В классической механике существуют два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии .
Импульс тела
Впервые понятие импульса ввёл французский математик, физик, механик и философ Декарт, назвавший импульс количеством движения .
С латинского «импульс» переводится как «толкать, двигать».
Любое тело, которое движется, обладает импульсом.
Представим себе тележку, стоящую неподвижно. Её импульс равен нулю. Но как только тележка начнёт двигаться, её импульс перестанет быть нулевым. Он начнёт изменяться, так как будет изменяться скорость.
Импульс материальной точки, или количество движения, – векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость. Направление вектора импульса точки совпадает с направлением вектора скорости.
Если говорят о твёрдом физическом теле, то импульсом такого тела называют произведение массы этого тела на скорость центра масс.
Как вычислить импульс тела? Можно представить, что тело состоит из множества материальных точек, или системы материальных точек.
Если - импульс одной материальной точки, то импульс системы материальных точек
То есть, импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему. Она равна произведению масс этих точек на их скорости.
Единица измерения импульса в международной системе единиц СИ – килограмм-метр в секунду (кг · м/сек).
Импульс силы
В механике существует тесная связь между импульсом тела и силой. Эти две величины связывает величина, которая называется импульсом силы .
Если на тело действует постоянная сила F в течение промежутка времени t , то согласно второму закону Ньютона
Эта формула показывает связь между силой, которая действует на тело, временем действия этой силы и изменением скорости тела.
Величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время, в течение которого она действует, называется импульсом силы .
Как мы видим из уравнения, импульс силы равен разности импульсов тела в начальный и конечный момент времени, или изменению импульса за какое-то время.
Второй закон Ньютона в импульсной форме формулируется следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы. Нужно сказать, что сам Ньютон именно так и сформулировал первоначально свой закон.
Импульс силы – это также векторная величина.
Закон сохранения импульса вытекает из третьего закона Ньютона.
Нужно помнить, что этот закон действует только в замкнутой, или изолированной, физической системе. А замкнутой называют такую систему, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами.
Представим замкнутую систему из двух физических тел. Силы взаимодействия тел друг с другом называют внутренними силами.
Импульс силы для первого тела равен
Согласно третьему закону Ньютона силы, которые действуют на тела при их взаимодействии, равны по величине и противоположны по направлению.
Следовательно, для второго тела импульс силы равен
Путём простых вычислений получаем математическое выражение закона сохранения импульса:
где m 1 и m 2 – массы тел,
v 1 и v 2 – скорости первого и второго тел до взаимодействия,
v 1 " и v 2 " – скорости первого и второго тел после взаимодействия.
p 1 = m 1 · v 1 - импульс первого тела до взаимодействия;
p 2 = m 2 · v 2 - импульс второго тела до взаимодействия;
p 1 "= m 1 · v 1 " - импульс первого тела после взаимодействия;
p 2 "= m 2 · v 2 " - импульс второго тела после взаимодействия;
То есть
p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "
В замкнутой системе тела только обмениваются импульсами. А векторная сумма импульсов этих тел до их взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.
Так, в результате выстрела из ружья импульс самого ружья и импульс пули изменятся. Но сумма импульсов ружья и находящейся в нём пули до выстрела останется равной сумме импульсов ружья и летящей пули после выстрела.
При стрельбе из пушки возникает отдача. Снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Снаряд и пушка – замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса.
Импульс каждого из тел в замкнутой системе может изменяться в результате их взаимодействия друг с другом. Но векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется при взаимодействии этих тел с течением времени, то есть остаётся постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса .
Более точно закон сохранения импульса формулируется следующим образом: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Нужно сказать, что в природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю, (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Закон сохранения импульса называют также законом сохранения количества движения .
Самый яркий пример применения закона сохранения импульса – реактивное движение.
Реактивное движение
Реактивным движением называют движение тела, которое возникает при отделении от него с определённой скоростью какой-то его части. Само тело получает при этом противоположно направленный импульс.
Самый простой пример реактивного движения – полёт воздушного шарика, из которого выходит воздух. Если мы надуем шарик и отпустим его, он начнёт лететь в сторону, противоположную движению выходящего из него воздуха.
Пример реактивного движения в природе – выброс жидкости из плода бешеного огурца, когда он лопается. При этом сам огурец летит в противоположную сторону.
Медузы, каракатицы и другие обитатели морских глубин передвигаются, вбирая воду, а затем выбрасывая её.
