Найти наибольшее значение функции

x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.

Данное условие выполнено.

2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение.

x 1 + x 1 x 1 x 2

2	x 2	≤	4
-		x 2	≥	1
+		≤	8

x 1 + S 1 x 1 x 1 x 2 S 3

2	x 2	+			=	4
-		x 2	-	S 2			=	1
+				+	=	8

S 1 ≥ 0, S 2 ≥ 0, S 3 ≥ 0. Введенные переменные S 1 , S 2 , S 3 , называются балансовыми переменными.

3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.

Что такое базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.

В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.

Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.

В нашей системе есть базис?

x 1 + x 1 x 1 x 2

x 2

S 1

x 2

S 2

S 3

Базиса нет, т.е. мы не можем начать решение.
Придется его найти. Для этого решим вспомогательную задачу.
Добавим искусственную переменную в то уравнение, где нет базисной переменной.

x 1 + x 1 x 1 x 2

x 2

S 1

x 2

S 2

R 1

S 3

R 1 ≥ 0. Введенная переменная R 1 , называется искусственной переменной.

Введем в рассмотрение функцию W и будем искать ее наименьшее значение.

Алгоритм нахождения наименьшего значения функции W имеет только одно отличие от алгоритма, рассмотренного выше.

x 1	x 2	S 1	S 2	S 3	R 1	св. член	Θ
1	2	1	0	0	0	4	4: 1 = 4
1	-1	0	-1	0	1	1	1: 1 = 1
1	1	0	0	1	0	8	8: 1 = 8
-1	1	0	1	0	0	W - 1
0	3	1	1	0	-1	3
1	-1	0	-1	0	1	1
0	2	0	1	1	-1	7
0	0	0	0	0	1	W - 0

Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)

x 2 = 0 S 2 = 0 R 1 = 0
x 1 = 1 S 1 = 3 S 3 = 7

=> W - 0 = 0 => W = 0

Среди коэффициентов выделенной строки нет отрицательных. Следовательно, найдено наименьшее значение функции W.
Получен базис без использования искусственной переменной. Что и требовалось.
Столбец, соответствующий искусственной переменной можно вычеркнуть.
В итоге, наша система выглядит следующим образом:

S 2 S 2

x 2

S 1

x 1

x 2

S 2

x 2

S 3

x 1

x 2

(

x 2

S 2

)

x 2

-1

x 2

S 2

>> >> >> Симплекс-метод

Симплекс-метод

Решение любой можно найти симплексным методом . Прежде чем применять симплекс-метод, следует записать исходную задачу в форме основной задачи линейного программирования, если она не имеет такой формы записи.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Рассмотрим задачу, для которой этот план можно непосредственно записать.

Пусть требуется найти максимальное значение функции

при условиях

Здесь и – заданные постоянные числа

Векторная форма данной задачи имеет следующий вид: найти максимум функции

при условиях

то по определению опорного плана является опорным планом данной задачи (последние компонент вектора Х равны нулю). Этот план определяется системой единичных векторов которые образуют базис m- мерного пространства. Поэтому каждый из векторов а также могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов данного базиса. Пусть

Положим Так как векторы – единичные, то и а

Теорема 5

(признак оптимальности опорного плана). Опорный план задачи (22) – (24) является оптимальным, если для любого j

Теорема 6.

Если для некоторого j=k и среди чисел нет положительных , то целевая функция (22) задачи (22) – (24) не ограничена на множестве ее планов.

Теорема 7.

Если опорный план Х задачи (22) – (24)невырожден и , но среди чисел есть положительные (не все ), то существует опорный план X" такой, что

Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.

Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения исходного опорного плана, записать так, как показано в табл. 3.

В столбце С 6 этой таблицы записывают коэффициенты при неизвестных целевой функции, имеющие те же индексы, что и векторы данного базиса.

В столбце записывают положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. Столбцы векторов представляют собой коэффициенты разложения этих векторов по векторам данного базиса.

В табл. 3 первые m строк определяются исходными данными задачи, а показатели (m+1)-й строки вычисляют. В этой строке в столбце вектора записывают значение целевой функции, которое она принимает при данном опорном плане, а в столбце вектора – значение

Значение Z j находится как скалярное произведение вектора на вектор

Значение равно скалярному произведению вектора P 0 на вектор :

После заполнения таблицы 3 исходный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого просматривают элементы -й строки таблицы. В результате может иметь место один из следующих трех случаев:

1) для j=m+1, (при ). Поэтому в данном случае числа для всех j от 1 до n ;

2) для некоторого j , и все соответствующие этому индексу величины

3) для некоторых индексов j , и для каждого такого j , по крайней мере, одно из чисел положительно.

В первом случае на основании признака оптимальности исходный опорный план является оптимальным. Во втором случае целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, а в третьем случае можно перейти от исходного плана к новому опорному плану, при котором значение целевой функции увеличится. Этот переход от одного опорного плана к другому осуществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора. В качестве вектора, вводимого в базис, можно взять любой из векторов имеющий индекс j , для которого . Пусть, например, и решено ввести в базис вектор

Для определения вектора, подлежащего исключению из базиса, находят для всех Пусть этот минимум достигается при i=r . Тогда из базиса исключают вектор , а число называют разрешающим элементом.

