Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.
Основные признаки делимости
Приведем основные признаки делимости чисел :
- Признак делимости числа на «2»
Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3. - Признак делимости числа на «3»
Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3. - Признак делимости числа на «4»
Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится. - Признак делимости числа на «5»
Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1. - Признак делимости числа на «6»
Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело. - Признак делимости числа на «8»
Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8. - Признак делимости числа на «9»
Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9. - Признак делимости числа на «10»
Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0. - Признак делимости числа на «11»
Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7. - Признак делимости числа на «25»
Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.
Признаки делимости на составное число
Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.
Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.
Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.
m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на nПрименение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .
Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.
Например:
Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.
Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.
Характерная особенность деления на 3 и на 9 .
На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.
Например :
Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.
Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .
Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.
Например :
Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.
Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.
Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.
Характерная особенность делимости на 6.
Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.
Например:
126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)
Характерная особенность делимости на 7.
Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.
Например :
Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.
Характерная особенность делимости на 11 .
На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.
Например:
Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.
Характерная особенность делимости на 25 .
На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.
Например:
9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.
Признаки делимости натуральных чисел от 2 до 25 и на
Что такое признак делимости Признак делимости натурального числа n на m — способ быстро определить, делится ли n на m — быстрее, чем при попытке выполнить деление и посмотреть, какой остаток. Обычно признаки делимости используются для ускорения ручных расчётов, значительная их часть плохо приспособлена для программирования.
Признаки делимости на 2, 5, 10. Признаки делимости на 2, 5, 10 — самые простые из всех: достаточно лишь посмотреть на последнюю цифру числа. Признак делимости на 2: если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на два (то есть последняя цифра должна делиться на 2), иначе не делится. Признак делимости на 5: если последняя цифра числа — 0 или 5, то число делится на 5, иначе не делится. Признак делимости на 10: если число оканчивается на 0, оно делится на 10, иначе не делится. Признак делимости на 100: число должно оканчиваться на 00. Как определить, делится ли число на 1000, 10000 и т. д. , тут, видимо, и так ясно.
Признаки делимости на 3, 6, 9, 18 Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его делится на 3. Признак делимости на 6: если число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Такой признак можно применить исходя из того, что числа 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1. Признак делимости на 9: аналогично — если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9, иначе не делится. Поскольку 9 и 2 имеют в качестве общего делителя только 1, то: Признак делимости на 18: если число одновременно делится на 2 и 9, то оно делится на 18.
Признаки делимости на 20, 25 и 50 Если проверяемое число оканчивается на 00, 20, 40, 60, 80, то оно делится на 20, если на 00, 25, 50, 75, то оно делится на 25, если на 00 или 50, то оно делится на 50. Названные в этом абзаце признаки делимости, использующие две последние цифры, опираются на тот факт, что 20, 25, 50 — делители числа 100.
Один из признаков делимости на 7: утроенное количество десятков, сложенное с количеством единиц, делится на 7. Например, 231 делится на 7: 23 * 3 + 1 = 70 — делится на 7. 2009 делится на 7: 200 * 3 + 9 = 609; 60 * 3 + 9 = 189; 18 * 3 + 9 = 63 — делится на 7. Пусть s 1 — сумма цифр, занимающих нечётные позиции, s 2 — сумма цифр, занимающих чётные позиции. Если |s 1 -s 2| делится на 11, то и число делится на 11. Допустим, возьмём 7421 * 11 = 81631. s 1 = 8 + 6 + 1 = 15; s 2 = 3 + 1 = 4; |s 1 — s 2| = 11.