На законе сохранения импульса основана реактивная тяга. Мы знаем, что при движении ракеты с реактивным двигателем в результате сгорания топлива из сопла выбрасывается струя жидкости или газа (реактивная струя ). В результате взаимодействия двигателя с вытекающим веществом появляется реактивная сила . Так как ракета вместе с выбрасываемым веществом является замкнутой системой, то импульс такой системы не меняется со временем.
Реактивная сила возникает в результате взаимодействия только частей системы. Внешние силы не оказывают никакого влияния на её появление.
До того, как ракета начала двигаться, сумма импульсов ракеты и горючего была равна нулю. Следовательно, по закону сохранения импульса после включения двигателей сумма этих импульсов тоже равна нулю.
где - масса ракеты
Скорость истечени газа
Изменение скорости ракеты
∆ m f - расход массы топлива
Предположим, ракета работала в течение времени t .
Разделив обе части уравнения на ∆ t , получим выражение
По второму закону Ньютона реактивная сила равна
Реактивная сила, или реактивная тяга, обеспечивает движение реактивного двигателя и объекта, связанного с ним, в сторону, противоположную направлению реактивной струи.
Реактивные двигатели применяются в современных самолётах и различных ракетах, военных, космических и др.
ВВЕДЕНИЕ
Данное учебное пособие имеет целью оказать учащимся помощь в систематизации, обобщении и углублении знаний по физике, освоении методов и приемов решения задач при подготовке к итоговой аттестации.
Данное пособие включает:
· перечень рассматриваемых вопросов;
· систематизированное изложение основного теоретического материала (ориентирует учащихся на усвоение понятий, законов, закономерностей и т.д.);
· вопросы и задания для самоконтроля (они подобраны и сформулированы так, чтобы учащиеся могли проверить уровень своих знаний и умений по теме; вопросы и задания постепенно усложняются, что требует от учащихся для ответа и решения глубокого понимания физических законов, явлений и процессов, привлечения знаний из различных разделов физики);
· методические рекомендации по решению задач (последовательность действий, которые необходимо выполнить при решении задач, - от анализа условия задачи (его краткой записи, выполнение рисунка, схемы, чертежа, поясняющих условие задачи) до анализа и оценки полученного ответа);
· примеры решения задач (на примере решения наиболее типовых задач демонстрируется процесс построения и использования алгоритма решения задач на основе методических рекомендаций).
В приложении приведены тест и вариант контрольной работы, которую учащиеся выполняют самостоятельно.
Роль законов сохранения в механике и в других разделах физики огромна. Во-первых, они позволяют сравнительно простым путем, не рассматривая действующие на тела силы, решать ряд практически важных задач. Законы сохранения позволяют по первоначальному состоянию системы, не зная подробностей взаимодействия тел, определить ее конечное состояние, например, зная скорости тел до взаимодействия, определить скорости этих тел после взаимодействия. Во-вторых, и это главное, открытые в механике законы сохранения играют в природе огромную роль, далеко выходящую за рамки самой механики. Даже в тех условиях, когда законы механики Ньютона применять нельзя, законы сохранения импульса, энергии и момента импульса не теряют значения. Они применимы как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и элементарным частицам. Именно всеобщность законов сохранения, их применимость ко всем явлениям природы, а не только к механическим делает эти законы столь значительными.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. К. Э. Циолковский - основоположник учения о реактивном движении.
Механическая работа. Работа силы тяжести, силы упругости, силы трения. Мощность.
Механическая энергия. Кинетическая и потенциальная энергия. Потенциальная энергия тел при гравитационном взаимодействии. Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Закон сохранения энергии в механике. Изменение энергии в незамкнутых системах. Закон сохранения и превращения энергии. Упругие и неупругие соударения тел.
Импульс тела
Импульсом тела (количеством движения) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела т на его скорость и направленная так же, как и скорость (рис. 1.1):
Рисунок 1.1 Импульс тела.
Единицей импульса тела в СИ является килограмм-метр на секунду
Пусть скорость тела под действием силы F изменяется за время Δt от v 0 до v. Согласно основному уравнению динамики
Учитывая, что
Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы . Единицей импульса силы является ньютон-секунда (Н с).
Формула (1.2) выражает второй закон Ньютона, который может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела равно им пульсу равнодействующей сил, действующих на данное тело.
Отсюда видно, что импульс тела изменяется под действием данной силы одинаково у тел любой массы, если только время действия сил одинаково .
Импульс тела, как и скорость, зависит от выбора системы отсчета. Ускорение движения тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, сила, а значит, согласно (1.2) и изменение импульса тела не зависит от выбора системы отсчета. В любой инерциальной системе отсчета изменение импульса тела одинаково.