Столбец и строку, на пересечении которых находится разрешающий элемент, называют направляющими.

После выделения направляющей строки и направляющего столбца находят новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану. Это легко реализовать, если воспользоваться методом Жордана–Гаусса. При этом можно показать, что положительные компоненты нового опорного плана вычисляются по формулам

(25)

а коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану, – по формулам

(26)

После вычисления и согласно формулам (25) и (26) их значения заносят в табл. 4. Элементы -й строки этой таблицы могут быть вычислены либо по формулам

(27)

(28)

либо на основании их определения.

Таблица 3

Базис

С б

P 0

c 1

c 2

...

c r

...

c m

c m+1

...

c k

...

c n

P 1

P 2

...

P r

...

P m

P m+1

...

P k

...

P n

P 1

c 1

b 1

...

a 1m+1

...

a 1k

...

a 1n

P 2

c 2

b 2

...

a 2m+1

...

a 2k

...

a 2n

P r

c r

b r

...

a rm+2

...

a rk

...

a rn

P m

c m

b m

...

a mm+1

...

a mk

...

a mn

m+1

F m

...

Δ m+1

...

Δ k

...

Δ n

Таблица 4

Баз
ис

С б

P 0

c 1

c 2

...

c r

...

c m

c m+1

...

c k

...

c n

P 1

P 2

...

P r

...

P m

P m+1

...

P k

...

P n

P 1

c 1

b 1

...

a " 1r

...

a " 1m+1

...

a " 1n

P 2

c 2

b 2

...

a " 2r

...

a " 2m+1

...

a " 2n

P r

c r

b r

...

a " rr

...

a " rm+2

...

a " rn

P m

c m

b m

...

a " mr

...

a " mm+1

...

a " mn

m+1

F m

...

z " r -c r

...

z " m+1 -c m+1

...

z " n -c n

Наличие двух способов нахождения элементов -й строки позволяет осуществлять контроль правильности проводимых вычислений.

Из формулы (27) следует, что при переходе от одного опорного плана к другому наиболее целесообразно ввести в базис вектор , имеющий индекс j , при котором максимальным по абсолютной величине является число . Однако с целью упрощения вычислительного процесса в дальнейшем будем вектор, вводимый в базис, определять, исходя из максимальной абсолютной величины отрицательных чисел . Если же таких чисел несколько, то в базис будем вводить вектор, имеющий такой же индекс, как и максимальное из чисел , определяемых данными числами

Итак, переход от одного опорного плана к другому сводится к переходу от одной симплекс-таблицы к другой. Элементы новой симплекс-таблицы можно вычислить как с помощью рекуррентных формул (25)-(28), так и по правилам, непосредственно вытекающим из них. Эти правила состоят в следующем.

В столбцах векторов, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляются единицы, а все остальные элементы данных столбцов полагают равными нулю.

Элементы векторов и в строке новой симплекс-таблицы, в которой записан вектор, вводимый в базис, получают из элементов этой же строки исходной таблицы делением их на величину разрешающего элемента. В столбце в строке вводимого вектора проставляют величину , где k – индекс вводимого вектора.

Остальные элементы столбцов вектора и новой симплекс-таблицы вычисляют по правилу треугольника. Для вычисления какого-нибудь из этих элементов находят три числа:

1) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на месте искомого элемента новой симплекс-таблицы;

2) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на пересечении строки, в которой находится искомый элемент новой симплекс-таблицы, и столбца, соответствующего вектору, вводимому в базис;

3) число, стоящее в новой симплекс-таблице на пересечении столбца, в котором стоит искомый элемент, и строки вновь вводимого в базис вектора (как отмечено выше, эта строка получается из строки исходной симплекс-таблицы делением ее элементов на разрешающий элемент).

Эти три числа образуют своеобразный треугольник, две вершины которого соответствуют числам, находящимся в исходной симплекс-таблице, а третья – числу, находящемуся в новой симплекс-таблице. Для определения искомого элемента новой симплекс-таблицы из первого числа вычитают произведение второго и третьего.

После заполнения новой симплекс-таблицы просматривают элементы -й строки. Если все , то новый опорный план является оптимальным. Если же среди указанных чисел имеются отрицательные, то, используя описанную выше последовательность действий, находят новый опорный план. Этот процесс продолжают до тех пор, пока либо не получают оптимальный план задачи, либо не устанавливают ее неразрешимость.

При нахождении решения задачи линейного программирования мы предполагали, что эта задача имеет опорные планы и каждый такой план является невырожденным. Если же задача имеет вырожденные опорные планы, то на одной из итераций одна или несколько переменных опорного плана могут оказаться равными нулю. Таким образом, при переходе от одного опорного плана к другому значение функции может остаться прежним. Более того, возможен случай, когда функция сохраняет свое значение в течение нескольких итераций, а также возможен возврат к первоначальному базису. В последнем случае обычно говорят, что произошло зацикливание. Однако при решении практических задач этот случай встречается очень редко, поэтому мы на нем останавливаться не будем.

