; Wi — вес для цены i-периодов назад.
Суть данного метода состоит в том, что при построении взвешенной скользящей средней, цене присваивается определенный вес, таким образом, что ближние цены ближних баров имеют больший удельный вес, нежели цены прошлых баров.
Давайте попробуем рассчитаем линейно-взвешенную скользящую среднюю с периодом 5.
Это будет иметь следующий вид:
Т. е. мы взяли пять цен закрытия последних 5 баров. Ближайший бар у нас самый значимый и мы ему присвоили максимальный вес (в нашем случае это будет 5) и с каждой ценой закрытия последующего бара. Полученный результат разделили на сумму всех удельных весов. В результате получили взвешенную точку для конкретного бара. Конечно нам не надо будет производить эти расчеты, так как программа тех. анализа все сделает сама.
Ниже на рисунке Вы можете увидеть в сравнении простую и взвешенную скользящие средние, у обеих период 60:
К недостатком линейно-взвешенной скользящей средней можно отнести:
- Дает достаточно поздние сигналы на вход в тренд и выход из него, но из-за придания веса, гораздо быстрее реагирует на изменение цены, нежели простая скользящая средняя.
- При торговле во флэте дает множество ложных сигналов.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ (Exponential) И СГЛАЖЕННАЯ (Smoothed) СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ
Принцип расчета экспоненциальной МА заключается в том, что она берет в расчет все цены, которые есть на графике и присваивает им определенный вес (важность последних выше, чем предыдущих).
Формула расчета экспоненциальной скользящей средней довольна сложна и я не стану заострять на ней внимание. Нам как трейдерам важно знать, что экспоненциальная скользящая средняя очень чувствительна к изменению цены и дает более «интересные» точки входа в сделку, но при этом может лажать на сильных колебаниях цены.
Посмотрите на рисунок ниже, здесь представлены в сравнении две МА с одинаковым периодом (60):
Сглаженная скользящая средняя является, пожалуй, самой сложной в расчетах и обладает самой низкой чувствительностью. Данный тип скользящей средней очень редко используется трейдерам и только на графиках с очень большой амплитудой колебания цены.
Давайте посмотрим, как ведут себя простая и сглаженная скользящие средние с одинаковым периодом:
Обратите внимание на то, как сильно эта МА сглаживает цену по сравнению с простой скользящей средней!
До этого я сравнивал каждый метод построения скользящей средней с простой МА. Теперь давайте нанесем на график цены сразу все 4 мувинга:
Вот мы и подобрались к завершению статьи. Давайте подведем промежуточный итог.
Скользящая средняя — это трендовый индикатор, который прекрасно показывает себя, когда на рынке есть тенденция и абсолютно бесполезен, когда рынок находится в боковом движении. Хотя это и тренд-следящий индикатор, но из-за того, что рассчитывается на основании прошлых данных, он дает довольно поздние точки входа. Чтобы исправить этот недостаток были использованы другие методы расчета МА с помощью «весов».
В этой статье мы не касались того, как именно торговать по скользящим средним, как искать точки входа и выхода, как фильтровать сигналы. Все эти и многие другие вопросы мы разберем в следующей статье.
На сегодня у меня все. Успехов в торговле!
PS Обязательно прочитайте продолжение этой статьи, перейдя по этой ссылке . Из нее вы узнаете о практическом применении скользящих средних.
2.3.1. Задание*
В первых двух столбцах таблицы 17 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период. Провести сглаживание данных методом скользящего среднего с окном сглаживания k =3.
2.3.2. Выполнение задания
Скользящее среднее вычисляется с помощью функции СРЗНАЧ. Результаты расчета представлены в третьем столбце таблицы 16 и иллюстрируются рисунком 8.
Таблица 17. Спроса на товар
2.4. Выделение трендовой и циклической компонент временного ряда**
Задание 1
В таблице 18 представлены данные об объеме y потребления энергии за четыре года (время t измеряется в кварталах). Сгладить временной ряд методом скользящего среднего, самостоятельно подобрав размер k окна сглаживания.
2.4.2. Выполнение задания 1
Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 9) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом T п =4. Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r (1,t) (см. таблицу 19) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.10), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает (см. §1.2), что T п =4. Окно сглаживания следует выбрать равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=T п =4. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга).