Закон сохранения импульса
Рассмотрим систему трех тел (рис. 2.1).
На тела действуют внешние силы F 1 , F 2 , F 3 . Силы F l2 , F 21 ,F 13 ,F 31 , F 23 , F 32 - внутренние силы.
Рисунок 2.1. Система трех тел.
Запишем для каждого тела основное уравнение динамики:
Просуммировав эти уравнения и учитывая, что согласно третьему закону Ньютона
где - импульс системы тел.
Импульс системы тел равен геометрической сумме импульсов тел системы. Таким образом, импульс системы тел могут изменить только внешние силы. Если система замкнута, то
Равенство (2.1) выражает закон сохранения импульса (ЗСИ): импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых взаимодействиях этих тел.
В случае незамкнутой системы ЗСИ используется, если:
а) геометрическая сумма внешних сил равна нулю;
б) проекция равнодействующей внешних сил на некоторое направление равна нулю, т.е. вдоль этого направления импульссистемы сохраняется;
в) время взаимодействия мало (выстрел, взрыв, удар и т.п.).
С помощью ЗСИ можно вычислять скорости тел, не зная значения сил, действующих на них. ЗСИ является всеобщим законом: он применим как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и элементарным частицам.
Реактивное движение
Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении от тела его части с некоторой относительно тела скоростью.
При этом появляется так называемая реактивная сила, толкающая тело в сторону, противоположную направлению движения отделяющейся от него части тела.
Реактивное движение совершает ракета (рис. 3.1). Основной частью реактивного двигателя является камера сгорания. В одной из ее стенок имеется отверстие - реактивное сопло, предназначенное для выхода газа, образующегося при сгорании топлива. Высокая температура и давление газа определяют большую скорость истечения его из сопла.
До работы двигателя импульс ракеты и горючего был равен нулю, следовательно, и после включения двигателей геометрическая сумма импульсов ракеты и истекающих газов равна нулю:
где m и - масса и скорость выбрасываемых газов, М и - масса и скорость ракеты.
Рисунок 3.1. Реактивное движение.
В проекции на ось Оу:
Скорость ракеты.
Эта формула справедлива при условии небольшого изменения массы ракеты.
Конечная скорость ракеты находится в соответствии с формулой Циолковского:
(3.1)
Где – отношение начальной и конечной масс ракеты.
Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ=7,9·10 3 м/с при =3·10 3 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2–4км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ 2 =4 отношение М 0 /М должно быть равно 50.
Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет , когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления ит.д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.
Главная особенность реактивного движения состоит в том, что ракета может как ускоряться, так и тормозиться и поворачиваться без какого-либо взаимодействия с другими телами в отличие от всех других транспортных средств.
По принципу реактивного движения передвигаются осьминоги, кальмары, каракатицы, медузы.
Большая заслуга в развитии теории реактивного движения принадлежит К. Э. Циолковскому. Он разработал теорию полета тела переменной массы (ракеты) в однородном поле тяготения и рассчитал запасы топлива, необходимые для преодоления силы земного притяжения, основы теории жидкостного реактивного двигателя, а также элементы его конструкции, теорию многоступенчатых ракет, причем предложил два варианта: параллельный (несколько реактивных двигателей работает одновременно) и последовательный (реактивные двигатели работают друг за другом). К. Э. Циолковский строго научно доказал возможность полета в космос с помощью ракет с жидкостным реактивным двигателем, предложил специальные траектории посадки космических аппаратов на Землю, выдвинул идею создания межпланетных орбитальных станций, предложил идею автоматического управления ракетой.
Труды К. Э. Циолковского явились теоретической базой для развития современной ракетной техники.
Механическая работа
Действие силы, связанное с перемещением тела, характеризуется механической работой.
Механическая работа - это скалярная физическая величина, которая характеризует процесс перемещения тела под действием силы и равна произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между ними:
В СИ единицей работы является джоуль (Дж).
Здесь F = const и а = const на всем перемещении (рис. 4.1).
Рисунок 4.1. Работа при перемещении тела.
Работа - величина скалярная и может быть как положительной, так и отрицательной (рисунок 4.2).
Рисунок 4.2. Зависимость работы от направления действия силы.