Итак, нахождение оптимального плана симплексным методом включает следующие этапы:

1. Находят опорный план.

2. Составляют симплекс-таблицу.

3. Выясняют, имеется ли хотя бы одно отрицательное число . Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если же среди чисел имеются отрицательные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

4. Находят направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом , а направляющая строка – минимальным из отношений компонент столбца вектора к положительным компонентам направляющего столбца.

5. По формулам (25) – (28) определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Pj по векторам нового базиса и числа , . Все эти числа записываются в новой симплекс-таблице.

6. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к этапу 4, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивают.

Пример 9.

Для изготовления различных изделий А , В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А , В и С , а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 5.

Таблица 5

Вид сырья	Нормы затрат сырья (кг) на одно изделие	Общее количество сырья (кг)
Вид сырья		Общее количество сырья (кг)

Цена одного изделия (руб.)

Изделия А , В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи. Искомый выпуск изделий А обозначим через x 1 , изделий В – через , изделий С – через . Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные должны удовлетворять следующей системе неравенств:

(29)

Общая стоимость произведенной предприятием продукции при условии выпуска x 1 изделий А , изделий В и изделий С составляет

По своему экономическому содержанию переменные могут принимать только лишь неотрицательные значения:

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (29) требуется найти такое, при котором функция (30) принимает максимальное значение.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида. Например, – это неиспользуемое количество сырья I вида.

Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:

Поскольку среди векторов имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Таковым является план Х =(0; 0; 0; 360; 192; 180), определяемый системой трехмерных единичных векторов которые образуют базис трехмерного векторного пространства.

Составляем симплексную таблицу для I итерации (табл. 6), подсчитываем значения и проверяем исходный опорный план на оптимальность:

Для векторов базиса

Таблица 6



	р 5

Как видно из таблицы 6, значения всех основных переменных равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому “плану”, при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю (т. е. стоимость произведенной продукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптимальным.

Это видно и из 4-й строки табл. 6, так как в ней имеется три отрицательных числа: и Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции.

Так, число – 9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение выпуска продукции на 9 руб. Если включить в план производства по одному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на 10 и 16 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отрицательное число стоит в 4-й строке столбца вектора Р 3 . Следовательно, в базис введем вектор Р 3 . определяем вектор, подлежащий исключению из базиса. Для этого находим

Найдя число мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида соответственно 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С , которое может быть изготовлено предприятием, равно т. е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья II вида. С учетом его наличия предприятие может изготовить 24 изделия С. При этом сырье II вида будет полностью использовано.

Следовательно, вектор Р 5 подлежит исключению из базиса. Столбец вектора Р 3 к 2-я строка являются направляющими. Составляем таблицу для II итерации (табл. 7).

Таблица 7

P 4

p 3

Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в базис, т. е. строку, номер которой совпадает с номером направляющей строки. Здесь направляющей является 2-я строка. Элементы этой строки табл. 7 получаются из соответствующих элементов таблицы 6 делением их на разрешающий элемент (т. е. на 8). При этом в столбце С б записываем коэффициент , стоящий в столбце вводимого в базис вектора . Затем заполняем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляем единицы, а все остальные элементы полагаем равными нулю.

Для определения остальных элементов табл. 7 применяем правило треугольника. Эти элементы могут быть вычислены и непосредственно по рекуррентным формулам.

Вычислим элементы табл. 7, стоящие в столбце вектора Р 0 . Первый из них находится в 1-й строке этого столбца. Для его вычисления находим три числа:

1) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора Р 0 и 1-й строки (360);

2) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора P 3 и 1-й строки (12);

3) число, стоящее в табл. 7 на пересечении столбца вектора Р 0 и 2-й строки (24).

Вычитая из первого числа произведение двух других, находим искомый элемент: 360 – 12 х 24=72; записываем его в 1-й строке столбца вектора Р 0 табл. 7.

Второй элемент столбца вектора Р 0 табл. 7 был уже вычислен ранее. Для вычисления третьего элемента столбца вектора Р 0 также находим три числа. Первое из них (180) находится на пересечении 3-й строки и столбца вектора Р 0 табл. 6, второе (3) – на пересечении 3-й строки и столбца вектора P 3 табл. 6, третье (24) – на пересечении 2-й строки и столбца вектора Р 0 табл. 8. Итак, указанный элемент есть 180 – 24 х 3=108. Число 108 записываем в 3-й строке столбца вектора Р 0 табл. 7.

Значение F 0 в 4-й строке столбца этого же вектора можно найти двумя способами:

1) по формуле , т.е.

2) по правилу треугольника; в данном случае треугольник образован числами 0, -16, 24. Этот способ приводит к тому же результату: 0 - (-16) х 24=384.