В третьем столбце таблицы 18 приведены результаты расчета скользящего среднего u 1 (t ) для k =4. Средняя точка t ср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t =1, 2, 3, 4) t ср =2,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t =2. Для второго окна t ср =3,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t =3. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна.
Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна t ср необходимо применить к u 1 (t ) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u 2 (t )=[u 1 (t -1)+u 1 (t )]/2. Результаты расчета приведены в таблице 18 (четвертый столбец). Напомним (см. также §1.5), что расчет u 2 нужен только в случае четного k . Для нечетного k средняя точка окна сглаживания t ср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени.
Таблица 18. Расчет тренда и циклической составляющей
| t | y | u 1 | u 2 | S 1 =y -u 2 | S 2 | S 3 | S | T+E =Y -S | T | E |
| 0,581 | 5,419 | 5,902 | -0,483 | |||||||
| 4,4 | 6,100 | -1,977 | 6,377 | 6,088 | 0,289 | |||||
| 6,400 | 6,250 | -1,250 | -1,275 | -1,294 | -1,294 | 6,294 | 6,275 | 0,019 | ||
| 6,500 | 6,450 | 2,550 | 2,708 | 2,690 | 2,690 | 6,310 | 6,461 | -0,151 | ||
| 7,2 | 6,750 | 6,625 | 0,575 | 0,600 | 0,581 | 0,581 | 6,619 | 6,648 | -0,029 | |
| 4,8 | 7,000 | 6,875 | -2,075 | -1,958 | -1,977 | -1,977 | 6,777 | 6,834 | -0,057 | |
| 7,200 | 7,100 | -1,100 | -1,294 | 7,294 | 7,020 | 0,273 | ||||
| 7,400 | 7,300 | 2,700 | 2,690 | 7,310 | 7,207 | 0,104 | ||||
| 7,500 | 7,450 | 0,550 | 0,581 | 7,419 | 7,393 | 0,026 | ||||
| 5,6 | 7,750 | 7,625 | -2,025 | -1,977 | 7,577 | 7,580 | -0,003 | |||
| 6,4 | 8,000 | 7,875 | -1,475 | -1,294 | 7,694 | 7,766 | -0,072 | |||
| 8,250 | 8,125 | 2,875 | 2,690 | 8,310 | 7,952 | 0,358 | ||||
| 8,400 | 8,325 | 0,675 | 0,581 | 8,419 | 8,139 | 0,280 | ||||
| 6,6 | 8,350 | 8,375 | -1,775 | -1,977 | 8,577 | 8,325 | 0,252 | |||
| Сумма | 0,075 | 0,000 | -1,294 | 8,294 | 8,512 | -0,218 | ||||
| 10,8 | Среднее | 0,019 | 0,000 | 2,690 | 8,110 | 8,698 | -0,588 |
Задание 2
Вычислить значения циклической компоненты временного ряда по данным таблицы 18. Результаты записать в эту же таблицу.
2.4.4. Выполнение задания 2
Рассматриваемый временной ряд описывается аддитивной моделью, так как амплитуда колебаний уровней ряда практически не зависит от времени (см. рис. 9). По формуле (43) (учитывая, что T »u 2) рассчитываем S
Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для аддитивной модели ряда должно равняться нулю, то выравниваем значения S 2: S 3 = S 2 -S 2 ср, где через S 2 ср обозначено среднее значение S S получены копированием S 3 по всем периодам.
Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: T +E =Y -S (см. формулу (40)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T (t )=0,186t +5,72. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E =Y -T -S , – значения случайной компоненты E .
На рис. 9 компоненты ряда показаны графически. Так как случайная компонента существенно меньше остальных компонент ряда, можно считать, что полученные оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы.
Задание 3
В первых двух столбцах таблицы 20 приведены поквартальные данные о прибыли компании (в усл. ед.) за последние четыре года. Определить трендовую, циклическую и случайную компоненты временного ряда.
2.4.6. Выполнение задания 3
Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 11,а) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом T п =4. Построив коррелограмму (которая здесь не приводится), можно удостовериться, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает, что T п =4. Окно сглаживания выбираем равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=T п =4.
В третьем и четвертом столбце таблицы 20 приведены результаты расчета приближений тренда u 1 (t ) и u 2 (t ), полученные так же, как в таблице 18.