В общем случае сила переменна, путь криволинеен, угол α изменяется произвольно. Тогда для определения работы нужно мысленно разбитьвсе перемещение на такие малые перемещения , на которых можно считать силу и угол неизменными, и найти элементарные работы по формуле
Работа на всем перемещении будет равна алгебраической сумме элементарных работ и тем точнее, чем меньше каждое перемещение и чем больше их число:
и в пределе при Δг→0
Работа силы F на всей траектории выражается интегралом, вычисляемым вдоль траектории, где 1 и 2 - радиус-векторы начальной и конечной точек траектории.
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость F(r) вдоль траектории. Для определения работы можно воспользоваться графическим методом (рис. 4.3, а, б, в).
Рисунок 4.3. Графический метод для определения работы.
На графике F x = f(x) работа на перемещении Δr х = Δx численно равна площади заштрихованной фигуры. Работу можно представить как произведение средней силы на перемещение:
А =
В частности, если сила изменяется линейно от F 1 до F 2 на данном перемещении, то ее среднее значение
Если к движущемуся телу приложено несколько сил, то каждая из них совершает работу, а общая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами.
Работа силы тяжести
Пусть тело перемещается вертикально вниз из положения 1 в положение 2, определяемые соответственно высотами h 1 иh 2 над нулевым уровнем (рис. 5.1).
Рисунок 5.1. Работа силы тяжести.
Работа силы тяжести
При перемещении тела из положения 1 в положение 2 по траектории 1-3-2 работа силы тяжести
А = А 13 + А 32 .
A l 3 = mgΔr 1 cosα, A 32 = mgΔr 2 cos90° = 0.
Из рисунка 5.1 видно, что
Δr 1 cosα=h 1 -h 2 =>A=mg(h l ~h 2).
Это значит, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории движения тела, а зависит только от перемещения центра тяжести тела по вертикали. На замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а на замкнутой траектории равна нулю, называются консервативными. Следовательно, сила тяжести - консервативная сила.
Работа силы упругости
Пусть тело, прикрепленное к пружине и находящееся на гладком стержне, перемещается из положения 1 в положение 2 (рис. 6.1).
Рисунок 6.1. Движение тела на пружине.
Сила упругости, действующая на тело со стороны деформированной пружины, не остается постоянной, а изменяется согласно закону Гука пропорционально абсолютному удлинению:
F 1 =kx 1 и F 2 = kx 2 .
Найдем работу силы упругости на этом перемещении по формуле
Более строгий вывод формулы для расчета работы силы упругости можно сделать, использовав метод интегрирования:
Можно показать, что работа силы упругости не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории равна нулю. Она зависит только от взаимного положения частей тела. Сила упругости тоже консервативная сила.
Работа силы трения
Так как сила трения направлена противоположно перемещению (рис. 7.1), то работа силы трения будет
А тр = F TP Δг cos 180° = -F TP Δr.
Рисунок 7.1. Сила трения направлена противоположно движению тела.
Пусть тело перемещается из точки 1 в точку 2 по разным траекториям. Так как модули перемещений Δг 1 и (Δг 2 + Δг 3) неодинаковы (рис. 7.2), то сила трения совершает разные работы.
Рисунок 7.2. Перемещение тела по разным траекториям.
Таким образом, в отличие от силы тяжести и силы упругости работа силы трения зависит от формы траектории, по которой движется тело, и на замкнутой траектории не равна нулю. Работа силы трения необратимо превращает механическое движение тела в тепловое движение атомов и молекул.
Мощность
Различные машины и механизмы, выполняющие одинаковую работу, могут отличаться мощностью. Мощность характеризует быстроту совершения работы. Очевидно, что чем меньшее время требуется для выполнения данной работы, тем эффективнее работает машина, механизм и др.
При движении любого тела на него в общем случае действует несколько сил. Каждая сила совершает работу, и, следовательно, для каждой силы мы можем вычислить мощность.
Средняя мощность силы - скалярная физическая величина N, равная отношению работы А, совершаемой силой, к промежутку времени Δt, в течение которого она совершается:
В СИ единицей мощности является ватт (Вт).
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, то она совершает работу А = FΔrcosα. Поэтому мощность этой силы
где - проекция силы на направление движения.
По этой формуле можно рассчитывать и среднюю, и мгновенную мощности, подставляя значения средней или мгновенной скорости.
Мгновенная мощность - это мощность силы в данный момент времени.
Любой двигатель или механизм предназначены для выполнения определенной механической работы, которую называют полезной работой А п. Но любой машине приходится совершать большую работу, так как вследствие действия сил трения часть подводимой к машине энергии не может быть преобразована в механическую работу. Поэтому эффективность работы машины характеризуют коэффициентом полезного действия (КПД).