При определении по правилу треугольника элементов столбца вектора Р 0 третье число, стоящее в нижней вершине треугольника, все время оставалось неизменным и менялись лишь первые два числа. Учтем это при нахождении элементов столбца вектора P 1 табл. 7. Для вычисления указанных элементов первые два числа берем из столбцов векторов P 1 и Р 3 табл. 6, а третье число – из табл. 7. Это число стоит на пересечении 2-й строки и столбца вектора P 1 последней таблицы. В результате получаем значения искомых элементов: 18 – 12 х (3/4) =9; 5 – 3 х (3/4) = 11/4.

Число в 4-й строке столбца вектора P 1 табл. 7 можно найти двумя способами:

1) по формуле Z 1 -С 1 =(C,P 1)-C 1 имеем

2) по правилу треугольника получим

Аналогично находим элементы столбца вектора P 2 .

Элементы столбца вектора Р 5 вычисляем по правилу треугольника. Однако построенные для определения этих элементов треугольники выглядят иначе.

При вычислении элемента 1-й строки указанного столбца получается треугольник, образованный числами 0,12 и 1/8. Следовательно, искомый элемент равен 0 – 12х (1/8) = -3/2. Элемент, стоящий в 3-й строке данного столбца, равен 0 - 3 х (1 /8) = -3/8.

По окончании расчета всех элементов табл. 7 в ней получены новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы P 4 , P 3 , P 6 и значения и . Как видно из этой таблицы, новым опорным планом задачи является план X =(0; 0; 24; 72; 0; 108). При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1 вида и 108 кг сырья III вида. Стоимость всей производимой при этом плане продукции равна 384 руб. Указанные числа записаны в столбце вектора Р 0 табл. 7. Как видно, данные этого столбца по-прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они претерпели значительные изменения. Изменились данные и других столбцов, а их экономическое содержание стало более сложным. Так, например, возьмем данные столбца вектора Р 2 . Число 1/2 во 2-й строке этого столбца показывает, на сколько следует уменьшить изготовление изделий С , если запланировать выпуск одного изделия В. Числа 9 и 3/2 в 1-й и 3-й строках вектора P 2 показывают соответственно, сколько потребуется сырья I и II вида при включении в план производства одного изделия В , а число – 2 в 4-й строке показывает, что если будет запланирован выпуск одного изделия В , то это обеспечит увеличение выпуска продукции в стоимостном выражении на 2 руб. Иными словами, если включить в план производства продукции одно изделие В , то это потребует уменьшения выпуска изделия С на 1/2 ед. и потребует дополнительных затрат 9 кг сырья I вида и 3/2 кг сырья III вида, а общая стоимость изготовляемой продукции в соответствии с новым оптимальным планом возрастет на 2 руб. Таким образом, числа 9 и 3/2 выступают как бы новыми “нормами” затрат сырья I и III вида на изготовление одного изделия В (как видно из табл. 6, ранее они были равны 15 и 3), что объясняется уменьшением выпуска изделий С.

Такой же экономический смысл имеют и данные столбца вектора Р 1 табл. 7. Несколько иное экономическое содержание имеют числа, записанные в столбце вектора Р 5 . Число 1/8 во 2-й строке этого столбца, показывает, что увеличение объемов сырья II вида на 1 кг позволило бы увеличить выпуск изделий С на 1/8 ед. Одновременно потребовалось бы дополнительно 3/2 кг сырья I вида и 3/8 кг сырья III вида. Увеличение выпуска изделий С на 1/8 ед. приведет к росту выпуска продукции на 2 руб.

Из изложенного выше экономического содержания данных табл. 7 следует, что найденный на II итерации план задачи не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки табл. 7, поскольку в столбце вектора P 2 этой строки стоит отрицательное число – 2. Значит, в базис следует ввести вектор P 2 , т. е. в новом плане следует предусмотреть выпуск изделий В. При определении возможного числа изготовления изделий В следует учитывать имеющееся количество сырья каждого вида, а именно: возможный выпуск изделий В определяется для , т. е. находим

Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор Р 4 иными словами, выпуск изделий В ограничен имеющимся в распоряжении предприятия сырьем I вида. С учетом имеющихся объемов этого сырья предприятию следует изготовить 8 изделий В. Число 9 является разрешающим элементом, а столбец вектора P 2 и 1-я строка табл. 7 являются направляющими. Составляем таблицу для III итерации (табл. 8).

Таблица 8

P 2

P 3

В табл. 8 сначала заполняем элементы 1-й строки, которая представляет собой строку вновь вводимого в базис вектора Р 2 . Элементы этой строки получаем из элементов 1-й строки табл. 7 делением последних на разрешающий элемент (т.е. на 9). При этом в столбце С б данной строки записываем .

Затем заполняем элементы столбцов векторов базиса и по правилу треугольника вычисляем элементы остальных столбцов. В результате в табл. 8 получаем новый опорный план X =(0; 8; 20; 0; 0; 96) и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и соответствующие значения и

Проверяем, является ли данный опорный план оптимальным или нет. Для этого рассмотрим 4-ю строку, табл. 8. В этой строке среди чисел нет отрицательных. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным и

Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 8 изделий В и 20 изделий С , является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье I и II видов и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 400 руб.