Для рассматриваемого временного ряда следует выбрать мультипликативную модель, так как амплитуда колебаний уровней ряда изменяется пропорционально тренду (см. рис. 11,а). По формуле (44) (учитывая, что T »u 2) рассчитываем S 1 – первое приближение циклической компоненты ряда.
Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для мультипликативной модели должно равняться единице, то от S 2 переходим к следующему приближению циклической компоненты: S 3 = S 2 /S 2 ср, где S 2 ср – среднее значение S 2 . Значения циклической компоненты S получены копированием S 3 по всем периодам.
Далее вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE =Y /S (см. формулу (41)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим формулу для тренда: T (t )=-2,77t +90,57. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем – значения случайной компоненты E (E =Y /(TS )). Абсолютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs =Y -TS .
На рис. 11 компоненты ряда показаны графически. Заметим, что абсолютная погрешность существенно меньше уровней ряда и тренда. Кроме того, случайная компонента практически для всех значений t близка к единице. Поэтому оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы.
Таблица 20. Данные о прибыли компании
| t | y | u 1 | u 2 | S 1 | S 2 | S 3 | S | T *E =Y /S | T | E | Eabs |
| 0,914 | 78,804 | 87,792 | 0,898 | -8,212 | |||||||
| 81,5 | 1,202 | 83,182 | 85,019 | 0,978 | -2,208 | ||||||
| 81,25 | 1,108 | 1,088 | 1,082 | 1,082 | 83,153 | 82,245 | 1,011 | 0,982 | |||
| 0,800 | 0,806 | 0,802 | 0,802 | 79,819 | 79,472 | 1,004 | 0,278 | ||||
| 76,5 | 77,75 | 0,900 | 0,918 | 0,914 | 0,914 | 76,615 | 76,699 | 0,999 | -0,077 | ||
| 75,75 | 1,215 | 1,208 | 1,202 | 1,202 | 76,527 | 73,926 | 1,035 | 3,127 | |||
| 1,081 | 1,082 | 73,914 | 71,152 | 1,039 | 2,989 | ||||||
| 71,5 | 0,811 | 0,802 | 72,336 | 68,379 | 1,058 | 3,173 | |||||
| 68,5 | 0,905 | 0,914 | 67,859 | 65,606 | 1,034 | 2,059 | |||||
| 64,5 | 65,75 | 1,217 | 1,202 | 66,545 | 62,833 | 1,059 | 4,463 | ||||
| 63,25 | 1,075 | 1,082 | 62,827 | 60,059 | 1,046 | 2,995 | |||||
| 59,5 | 0,807 | 0,802 | 59,865 | 57,286 | 1,045 | 2,067 | |||||
| 52,5 | 54,75 | 0,950 | 0,914 | 56,914 | 54,513 | 1,044 | 2,194 | ||||
| 50,25 | 1,194 | 1,202 | 49,909 | 51,740 | 0,965 | -2,201 | |||||
| Сумма | 4,021 | 1,082 | 46,196 | 48,966 | 0,943 | -2,998 | |||||
| Среднее | 1,005 | 0,802 | 37,415 | 46,193 | 0,810 | -7,038 |
3. Задание на самостоятельную работу
1. В таблице 21* представлены данные о производительности труда Y для некоторого предприятия с 1987 по 1996 г. Получить уравнения и графики трендов: линейного, логарифмического, степенного, полиномиального, экспоненциального. Выбрать из них тренд, наиболее соответствующий наблюдениям (сравнивая значение R 2). Для выбранного тренда проверить гипотезу независимости остатков по критерию Дарбина-Уотсона (при n =10 d н =0,88 d в =1,32). Зачем надо проверять эту гипотезу?
2. В таблице 22** приведено среднее число y яиц на несушку на каждый месяц по США с 1938 по 1940 г. Требуется:
1) построить график y (t ) и коррелограмму. Анализируя их, ответить на вопросы: содержит ли ряд линейный тренд? Содержит ли ряд циклическую составляющую? Чему равен период циклической составляющей Тц? Какая модель подходит для описания ряда – аддитивная или мультипликативная?
2) определить компоненты ряда.
Таблица 22. Среднее число y яиц на несушку
3. В таблице 23 даны уровни некоторого ряда, время t измеряется в кварталах. Провести для этих данных исследования, аналогичные п.2.
Таблица 23. Уровни ряда
| t | ||||||||||||||||
| y |
Практическая работа №5. Использование фиктивных
переменных при решении задач эконометрики
Теоретическая часть