Коэффициент полезного действия η - это отношение полезной работы Ап, совершенной машиной, ко всей затраченной работе А 3 (подведенной энергии W):
где N n , N 3 - полезная и затраченная мощности соответственно.
КПД обычно выражают в процентах.
Механическая энергия
Механическое состояние тела (системы тел) определяется его положением относительно других тел (координатами) и его скоростью.
Если изменяется хотя бы одна из этих величин, то говорят об изменении механического состояния тела.
Состояние данной системы тел обязательно изменяется, если внешние силы совершают отличную от нуля работу.
Количественно механическое состояние системы и его изменение характеризуется механической энергией W.
Механическая энергия - это физическая величина, являющаяся функцией состояния системы и характеризующая способность системы совершать работу.
Изменение механической энергии ΔW равно работе приложенных к системе внешних сил:
Значение энергии системы в данном состоянии не зависит от пути перехода ее в это состояние.
Кинетическая энергия
Найдем, как энергия тел зависит от их скорости.
Пусть на тело массой m действуетсила F (это может быть одна сила или равнодействующая нескольких сил), направленная вдоль перемещения, и скорость тела изменяется от до (рис. 10.1).
Рисунок 10.1. Движение тела под действием силы.
Работа этой силы A = FΔr.
По второму закону Ньютона F = ma.
При равноускоренном движении
Следовательно,
Физическая величина
называется кинетической энергией.
Энергия, которой обладает тело вследствие своего движения, называется кинетической энергией .
A = W k 2 -W k 1 =A
теорема о кинетической энергии :
изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей всех сил, действующих на тело.
Эта теорема справедлива независимо от того, какие силы действуют на тело: сила упругости, сила трения или сила тяжести.
Таким образом, кинетическая энергия тела равна работе, которую необходимо совершить, чтобы покоящемуся телу сообщить скорость.
Кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой .
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса . Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона
Если эти тела взаимодействуют в течение времени t , то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны:
Применим к этим телам второй закон Ньютона:
Где и - импульсы тел в начальный момент времени, и - импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился:
Закон сохранения импульса:
Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.
Изображенные на рис. 1.17.1 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY . Закон сохранения импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 1.17.1) следует, что проекции векторов и импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.
Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение .
При стрельбе из орудия возникает отдача - снаряд движется вперед, а орудие - откатывается назад. Снаряд и орудие - два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 1.17.2). Если скорости орудия и снаряда обозначить через и а их массы через M и m , то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX
На принципе отдачи основано реактивное движение
. В ракете
при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m
, а массу ракеты после истечения газов через M
. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия) можно записать:
где V - скорость ракеты после истечения газов. В данном случае предполагается, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.
Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно . На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.
Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t
имеет массу M
и движется со скоростью (рис. 1.17.3 (1)). В течение малого промежутка времени Δt
из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью Ракета в момент t
+ Δt
будет иметь скорость а ее масса станет равной M
+ ΔM
, где ΔM
< 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна -ΔM
> 0. Скорость газов в инерциальной системе OX
будет равна Применим закон сохранения импульса. В момент времени t
+ Δt
импульс ракеты равен , а импульс испущенных газов равен 
. В момент времени t
импульс всей системы был равен Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:
Величиной можно пренебречь, так как |ΔM | << M . Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt →0, получаем:
|
|
|
Рисунок 1.17.3. Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравитации). 1 - в момент времени t . Масса ракеты М, ее скорость 2 - Ракета в момент времени t + Δt . Масса ракеты M + ΔM , где ΔM < 0, ее скорость масса выброшенных газов -ΔM > 0, относительная скорость газов скорость газов в инерциальной системе |
Величина 
есть расход топлива в единицу времени. Величина называется реактивной силой тяги
Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение
выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:
где u - модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу Циолковского для конечной скорости υ ракеты:
где - отношение начальной и конечной масс ракеты.
Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ = υ 1 = 7,9·10 3 м/с при u = 3·10 3 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение должно быть равно 50.