Оптимальным планом производства продукции не предусматривается изготовление изделий А. Введение в план выпуска продукции изделий вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости. Это видно из 4-й строки столбца вектора P 1 , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 руб.

Решение данного примера симплексным методом можно было бы проводить, используя лишь одну таблицу (табл. 9). В этой таблице последовательно записаны одна за другой все три итерации вычислительного процесса.

Таблица 9



	р 5 P 4 p 3 P 2 p 3

Как видно из табл. 10, исходный опорный план не является оптимальным. Поэтому переходим к новому опорному плану. Это можно сделать, так как в столбцах векторов P 1 и p 5 , 4-я строка которых содержит отрицательные числа, имеются положительные элементы. Для перехода к новому опорному плану введем в базис вектор p 5 и исключим из базиса вектор p 4 . Составляем таблицу II итерации.

Таблица 11

Как видно из табл. 11, новый опорный план задачи не является оптимальным, так как в 4-й строке столбца вектора P 1 стоит отрицательное число -11/3. Поскольку в столбце этого вектора нет положительных элементов, данная задача не имеет оптимального плана.

Линейное программирование - это метод математического моделирования, разработанный для оптимизации использования ограниченных ресурсов. ЛП успешно применяется в военной области, индустрии, сельском хозяйстве, транспортной отрасли, экономике, системе здравоохранения и даже в социальных науках. Широкое использование этого метода также подкрепляется высокоэффективными компьютерными алгоритмами, реализующими данный метод. На алгоритмах линейного программирования базируются оптимизационные алгоритмы для других, более сложных типов моделей и задач исследования операций (ИО), включая целочисленное, нелинейное и стохастическое программирование.

Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача линейного программирования математически записывается следующим образом:

где X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) ; W – область допустимых значений переменных x 1 , x 2 , ... , x n ;f(Х) – целевая функция.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать такое, что при любом .

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешимой, если целевая функция f(Х) не ограничена сверху на допустимом множестве W .

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(Х) , так и от строения допустимого множества W . Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

Характерные черты задач линейного программирования следующие:

показатель оптимальности f(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) ;

ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

(2) (3) (4) (5)

При этом система линейных уравнений (3) и неравенств (4), (5), определяющая допустимое множество решений задачи W , называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(Х) называется целевой функцией или критерием оптимальности .

Допустимое решение – это совокупность чисел (план ) X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) , удовлетворяющих ограничениям задачи. Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение.

Если математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

то говорят, что задача представлена в канонической форме .

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;

если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;

если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;

если некоторая переменная x j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными: x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .

Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ; 2x 2 - x 3 ≤ 5; x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1; 2x 1 - x 2 ≤ -3; x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".

2x 2 - x 3 + x 4 = 5; x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1; 2x 1 - x 2 + x 6 = -3; x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5; -x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1; -2x 1 + x 2 - x 6 = 3.

Симплексный метод решения задач линейного программирования.

Алгоритм симплекс-метода находит оптимальное решение, рассматривая ограниченное количество допустимых базисных решений. Алгоритм симплекс-метода всегда начинается с некоторого допустимого базисного решения и затем пытается найти другое допустимое базисное решение, "улучшающее" значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-либо нулевой (небазисной) переменной ведет к улучшению значения целевой функции. Но для того, чтобы небазисная переменная стала положительной, надо одну из текущих базисных переменных сделать нулевой, т.е. перевести в небазисные. Это необходимо, чтобы новое решение содержало в точности m базисных переменных. В соответствии с терминологией симплекс-метода выбранная нулевая переменная называется вводимой (в базис), а удаляемая базисная переменная - исключаемой (из базиса).

Два правила выбора вводимых и исключающих переменных в симплекс-методе назовем условием оптимальности и условием допустимости . Сформулируем эти правила, а также рассмотрим последовательность действий, выполняемых при реализации симплекс-метода.

Условие оптимальности. Вводимой переменной в задаче максимизации (минимизации) является небазисная переменная, имеющая наибольший отрицательный (положительный) коэффициент в целевой -строке. Если в целевой -строке есть несколько таких коэффициентов, то выбор вводимой переменной делается произвольно. Оптимальное решение достигнуто тогда, когда в целевой -строке все коэффициенты при небазисных переменных будут неотрицательными (неположительными).

Условие допустимости. Как в задаче максимизации, так и в задаче минимизации в качестве исключаемой выбирается базисная переменная, для которой отношение значения правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально. Если базисных переменных с таким свойством несколько, то выбор исключаемой переменной выполняется произвольно.

Приведем алгоритм решения задачи линейного программирования на отыскание максимума с помощью симплекс таблиц.

F = с 1 х 1 +с 2 х 2 +…+с n x n max

х 1 0, х 2 0,…, х n 0.