Реактивное движение основано на законе сохранения импульса и это бесспорно. Только многие задачи решаются разными способами. Я предлагаю следующий. Простейший реактивный двигатель: камера, в которой с помощью сжигания топлива поддерживается постоянное давление, в нижнем днище камеры отверстие, через которое с определенной скоростью происходит истечение газа. Согласно закону сохранения импульса камера приходит в движение (прописные истины). Другой способ. В нижнем днище камеры отверстие, т.е. площадь нижнего днища меньше площади верхнего днища на площадь отверстия. Произведение давления на площадь дает силу. Сила, действующая на верхнее днище больше чем на нижнее (из-за разности площадей), получаем неуравновешенную силу, которая приводит камеру в движение. F = p (S1-S2) = pSотверстия, где S1 площадь верхнего днища, S2 площадь нижнего днища, Sотверстия площадь отверстия. Если решать задачи традиционным методом и предложенным мной результат будет один и тот же. Предложенный мной способ более сложен, но он объясняет динамику реактивного движения. Решение задач с помощью закона сохранения импульса более простое, но оно не дает понять откуда берется сила, приводящая камеру в движение.
На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Импульс. Закон сохранения импульса». Вначале мы дадим определение понятию импульса. Затем определим, в чём заключается закон сохранения импульса - один из главных законов, соблюдение которого необходимо, чтобы ракета могла двигаться, летать. Рассмотрим, как он записывается для двух тел и какие буквы и выражения используются в записи. Также обсудим его применение на практике.
Тема: Законы взаимодействия и движения тел
Урок 24. Импульс. Закон сохранения импульса
Ерюткин Евгений Сергеевич
Урок посвящен теме «Импульс и «закон сохранения импульса». Чтобы запускать спутники, нужно строить ракеты. Чтобы ракеты двигались, летали, мы должны совершенно точно соблюдать законы, по которым эти тела будут двигаться. Самым главным законом в этом смысле является закон сохранения импульса. Чтобы перейти непосредственно к закону сохранения импульса, давайте сначала определимся с тем, что такое импульс .
называют произведение массы тела на его скорость: . Импульс - векторная величина, направлен он всегда в ту сторону, в которую направлена скорость. Само слово «импульс» латинское и переводится на русский язык как «толкать», «двигать». Импульс обозначается маленькой буквой , а единицей измерения импульса является .
Первым человеком, который использовал понятие импульс, был . Импульс он попытался использовать как величину, заменяющую силу. Причина такого подхода очевидна: измерять силу достаточно сложно, а измерение массы и скорости - вещь достаточно простая. Именно поэтому часто говорят, что импульс - это количество движения. А раз измерение импульса является альтернативой измерения силы, значит, нужно связать эти две величины.
Рис. 1. Рене Декарт
Эти величины - импульс и силу - связывает между собой понятие . Импульс силы записывается как произведение силы на время, в течение которого эта сила действует: импульс силы . Специального обозначения для импульса силы нет.
Давайте рассмотрим взаимосвязь импульса и импульса силы. Рассмотрим такую величину, как изменение импульса тела, 
. Именно изменение импульса тела равно импульсу силы. Таким образом, мы можем записать: 
.
Теперь перейдем к следующему важному вопросу - закону сохранения импульса . Этот закон справедлив для замкнутой изолированной системы.
Определение: замкнутой изолированной системой называют такую, в которой тела взаимодействуют только друг с другом и не взаимодействуют с внешними телами.
Для замкнутой системы справедлив закон сохранения импульса: в замкнутой системе импульс всех тел остается величиной постоянной.
Обратимся к тому, как записывается закон сохранения импульса для системы из двух тел: .
Эту же формулу мы можем записать следующим образом: 
.
Рис. 2. Суммарный импульс системы из двух шариков сохраняется после их столкновения
Обратите внимание: данный закон дает возможность, избегая рассмотрения действия сил, определять скорость и направление движения тел. Этот закон дает возможность говорить о таком важном явлении, как реактивное движение.
Вывод второго закона Ньютона
С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела можно получить второй и третий законы Ньютона. Импульс силы равен изменению импульса тела: 
. Затем массу выносим за скобки, в скобках остается . Перенесем время из левой части уравнения в правую и запишем уравнение следующим образом: .
Вспомните, что ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло. Если теперь вместо выражения подставить символ ускорения , то мы получаем выражение: - второй закон Ньютона.
Вывод третьего закона Ньютона
Запишем закон сохранения импульса: . Перенесем все величины, связанные с m 1 , в левую часть уравнения, а с m 2 - в правую часть: .
Вынесем массу за скобки: . Взаимодействие тел происходило не мгновенно, а за определенный промежуток. И этот промежуток времени для первого и для второго тел в замкнутой системе был величиной одинаковой: 
.
Разделив правую и левую часть на время t, мы получаем отношение изменения скорости ко времени - это будет ускорение первого и второго тела соответственно. Исходя из этого, перепишем уравнение следующим образом: 
. Это и есть хорошо известный нам третий закон Ньютона: . Два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению.
Список дополнительной литературы:
А так ли хорошо знакомо вам количество движения? // Квант. — 1991. — №6. — С. 40-41. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. школы. — М.: Просвещение, 1990. — С. 110-118 Кикоин А.К. Импульс и кинетическая энергия // Квант. — 1985. — № 5. — С. 28-29. Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. - М.: Дрофа, 2002. - C. 284-307.
Как мы уже говорили, в точности замкнутых систем тел не существует. Поэтому возникает вопрос: в каких случаях можно применять закон сохранения импульса к незамкнутым системам тел? Рассмотрим эти случаи.
1. Внешние силы уравновешивают друг друга или ими можно пренебречь
С этим случаем мы уже познакомились в предыдущем параграфе на примере двух взаимодействующих тележек.
В качестве второго примера вспомним первоклассника и десятиклассника, соревнующихся в перетягивании каната, стоя на скейтбордах (рис. 26.1). При этом внешние силы также уравновешивают друг друга, а силой трения можно пренебречь. Поэтому сумма импульсов соперников сохраняется.
Пусть в начальный момент школьники покоились. Тогда их суммарный импульс в начальный момент равен нулю. Согласно закону сохранения импульса он останется равным нулю и тогда, когда они будут двигаться. Следовательно,
где 1 и 2 – скорости школьников в произвольный момент (пока действия всех других тел компенсируются).
1. Докажите, что отношение модулей скоростей мальчиков обратно отношению их масс:
v 1 /v 2 = m 2 /m 1 . (2)
Обратите внимание: это соотношение будет выполняться независимо от того, как взаимодействуют соперники. Например, не имеет значения, тянут они канат рывками или плавно, перебирает канат руками только кто-то один из них или оба.
2. На рельсах стоит платформа массой 120 кг, а на ней – человек массой 60 кг (рис. 26.2, а). Трением между колесами платформы и рельсами можно пренебречь. Человек начинает идти вдоль платформы вправо со скоростью 1,2 м/с относительно платформы (рис. 26.2, б).
Начальный суммарный импульс платформы и человека равен нулю в системе отсчета, связанной с землей. Поэтому применим закон сохранения импульса в этой системе отсчета.
а) Чему равно отношение скорости человека к скорости платформы относительно земли?
б) Как связаны модули скорости человека относительно платформы, скорости человека относительно земли и скорости платформы относительно земли?
в) С какой скоростью и в каком направлении будет двигаться платформа относительно земли?
г) Чему будут равны скорости человека и платформы относительно земли, когда он дойдет до ее противоположного конца и остановится?
2. Проекция внешних сил на некоторую ось координат равна нулю
Пусть, например, по рельсам со скоростью катится тележка с песком массой m т. Будем считать, что трением между колесами тележки и рельсами можно пренебречь.
В тележку падает груз массой m г (рис. 26.3, а), и тележка катится далее с грузом (рис. 26.3, б). Обозначим конечную скорость тележки с грузом к.
Введем оси координат, как показано на рисунке. На тела действовали только вертикально направленные внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны рельсов). Эти силы не могут изменить горизонтальные проекции импульсов тел. Поэтому проекция суммарного импульса тел на горизонтально направленную ось х осталась неизменной.
3. Докажите, что конечная скорость тележки с грузом
v к = v(m т /(m т + m г)).
Мы видим, что скорость тележки после падения груза уменьшилась.
Уменьшение скорости тележки объясняется тем, что часть своего начального горизонтально направленного импульса она передала грузу, разгоняя его до скорости к. Когда тележка разгоняла груз, он, согласно третьему закону Ньютона, тормозил тележку.
Обратите внимание на то, что в рассматриваемом процессе суммарный импульс тележки и груза не сохранялся. Неизменной осталась лишь проекция суммарного импульса тел на горизонтально направленную ось x.
Проекция же суммарного импульса тел на вертикально направленную ось у в данном процессе изменилась: перед падением груза она была отлична от нуля (груз двигался вниз), а после падения груза она стала равной нулю (оба тела движутся горизонтально).
4. В стоящую на рельсах тележку с песком массой 20 кг влетает груз массой 10 кг. Скорость груза непосредственно перед попаданием в тележку равна 6 м/с и направлена под углом 60º к горизонту (рис. 26.4). Трением между колесами тележки и рельсами можно пренебречь.
а) Какая проекция суммарного импульса в данном случае сохраняется?
б) Чему равна горизонтальная проекция импульса груза непосредственно перед его попаданием в тележку?