1-й шаг . Вводим добавочные переменные и записываем полученную систему уравнений и линейную функцию в виде расширенной системы.

F–c 1 x 1 –c 2 x 2 –…–c n x n =0=c p.

2-й шаг. Составляем первоначальную симплекс-таблицу.

Переменные	Основные и добавочные переменные	свободные члены (решение)	Оценочное отношение
Переменные		свободные члены (решение)	Оценочное отношение

3-й шаг. Проверяем выполнение критерия оптимальности – наличие в последней строке отрицательных коэффициентов. Если таких нет, то решение оптимально и F * =c o , базисные переменные равны соответствующим коэффициентам b j , неосновные переменные равны нулю, т. е. X * =(b 1 ,b 2 ,…, b m , 0, …, 0).

4-й шаг . Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент в последней (оценочной) строке, определяет разрешающий столбец s.

Для определения разрешающей строки, рассчитаем оценочные отношения и заполним последний столбец таблицы.

Оценочное отношение i-ой строки равно

, если b i и a is имеют разные знаки;

, если b i =0 и а is <0;

, если a is =0;

0, если b i =0 и а is >0;

В столбце оценочных отношений находим минимальный элемент min который определяет разрешающую строку g.

Если минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума I и является неразрешимой.

На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент а gs .

5-й шаг . Строим следующую таблицу. Для этого

Переходим к третьему шагу.

М-метод Иногда при решении ЗЛП в матрице коэффициентов при неизвестных системы ограничений нет единичных столбцов, из которых можно составить единичную матрицу, т.е. возникает проблема выбора базисных переменных, либо первоначальное решение является недопустимым. В таких случаях используют метод искусственного базиса (М - метод). Во все ограничения, где нет базисных переменных, вводятся искусственные переменные . В целевую функцию искусственные переменные вводятся с коэффициентом (- М) для задач на max и с коэффициентом (+ М) для задач на min, где М – достаточно большое положительное число . Затем решается расширенная задача по правилам симплексного метода. Если все искусственные переменные окажутся равными нулю, т.е. будут исключены из базиса, то либо будет получено оптимальное решение исходной задачи, либо исходная задача решается далее и находится ее оптимальное решение или устанавливается ее неразрешимость. Если хотя бы одна из искусственных переменных окажется отличной от нуля, то исходная задача не имеет решения

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:

Указать способ нахождения оптимального опорного решения
Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения
Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

Привести задачу к каноническому виду
Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)
Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода
Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается
Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

Пример решения задачи симплексным методом

Пример 26.1

Решить симплексным методом задачу:

Решение:

Приводим задачу к каноническому виду.

Для этого в левую часть первого ограничения-неравенства вводим дополнительную переменную x 6 с коэффициентом +1. В целевую функцию переменная x 6 входит с коэффицентом ноль (т.е. не входит).

Получаем:

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные (неразрешенные) переменные приравниваем к нулю х1 = х2 = х3 = 0.

Получаем опорное решение Х1 = (0,0,0,24,30,6) с единичным базисом Б1 = (А4, А5, А6).

Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения по формуле:

Δ k = C б X k — c k

C б = (с 1 , с 2 , ... , с m) — вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных
X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) — вектор разложения соответствующего вектора А к по базису опорного решения
С к — коэффициент целевой функции при переменной х к.

Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю. Опорное решение, коэффиценты разложений и оценки разложений векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу :

Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором столбце таблицы "С б " записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении коэффициентов целевой функции в столбце "С б " оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равных нулю.

В последней строке таблицы с оценками Δ k в столбце "А 0 " записываются значения целевой функции на опорном решении Z(X 1).

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум оценки Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 для векторов А 1 и А 3 отрицательные.

По теореме об улучшении опорного решения, если в задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше.

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции.

Приращение целевой функции находится по формуле: .

Вычисляем значения параметра θ 01 для первого и третьего столбцов по формуле:

Получаем θ 01 = 6 при l = 1, θ 03 = 3 при l = 1 (таблица 26.1).

Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора ΔZ 1 = — 6*(- 2) = 12, и третьего вектора ΔZ 3 = — 3*(- 9) = 27.

Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению необходимо ввести в базис опорного решения вектор А3 вместо первого вектора базиса А6, так как минимум параметра θ 03 достигается в первой строке (l = 1).

Производим преобразование Жордана с элементом Х13 = 2, получаем второе опорное решение Х2 = (0,0,3,21,42,0) с базисом Б2 = (А3, А4, А5). (таблица 26.2)

Это решение не является оптимальным, так как вектор А2 имеет отрицательную оценку Δ2 = — 6. Для улучшение решения необходимо ввести вектор А2 в базис опорного решения.

Определяем номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычисляем параметр θ 02 для второго столбца, он равен 7 при l = 2. Следовательно, из базиса выводим второй вектор базиса А4. Производим преобразование Жордана с элементом х 22 = 3, получаем третье опорное решение Х3 = (0,7,10,0,63,0) Б2 = (А3, А2, А5) (таблица 26.3).

Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов, не входящих в базис оценки положительные

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Ответ: max Z(X) = 201 при Х = (0,7,10,0,63).

Метод линейного программирования в экономическом анализе

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Этот период базируется на решении системы линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод линейного программирования используется для анализа переменных величин при наличии определенных ограничивающих факторов.

Весьма распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации затрат, осуществляемых в связи с эксплуатацией транспортных средств в условиях имеющихся ограничений в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности времени их работы, при наличии необходимости обслуживания максимального количества заказчиков.

Кроме этого, данный метод находит широкое применение при решении задачи составления расписания. Эта задача состоит в таком распределении времени функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого персонала, так и для клиентов организации.

Данная задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе размещения и использования различных видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования деятельности организаций.

Все же математическое программирование может применяться и в отношении тех экономических явлений, зависимость между которыми не является линейной. Для этой цели могут быть использованы методы нелинейного, динамического и выпуклого программирования.

Нелинейное программирование опирается на нелинейный характер целевой функции или ограничений, либо и того и другого. Формы целевой функции и неравенств ограничений в этих условиях могут быть различными.

Нелинейное программирование применяется в экономическом анализе в частности, при установлении взаимосвязи между показателями, выражающими эффективность деятельности организации и объемом этой деятельности, структурой затрат на производство, конъюнктурой рынка, и др.

Динамическое программирование базируется на построении дерева решений. Каждый ярус этого дерева служит стадией для определения последствий предыдущего решения и для устранения малоэффективных вариантов этого решения. Таким образом, динамическое программирование имеет многошаговый, многоэтапный характер. Этот вид программирования применяется в экономическом анализе с целью поиска оптимальных вариантов развития организации как в настоящее время, так и в будущем.

Выпуклое программирование представляет собой разновидность нелинейного программирования. Этот вид программирования выражает нелинейный характер зависимости между результатами деятельности организации и осуществляемыми ей затратами. Выпуклое (иначе вогнутое) программирование анализирует выпуклые целевые функции и выпуклые системы ограничений (точки допустимых значений). Выпуклое программирование применяется в анализе хозяйственной деятельности с целью минимизации затрат, а вогнутое — с целью максимизации доходов в условиях имеющихся ограничений действия факторов, влияющих на анализируемые показатели противоположным образом. Следовательно, при рассматриваемых видах программирования выпуклые целевые функции минимизируются, а вогнутые — максимизируются.

Симплексный метод − это метод упорядоченного перебора опорных планов (упорядоченность обеспечивается монотонным изменением значения целевой функции при переходе к очередному плану). При этом необходимо соблюдать принцип: каждый следующий шаг должен улучшить или, в крайнем случае, не ухудшить значение целевой функции.

Для решения ЗЛП симплекс-методом ее приводят к каноническому виду, т.е. из ограничений – неравенств надо сделать ограничения – равенства. Для этого в каждое ограничение вводится дополнительная неотрицательная балансовая переменная со знаком «+», если знак неравенства «£», и со знаком «–», ели знак неравенства «³».

В целевой функции эти дополнительные переменные входят с нулевыми коэффициентами, т.е. запись целевой функции не изменится. Каждую переменную, на которую не наложено условие неотрицательности, можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных: .

Если ограничения задачи отображают наличие и расход ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в канонической форме, равно объему неиспользованного ресурса.

Для решения задачи симплекс-методом будем использовать укороченные симплексные таблицы системы линейных уравнений и метод модифицированного жорданова исключения .

1. Составляем первый опорный план

Задача остается прежней. Приведем стандартную форму системы неравенств (1) в каноническую форму системы уравнений путем введения дополнительных балансовых переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 .

В экономическом смысле значения дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 определяют остатки сырья после реализации продукции.

Матрица полученной системы уравнений имеет вид:

Видно, что в матрице A базисным минором 4-го порядка является определитель, составленный из единичных коэффициентов при дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , так как он отличен от нуля и равен 1. Это означает, что векторы-столбцы при этих переменных является линейно независимыми, т.е. образуют базис , а соответствующие им переменные x 3 , x 4 , x 5 , x 6 являются базисными (основными). Переменные x 1 , x 2 будут называться свободными (неосновными).

Если свободным переменным x 1 и x 2 задавать различные значения, то, решая систему относительно базисных переменных, получим бесконечное множество частных решений. Если свободным переменным задавать только нулевые значения, то из бесконечного множества частных решений выделяют базисные решения – опорные планы.

Чтобы выяснить, могут ли переменные быть базисными, необходимо вычислить определитель, состоящий из коэффициентов при этих переменных. Если данный определитель не равен нулю, то эти переменные могут быть базисными.

Количество базисных решений и соответствующее ему число групп базисных переменных может быть не более, чем , где n –общее число переменных, r – число базисных переменных, r ≤ m ≤ n .

Для нашей задачи r = 4; n = 6. Тогда , т.е. возможны 15 групп из 4-х базисных переменных (или 15 базисных решений).