в) С какой скоростью будет двигаться тележка с грузом?
3. Удары, столкновения, разрывы, выстрелы
В этих случаях происходит значительное изменение скорости тел (а значит, и их импульса) за очень краткий промежуток времени. Как мы уже знаем (см. предыдущий параграф), это означает, что в течение этого промежутка времени тела действуют друг на друга с большими силами. Обычно эти силы намного превышают внешние силы, действующие на тела системы.
Поэтому систему тел во время таких взаимодействий можно с хорошей степенью точности считать замкнутой, благодаря чему можно использовать закон сохранения импульса.
Например, когда во время пушечного выстрела ядро движется внутри ствола пушки, силы, с которыми действуют друг на друга пушка и ядро, намного превышают горизонтально направленные внешние силы, действующие на эти тела.
5. Из пушки массой 200 кг выстрелили в горизонтальном направлении ядром массой 10 кг (рис. 26.5). Ядро вылетело из пушки со скоростью 200 м/с. Какова скорость пушки при отдаче?
При столкновениях тела также действуют друг на друга с довольно большими силами в течение краткого промежутка времени.
Наиболее простым для изучения является так называемое абсолютно неупругое столкновение (или абсолютно неупругий удар). Так называют столкновение тел, в результате которого они начинают двигаться как единое целое. Именно так взаимодействовали тележки в первом опыте (см. рис. 25.1), рассмотренном в предыдущем параграфе, Найти общую скорость тел после абсолютно неупругого столкновения довольно просто.
6. Два пластилиновых шарика массой m 1 и m 2 движутся со скоростями 1 и 2 . В результате столкновения они стали двигаться как единое целое. Докажите, что их общую скорость можно найти с помощью формулы
Обычно рассматривают случаи, когда тела до столкновения движутся вдоль одной прямой. Направим ось x вдоль этой прямой. Тогда в проекциях на эту ось формула (3) принимает вид
Направление общей скорости тел после абсолютно неупругого столкновения определяется знаком проекции v x .
7. Объясните, почему из формулы (4) следует, что скорость «объединенного тела» будет направлена так же, как начальная скорость тела с большим импульсом.
8. Две тележки движутся навстречу друг другу. При столкновении они сцепляются и движутся как единое целое. Обозначим массу и скорость тележки, которая вначале ехала вправо, m п и п, а массу и скорость тележки, которая вначале ехала влево, m л и л. В каком направлении и с какой скоростью будут двигаться сцепленные тележки, если:
а) m п = 1 кг, v п = 2 м/с, m л = 2 кг, v л = 0,5 м/с?
б) m п = 1 кг, v п = 2 м/с, m л = 4 кг, v л = 0,5 м/с?
в) m п = 1 кг, v п = 2 м/с, m л = 0,5 кг, v л = 6 м/с?
Дополнительные вопросы и задания
В заданиях к этому параграфу предполагается, что трением можно пренебречь (если не указан коэффициент трения).
9. На рельсах стоит тележка массой 100 кг. Бегущий вдоль рельсов школьник массой 50 кг с разбега запрыгнул на эту тележку, после чего она вместе со школьником стала двигаться со скоростью 2 м/с. Чему была равна скорость школьника непосредственно перед прыжком?
10. На рельсах недалеко друг от друга стоят две тележки массой M каждая. На первой из них стоит человек массой m. Человек перепрыгивает с первой тележки на вторую.
а) Скорость какой тележки будет больше?
б) Чему будет равно отношение скоростей тележек?
11. Из зенитного орудия, установленного на железнодорожной платформе, производят выстрел снарядом массой m под углом α к горизонту. Начальная скорость снаряда v0. Какую скорость приобретет платформа, если ее масса вместе с орудием равна M? В начальный момент платформа покоилась.
12. Скользящая по льду шайба массой 160 г ударяется о лежащую льдинку. После удара шайба скользит в прежнем направлении, но модуль ее скорости уменьшился вдвое. Скорость же льдинки стала равной начальной скорости шайбы. Чему равна масса льдинки?
13. На одном конце платформы длиной 10 м и массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Каково будет перемещение платформы относительно земли, когда человек перейдет к ее противоположному концу?
Подсказка. Примите, что человек идет с постоянной скоростью v относительно платформы; выразите через v скорость платформы относительно земли.
14. В лежащий на длинном столе деревянный брусок массой M попадает летящая горизонтально со скоростью и пуля массой m и застревает в нем. Сколько времени после этого брусок будет скользить по столу, если коэффициент трения между столом и бруском равен μ?