Разрешим систему уравнений относительно базисных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6:

Полагая, что свободные переменные x 1 = 0, x 2 = 0, получим значения базисных переменных: x 3 = 312; x 4 = 15; x 5 = 24; x 6 = –10, т.е. базисное решение будет = (0; 0; 312; 15; 24; –10).

Данное базисное решение является недопустимым , т.к. x 6 = –10 ≤ 0, а по условию ограничений x 6 ≥ 0. Поэтому вместо переменной x 6 в качестве базисной надо взять другую переменную из числа свободных x 1 или x 2 .

Дальнейшее решение будем выполнять, используя укороченные симплексные таблицы, заполнив строки первой таблицы коэффициентами системы следующим образом (табл. 1):

Таблица 1

F –строка называется индексной . Она заполняется коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками, так как уравнение функции можно представить в виде F = 0 – (– 4x 1 – 3x 2).

В столбце свободных членов b i есть отрицательный элемент b 4 = –10, т.е. решение системы является недопустимым. Чтобы получить допустимое решение (опорный план), элемент b 4 надо сделать неотрицательным.

Выбираем x 6 -строку с отрицательным свободным членом. В этой строке есть отрицательные элементы. Выбираем любой из них, например, «–1» в x 1 -столбце, и x 1 -столбец принимаем в качестве разрешающего столбца (он определит, что переменная x 1 перейдет из свободных в базисные).

Делим свободные члены b i на соответствующие элементы a is разрешающего столбца, получаем оценочные отношения Θ i = = {24, 15, 12, 10}. Из них выбираем наименьшее положительное (minΘ i =10), которое будет соответствовать разрешающей строке . Разрешающая строка определяет переменную x j , которая на следующем шаге выступает из базиса и станет свободной. Поэтому x 6 -строка является разрешающей строкой, а элемент «–1» – разрешающим элементом . Обводим его кружком. Переменные x 1 и x 6 меняются местами.

Оценочные отношения Θ i в каждой строке определяются по правилам:

1) Θ i = , если b i и a is имеют разные знаки;

2) Θ i = ∞, если b i = 0 и a is < 0;

3) Θ i = ∞, если a is = 0;

4) Θ i = 0, если b i = 0 и a is > 0;

5) Θ i = , если b i и a is имеют одинаковые знаки.

Совершаем шаг модифицированного жорданова исключения (ШМЖИ) с разрешающим элементом и составляем новую таблицу (табл. 2) по следующему правилу:

1) на месте разрешающего элемента (РЭ) устанавливается величина, ему обратная, т.е. ;

2) элементы разрешающей строки делятся на РЭ;

3) элементы разрешающего столбца делятся на РЭ и знак меняется;

4) остальные элементы находятся по правилу прямоугольника:

Из табл. 2 видно, что свободные члены в b i -столбце являются неотрицательными, следовательно, получено первоначальное допустимое решение – первый опорный план = (10; 0; 182; 5; 4; 0). При этом значение функции F () = 40. Геометрически это соответствует вершине F (10; 0) многоугольника решений (рис. 1).

Таблица 2

2. Проверяем план на оптимальность. Опорный план не оптимальный, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–4». Улучшаем план.

3. Нахождение нового опорного плана

Выбираем разрешающий элемент по правилу:

Выбираем наименьший отрицательный коэффициент в F -строке «–4», который и определяет разрешающий столбец – x 6 ; переменную x 6 переводим в базисные;

Находим отношения Θ i , среди них выбираем наименьшее положительное, которое соответствует разрешающей строке:

min Θ i = min {14, 5, 2, ∞} = 2, следовательно, x 5 -строка – разрешающая, переменную x 5 переводим в свободные (переменные x 5 и x 6 меняются местами).

На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент «2»;

Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 3 по вышеприведенному правилу и получаем новый опорный план = (12; 0; 156; 3; 0; 2).

Таблица 3

4. Проверка нового опорного плана на оптимальность

Опорный план также не является оптимальным, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–1». Значение функции F () = 48, что геометрически соответствует вершине E (12; 0) многоугольника решений (рис. 1). Улучшаем план.

5. Нахождение нового опорного плана

x 2 -столбец – разрешающий, так как в F -строке наименьший отрицательный коэффициент «–1» находится в x 2 -столбце (Δ 2 = –1). Находим наименьшее Θ i : min Θ i = min {≈ 9, 6, ∞, 24} = 6, следовательно, x 4 -строка – разрешающая. Разрешающий элемент «1/2». Меняем местами переменные x 2 и x 4 . Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 4, получаем новый опорный план = (9; 6; 51; 0; 0; 5).

6. Проверка опорного плана на оптимальность

В F -строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, опорный план является оптимальным. Геометрически соответствует точке D (9;6) (см. рис. 1). Оптимальный план дает максимальное значение целевой функции у.е.

Онлайн калькулятор решения м метода. Симплексный метод решения злп

Симплекс-метод

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Пример решения задачи симплексным методом

Метод линейного программирования в экономическом анализе